突破思維定式 感受多樣“聚焦”
——例析特殊邊界的“磁聚焦”問題

張 振

(浙江省寧波市鄞州高級中學)

“磁聚焦”是高中物理習題中常見的一類模型,其中最常見的經典模型如圖1,平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子,如果圓形磁場的半徑與軌跡圓的半徑相等,則所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出,反之還有“磁發散”如圖2。

圖1

圖2

然而在實際教學中發現,無論是教師講授還是各類試題,“磁聚焦”模型幾乎都是上述這種經典的圓形邊界,這樣很容易讓學生誤認為磁聚焦只有這種情況,從而使學生形成思維定式,在練習或考試中一旦遇到非此模型的聚焦問題,就會束手無策或者胡亂套用。為突破學生思維定式,筆者在教學中通過實例,進行歸類分析,列舉了幾種特殊邊界的“磁聚焦”模型,很好地拓展了學生思維,提升物理核心素養。

一、組合型邊界實現聚焦

除了正圓形邊界,通過不同形狀邊界的組合,也能實現類似的“磁聚焦”和“磁發散”效果,該類試題多次在寧波市高三模擬考試中出現,下面舉例說明。

圖3

(1)粒子在磁場中運動的半徑r;(r=0.08 m)

(2)從最上端M點發射的粒子恰好進入有界磁場,求該粒子在磁場中的運動時間t(保留兩位有效數字);(t=3.3×10-7s)

(3)有界磁場邊界Ⅱ的軌跡方程。

圖4

【點評】本題為寧波市一模統考題,作為模考壓軸題,看似跟經典模型很像,實則大有區別,此時磁場大圓半徑不等于軌跡圓半徑,不能套用經典模型。學生由于思維定式又缺乏臨場分析能力,因此得分普遍較低。該題也告訴我們,通過構造一個無磁場區域的圓形邊界,與圓形磁場邊界組合,依然能實現聚焦。同時該題要求學生掌握求軌跡方程的一般方法,即設軌跡上某點坐標(x,y),通過幾何關系找到兩者之間的關系。

本題也可以拓展為“磁發散”模型,從O點沿各個方向發射速度大小相同的帶正電荷的粒子,粒子在該勻強磁場中的偏轉半徑均為0.08 m,如圖5所示,由幾何關系可知PO=FO1=0.08 m,FP=O1O=0.1 m,因此四邊形FPOO1為平行四邊形,故FO1∥PO,FO1為豎直,從而得到從第Ⅰ象限出射的粒子速度方向均沿x軸正方向。

圖5

【例2】(2021年浙江寧波一模)如圖6所示,半徑為r的半圓abc內部沒有磁場,半圓外部空間有垂直于半圓平面的勻強磁場(未畫出),比荷為p的帶電粒子(不計重力)從直徑ac上任意一點以同樣的速率垂直于ac射向圓弧邊界,帶電粒子進入磁場偏轉一次后都能經過直徑上的c點并被吸收,下列說法正確的是

圖6

( )

A.磁場方向一定垂直半圓平面向里

B.帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑為2r

圖7

【答案】C

【點評】該題粒子垂直于ac射向圓弧邊界,進入磁場偏轉一次后都能經過直徑上的c點,此時邊界也不是經典圓形。本題邊界特殊,但分析過程中構建菱形的思想來自于經典模型,很好的考查了學生的知識遷移能力。

【例3】(2020年浙江寧波二模)如圖8所示,平行于直角坐標系y軸的PQ是用特殊材料制成的,只能讓垂直打到PQ界面上的電子通過,且通過時并不影響電子的速度。其左側有一直角三角形區域,分布著方向垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場,其右側有豎直向上且場強為E的勻強電場?，F有速率不同的電子在紙面上從坐標原點O沿不同方向射到三角形區域,不考慮電子間的相互作用。已知電子的電荷量為e,質量為m,在△OAC中,OA=a,θ=60°,D為x軸上的一個點,且OD=4a。求:

圖8

(4)現把PQ右側電場撤去,增加一垂直紙面向里、磁感應強度為2B的矩形勻強磁場,使通過PQ界面的電子匯聚于D點,求該矩形磁場的最小面積。

圖9

【點評】磁聚焦模型一般都要求粒子沿各個方向發射的速率相同,若粒子速率各不相同又如何實現磁聚焦和磁發散呢,本題很好地給出了一種方案。該題并未使用圓形邊界或者圓形組合式邊界模型,而是通過構建三角形和矩形磁場,同時實現磁發散和磁聚焦,可謂非常巧妙,本題作為寧波市二模的壓軸題,很好地考查了學生的物理學科思維,具有較好的區分度。

二、對稱型邊界實現聚焦

帶電粒子在磁場中運動往往存在對稱美,同樣利用合適的對稱型邊界也能實現帶電粒子的聚焦,下面舉例說明。

圖10

圖11

【點評】該題模型比較新穎,帶電粒子從某點發散后再次實現聚焦,不一定需要兩個圓形磁場的組合,而是通過特殊的對稱型邊界,就能滿足聚焦效果,而且更具有普遍意義。本題通過尋找幾何關系,找到x與y的聯系點,求解邊界方程,也是常用的數學方法之一,需要學生有較好的數學水平,也體現了學科核心素養中對數學能力的要求。

【例5】離子注入系統是一種對半導體進行摻雜的方法,可以改變半導體材料的成分和性質。如圖12是它的簡化示意圖,由離子源、加速器、質量分析器、磁偏轉室和注入靶組成。初速度近似為0的正離子從離子源飄入加速器,加速后的成為高能離子,離子沿質量分析器的中軸線運動并從F點射出,然后垂直磁偏轉室的邊界從P點進入,離子在磁偏轉室中速度方向偏轉90°后垂直邊界從Q點射出,最后垂直打到注入靶上。已知質量分析器的C、D兩極板長為L;磁偏轉室內部為勻強磁場,圓心為O,O與P之間的距離為L;不考慮離子的重力及離子間的相互作用。假設質量分析器兩極板間電勢差發生極小的波動,則正離子在質量分析器中不再沿直線運動,但可近似看成是勻變速曲線運動。要使這些離子經磁偏轉室后仍能全部會聚到一點,求P點與F點之間的距離h。

圖12

圖13

【點評】該題基于實際情境,而實際問題中往往沒有特別理想的狀態,比如該題由于質量分析器兩極板間電勢差發生極小的波動,使正離子在質量分析器中不再沿直線運動,需要讓學生通過分析,找到合理位置放置偏轉磁場,從而實現聚焦,該題關鍵是運用平拋運動相關規律和粒子在磁場中運動的對稱性,通過尋找各物理量之間的幾何關系求得h,對數學能力有較高要求。

三、螺旋式軌跡實現周期性聚焦

帶電粒子在磁場中運動的問題,在高中階段大多以二維平面問題出現,若是在三維空間運動,就對學生的思維提出了更高的要求,近年來各地高考真題和模擬題中,都有立體空間運動模型的呈現,該類題型能更好地改善學生對物理學習的局限性,提升學生空間思維能力,下面舉一例說明在三維空間下的磁聚焦模型。

【例6】利用帶電粒子在勻強磁場中做螺旋線運動的回旋周期與粒子速率無關的特性,可以實現對帶電粒子的聚焦,現將聚焦簡化成如下的過程:大量電子從M板上的小孔飄入(認為初速度為零)M、N兩板間的加速電場中,并從N板上的小孔飛出,由于電子之間的相互排斥作用會讓電子在從電場中飛出時散開一個極小的角度θ,如圖14所示?？紤]同時從N板小孔中飛出的電子在離開電場區域后直接進入勻強磁場區域中,由于磁場的作用會在磁場內再次聚焦。已知加速電場的電壓為U,板間距離為d,勻強磁場沿水平方向、磁感應強度大小為B,電子的電荷量為-e,質量為m。電子之間的相互作用很小可以忽略其對電子速度大小的影響,不考慮電子之間的碰撞,當角度極小時可以認為sinθ≈θ,cosθ≈1,欲使電子剛好在會聚點離開磁場,則磁場的左右兩側間的寬度l應滿足什么條件。

圖15

【點評】螺旋運動是物理中一種常見的運動,但日常練習所涉及的題并不多,在磁場中當帶電粒子速度方向與勻強磁場方向不垂直時,往往就表現為螺旋運動。該題巧妙利用這個特點,設計了磁聚焦模型,實現周期性聚焦,難度不大但模型經典,既考查了運動的合成和分解問題的處理能力,又培養了學生的空間思維。

四、小結