人教版高中數(shù)學(xué)新舊教材“函數(shù)的單調(diào)性”的比較研究

陳麗真 徐建新，2

（1.德化第一中學(xué)，福建 泉州 362500；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

一、問(wèn)題背景

鑒于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2003 年實(shí)驗(yàn)）》已使用十年之久，教育部于2013 年啟動(dòng)了普通高中課程修訂工作.歷經(jīng)四年，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》后又出臺(tái)2020 年修訂版本，重新制定了高中數(shù)學(xué)課程的教育目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，作為編寫(xiě)教材的綱領(lǐng)性文件和主要依據(jù).課程標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生變化，教材內(nèi)容、教學(xué)理念也隨之變化.解讀、比較這兩個(gè)不同版本的教材，尤其是新教材修改的部分，有助于教師理解編者意圖，進(jìn)而更好地組織教學(xué).

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，在各種函數(shù)的研究中都會(huì)涉及，它是比較大小、求函數(shù)的最值、極值以及證明不等式等的重要工具.單調(diào)性的研究過(guò)程體現(xiàn)了研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，對(duì)研究函數(shù)的其他性質(zhì)，如奇偶性等有借鑒作用.

文章以“函數(shù)的單調(diào)性”為例，分析研究與2004 年版教材對(duì)比，2019 年版教材這節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是如何落實(shí)立德樹(shù)人，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)這一新的課程目標(biāo).

二、研究對(duì)象

人民教育出版社2004 年版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（A 版）必修1》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)舊教材），2019 年版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（A 版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)新教材）.

三、研究?jī)?nèi)容

（一）比較概念的引入方式

兩個(gè)版本教材對(duì)本節(jié)的引入方式基本相同，都是先用詳細(xì)的引言統(tǒng)攝全節(jié)，再把初中階段研究過(guò)的函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減少）的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性，繼而研究二次函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)性.

在引言中，先指出函數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中的作用及研究函數(shù)的目的；再提出研究的問(wèn)題是“函數(shù)的性質(zhì)”，在邊空中注釋性質(zhì)的含義，［1］介紹性質(zhì)的主要內(nèi)容，并指出函數(shù)性質(zhì)是認(rèn)識(shí)客觀規(guī)律的重要方法；然后明示：先畫(huà)出函數(shù)的圖象，通過(guò)觀察和分析圖象的特征可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的一些性質(zhì)，引出本節(jié)要研究的內(nèi)容.本節(jié)的引言是關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜述，清楚地說(shuō)明為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)以及如何研究這一問(wèn)題，有利于學(xué)生明晰學(xué)習(xí)內(nèi)容，有助于學(xué)生閱讀能力的培養(yǎng).

（二）比較概念呈現(xiàn)順序

舊教材呈現(xiàn)順序：?jiǎn)握{(diào)性→增（減）函數(shù)→（嚴(yán)格的）單調(diào)性（區(qū)間）.［1］

新教材在給出“單調(diào)性”概念后，多了“單調(diào)遞增（減）”的概念，把“單調(diào)遞增（減）”與“增（減）函數(shù)”區(qū)分開(kāi)，這是舊教材所沒(méi)有的.函數(shù)的單調(diào)性有兩類(lèi)：一是定義域上具有一致單調(diào)性的函數(shù)，二是定義域上單調(diào)性不一致的函數(shù).新教材僅把在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增（減）的函數(shù)稱(chēng)為增（減）函數(shù).可見(jiàn)，在新教材中，增（減）函數(shù)專(zhuān)指整體性，用單調(diào)遞增（減）說(shuō)明局部性，更能反映函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一種“局部性質(zhì)”.

（三）比較概念的生成過(guò)程

舊教材以f(x)=x2為例，先列出x，y的對(duì)應(yīng)值，再讓學(xué)生思考：如何利用函數(shù)解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著減小（增大）”？

舊教材先通過(guò)x，y具體的數(shù)值變化，再以適當(dāng)?shù)膯?wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)，試圖把“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減小）”轉(zhuǎn)化為用不等式的語(yǔ)言定量刻畫(huà)，但這是一個(gè)難點(diǎn).從以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)看，教師引導(dǎo)得辛苦，學(xué)生聽(tīng)得一知半解，效果并不理想.

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，對(duì)圖象的“上升”與“下降”有所了解，也會(huì)用“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減小）”來(lái)描述函數(shù)的增減性，只是當(dāng)時(shí)的研究較為粗顯，停留在自然語(yǔ)言階段.因此，本節(jié)內(nèi)容要解決的難點(diǎn)問(wèn)題是如何在定性的基礎(chǔ)上給出定量刻畫(huà)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言明確給出有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的定義.

新教材也是以f(x)=x2為例，由圖象直觀地得到函數(shù)值增加、減少的變化特征，進(jìn)一步直接用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)遞減的.同時(shí)，教材在邊空中提問(wèn)：“你能說(shuō)明為什么f(x1)＞f(x2)嗎？”讓學(xué)生從代數(shù)的角度證明“當(dāng)x1＜x2≤0 時(shí)，.與初中通過(guò)圖象直觀定性描述函數(shù)性質(zhì)比較，高中階段要在圖象直觀的基礎(chǔ)上，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)性質(zhì).［2］

類(lèi)似地，定義f(x)=x2在區(qū)間[0,+∞) 上單調(diào)遞增.

新教材從f(x)=x2入手做數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)造的示范，從學(xué)生初中熟悉的自然語(yǔ)言描述到高中陌生的符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)，從直觀的圖形到抽象的符號(hào)，三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化自然流暢，又層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生模仿、體會(huì)這種刻畫(huà)方式的簡(jiǎn)潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

接著教材安排思考題：函數(shù)f(x)=|x|，f(x)=-x2各有怎樣的單調(diào)性？使學(xué)生進(jìn)一步熟悉符號(hào)語(yǔ)言的表述方法.這樣，教材從特殊函數(shù)入手，給出一般函數(shù)單調(diào)遞增（減）、增（減）函數(shù)概念嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá).并在“思考”環(huán)節(jié)，設(shè)置問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生辨析定義中的關(guān)鍵詞“任意”，最后用新規(guī)則證明一次函數(shù)、反比例函數(shù)等的單調(diào)性.由上述過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，新教材規(guī)避了單調(diào)性概念用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的難點(diǎn)，直接采用“規(guī)定—例題”的方式來(lái)呈現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性，把學(xué)生的可接受性和發(fā)展性放在首位.

（四）例題及思考題的設(shè)置對(duì)比

新教材刪除了舊教材的例1，改成根據(jù)定義研究一次函數(shù)的單調(diào)性；例2 與舊教材相同，即證明函數(shù)p=(V∈(0,+∞)) 是減函數(shù)；例3 是證明函數(shù)y=x+在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

新教材在概念生成的過(guò)程中以二次函數(shù)為例，因此，例1 和例2 研究初中學(xué)過(guò)的另兩類(lèi)函數(shù)：一次函數(shù)和反比例函數(shù).先借助函數(shù)圖象直觀地感知這兩類(lèi)函數(shù)的單調(diào)性，再運(yùn)用定義進(jìn)行嚴(yán)格的證明，從形到數(shù)，從直觀到抽象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論思想，使初中所學(xué)內(nèi)容得到深化和提高.

例3 給的函數(shù)是正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=相加構(gòu)成的新函數(shù)，該函數(shù)的圖象是學(xué)生不知道的.通過(guò)例3 的證明，學(xué)生既得到函數(shù)y=x+在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，又得到其在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，從而順利地畫(huà)出函數(shù)y=x+在區(qū)間(0,+∞)上的圖象，化抽象為具體.

前兩道例題由圖象觀察函數(shù)的單調(diào)性并證明，后一題反其道而行，先研究函數(shù)的性質(zhì)，再得到函數(shù)的圖象.三道例題相輔相成，提供了研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)的兩種常見(jiàn)方法.同時(shí)，三道例題都緊扣函數(shù)單調(diào)性的定義，用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言嚴(yán)格按照“取值、作差、判斷符號(hào)、下結(jié)論”這四個(gè)步驟依序操作，使學(xué)生進(jìn)一步理解、鞏固單調(diào)性的概念，對(duì)學(xué)生能運(yùn)用概念規(guī)范地用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)起到很好的示范作用.

新教材例題的設(shè)置比舊教材更豐富、更有層次性和深度，更能引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題，并在問(wèn)題解決的過(guò)程中培育學(xué)科素養(yǎng).

除例題外，新教材通過(guò)設(shè)置兩道思考題對(duì)概念進(jìn)行辨析，通過(guò)明晰概念，促進(jìn)學(xué)生重視對(duì)概念的學(xué)習(xí).區(qū)間I上部分滿足單調(diào)遞增的條件，不能得出函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，讓學(xué)生理解概念中為什么要“?x1,x2∈D”.另一題是讓學(xué)生舉例說(shuō)明定義域內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)（如一次函數(shù)）和既有單調(diào)遞增區(qū)間又有單調(diào)遞減區(qū)間的函數(shù)（如二次函數(shù)），讓學(xué)生辨別了增（減）函數(shù)和單調(diào)遞增（減）這兩個(gè)概念的區(qū)別.

基于新舊教材中都有的例2 玻意耳定律就是證明函數(shù)y=(k＞0)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.所以，新教材刪掉舊教材關(guān)于函數(shù)y=在定義域上單調(diào)性的探究題，將其安排在課后練習(xí)中，并將函數(shù)y=改成反比例函數(shù)y=-提高了難度.學(xué)生要通過(guò)討論k的正負(fù)得到不同的單調(diào)性，與例1呼應(yīng)，分類(lèi)討論思想進(jìn)一步得到鞏固.該題可以通過(guò)舉反例，說(shuō)明函數(shù)y=(k＞0)在定義域上不是減函數(shù)，更具體地讓學(xué)生明白概念中“?x1,x2∈D”這一條件的重要性，從而理解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為什么不能簡(jiǎn)單合并.教材在多個(gè)位置設(shè)置不同的題目，不斷地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性這一抽象概念的理解，感悟常用邏輯用語(yǔ)中的量詞與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

（五）比較課后習(xí)題的安排

新教材課后習(xí)題的數(shù)量明顯增多，其中最大一個(gè)亮點(diǎn)是習(xí)題3.2 的第8 題和第9 題.

習(xí)題3.2 第8 題設(shè)置了三道小題，分別要求用定義證明函數(shù)y=x+在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞增，討論函數(shù)y=x+及y=x+(k＞0)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性.

該題與例3 是同一類(lèi)型的函數(shù)，由易到難地引導(dǎo)學(xué)生完成對(duì)函數(shù)y=x+(k＞0)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性的探究，后續(xù)在學(xué)完函數(shù)的奇偶性后又得到該函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性，在學(xué)完本章后又專(zhuān)門(mén)“探究函數(shù)y=x+的圖象與性質(zhì)”.教材根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，通過(guò)例題、習(xí)題、閱讀材料逐步達(dá)成學(xué)生對(duì)形如y=ax+(a,b＞0)的函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解，對(duì)運(yùn)用基本不等式求這類(lèi)函數(shù)的最值起到補(bǔ)充、加強(qiáng)的作用.

習(xí)題3.2 第9 題的證明題實(shí)際上是給出增（減）函數(shù)定義的等價(jià)形式：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，記Vx=x1-x2，Vy=f(x1)-f(x2).

函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減）的充要條件是：?x1,x2∈I，x1≠x2，都有＞(＜)0.

新教材將“差商法”放在本節(jié)習(xí)題中作為“定義法”判別法則的補(bǔ)充，更簡(jiǎn)潔但也更抽象.由“差商法”可知，函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)遞增（減）的充要條件是該區(qū)間上圖象任意兩點(diǎn)連線的斜率大于（小于）零，它為今后研究平均變化率與導(dǎo)數(shù)提供了基礎(chǔ)，也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性作鋪墊.

新教材在例題與習(xí)題上做了較大的改動(dòng)，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)“重視以學(xué)科大概念為核心，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)”的編寫(xiě)理念.［3］

四、結(jié)束語(yǔ)

新舊兩種版本的教材對(duì)函數(shù)的單調(diào)性處理方式同中有異，各有千秋，體現(xiàn)了各自的課程目標(biāo)和內(nèi)容.2003 年版課標(biāo)要求通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性；2017 年版的課標(biāo)修改為：借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性.可見(jiàn)，新課標(biāo)要求結(jié)合函數(shù)圖象，經(jīng)歷從具體的直觀描述到形式的符號(hào)表達(dá)的抽象過(guò)程.因此，新教材的編寫(xiě)更注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).函數(shù)的圖象直觀地表達(dá)了函數(shù)的性質(zhì)，兩種版本的教材都注重加強(qiáng)與學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，先通過(guò)學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象直觀感知，再引入概念，關(guān)注學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培育過(guò)程.新教材例題與習(xí)題的設(shè)計(jì)以能力立意為主，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用以及知識(shí)的螺旋式上升，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)中要充分發(fā)揮教材的作用，理解教材，把握教材內(nèi)涵，落實(shí)“四基”“四能”，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).