順應(yīng)“三新”趨勢探索變式
——數(shù)學(xué)變式征集活動(dòng)解析幾何專題試題選登

【精選變式題組】

【母題1】設(shè)A1,A2是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn),P1P2是與A1A2垂直的弦,則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)P的軌跡方程為________.

【變式1】(方法變式)將母題題設(shè)中的“圓”換為“橢圓”

設(shè)A1,A2是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn),P1,P2為與A1A2垂直的直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),則直線A1P1與A2P2的交點(diǎn)P的軌跡方程為________.

【變式2】(方法變式)將母題題設(shè)中的“圓”換為“雙曲線”

【變式3】(方法變式)將題設(shè)的“圓”換為“拋物線”,以拋物線y2=2px(p>0)為例

已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為C,P1,P2為與x軸垂直的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),則直線P1F與P2C的交點(diǎn)P的軌跡方程為________.

【母題2】已知圓C:x2+(y-2)2=4,過坐標(biāo)原點(diǎn)作圓C的弦OM,求OM中點(diǎn)P的軌跡方程.

【變式1】(知識變式)特殊位置的點(diǎn)O(0,0)變?yōu)榉翘厥馕恢肁(2,3)

已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=9,過點(diǎn)A(2,3)作圓C的任意弦,則這些弦的中點(diǎn)P的軌跡方程為________.

【變式2】(方法變式)直接法求軌跡方程

( )

A.圓 B.橢圓

C.拋物線 D.直線

【變式3】(綜合變式)曲線方程由圓變?yōu)闄E圓

【變式1】(知識變式)由距離之差為常數(shù)變?yōu)榫嚯x之和為常數(shù)

已知F1,F2是定點(diǎn),且|F1F2|=8,若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是

( )

A.橢圓 B.直線

C.圓 D.線段

【變式2】(方法變式)由距離之差為常數(shù)變?yōu)榫嚯x之和為常數(shù)并融入三角形

已知在△ABC中,B(-6,0),C(6,0).若三角形ABC的兩邊AB和AC上的中線CE與BD之和為30,則三角形重心G的軌跡方程為________.

【變式3】(綜合變式)由距離之差為常數(shù)變?yōu)榫嚯x之和為常數(shù)并融入分類討論的思想

( )

A.橢圓 B.線段

C.不存在 D.橢圓或線段

【母題詳解及答案】

【母題1】【解題策略】本題考查利用交軌法求軌跡方法,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合等方法來解決,落實(shí)基礎(chǔ)性的考查.

【解題思路】【解法1】點(diǎn)撥:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,確定圓的方程,然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),直線A1P1與A2P2的方程,利用交軌法求得點(diǎn)P的軌跡方程.

如圖,以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以A1A2所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

設(shè)A1(-r,0),A2(r,0)(r>0),則圓的方程為x2+y2=r2.

整理得x2-y2=r2,即為點(diǎn)P的軌跡方程,軌跡為等軸雙曲線.

【解法2】點(diǎn)撥:解法1給出的是常見的求解軌跡的方法——交軌法,但并不是最佳解法.注意到解法1中利用條件P1,P2關(guān)于x軸對稱,和P1,P2在圓上坐標(biāo)滿足x12+y12=r2,我們還可以將兩個(gè)條件合二為一利用圓的參數(shù)方程表示P1,P2.

設(shè)P(x,y),P1(rcosα,rsinα),則P2(rcosα,-rsinα),

整理得x2-y2=r2,即為點(diǎn)P的軌跡方程,軌跡為等軸雙曲線.

(作者單位 姓名:貴州省貴陽市第一中學(xué) 李 寒)

【變式3】y2=2px

(作者單位 姓名:山東泰安英雄山中學(xué) 尹承利)

【母題2】【解題策略】本題可分別采用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法求解.

【解題思路】【解法1】(直接法)設(shè)P(x,y),C(0,2),依題意知|OP|2+|CP|2=|OC|2,即x2+y2+x2+(y-2)2=4,

整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,

經(jīng)檢驗(yàn),坐標(biāo)原點(diǎn)不符合題意,否則不存在弦OM,

∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(y≠0).

【解法2】(定義法)如圖,作OC的中點(diǎn)為N,N(0,1),則NP為△OCM的中位線,

∴點(diǎn)P的軌跡是圓,方程為x2+(y-1)2=1,

經(jīng)檢驗(yàn),坐標(biāo)原點(diǎn)不符合題意,否則不存在弦OM,

∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(y≠0).

整理得x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1,

經(jīng)檢驗(yàn),坐標(biāo)原點(diǎn)不符合題意,否則不存在弦OM,

∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2+(y-1)2=1(y≠0).

(作者單位 姓名:曲靖經(jīng)開區(qū)第一中學(xué) 林之鴻)

(作者單位 姓名:河北定州中學(xué) 趙偉娜)

【變式2】A

(作者單位 姓名:曲靖經(jīng)開區(qū)第一中學(xué) 林之鴻)

【變式3】2x2+y2-2ax-by=0

(作者單位 姓名:河北定州中學(xué) 趙偉娜)

【母題3】【解題策略】本題既可用坐標(biāo)法求解,也可以用雙曲線的定義求解.相應(yīng)解題步驟的思維導(dǎo)圖如下:

【解題思路】【解法1】點(diǎn)撥:坐標(biāo)(直接)法求解

【解法2】點(diǎn)撥:定義法求解

【變式1】D

【變式3】D