關鍵能力銜接教材落地開花 核心素養深度引領二輪復習
——以2022年新高考Ⅰ卷第22題為例

韓紅軍

(陜西省麟游縣中學)

2022年新高考Ⅰ卷的數學試題倡導理論聯系實際、學以致用,關注我國社會主義建設和科學技術發展的重要成果,突出數學本質,重視理性思維,堅持素養導向、能力為重的命題原則,設計真實問題情境,體現數學的應用價值.尤其是第22題,對能力的要求比往年高,“題海戰術”的功效明顯下降,堅持熟而不俗、俗而不易、穩中求變、變中出新的命題初心,科學把握必備知識與關鍵能力的關系,全面體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求.

1.原題再現

已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(Ⅰ)求a;

(Ⅱ)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

本題結構新穎,思維巧妙.本題由指數函數與一次函數、對數函數與一次函數構成的兩個新函數為載體,第(Ⅰ)問考查函數的最值問題,設置比較基礎;第(Ⅱ)問考查函數與方程,屬于探索創新情境,具有一定的選拔性,主要考查學生的推理論證能力、運算求解能力,以及數形結合、分類與整合等數學思想方法,考查學生思維的靈活性、嚴謹性及創新性.命題人將指、對函數與參數結合,考查函數的單調性、零點存在定理、反函數等知識.從命題的角度看,主要考查如下關鍵能力;從學生答卷情況看,主要涉及如下失誤.

序號關鍵信息抽象概括能力1函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值,求a解決函數的最值問題可考慮研究函數的單調性,本題中的兩個函數,定義域都是開區間,從兩函數的導函數可以看出,當a≤0時,顯然兩個函數都是單調函數,那么在定義域內是沒有最值的,再討論當a>0時,兩個函數的單調性,進而求得兩個函數的最小值,根據最小值相同,得到方程a-alna=1+lna,解這個超越方程有一個難點,雖然能夠得到一個特殊解a=1,但是否還有其他解未可知,這就需要轉化成一個關于a的函數,去研究這個函數的單調性、極值等性質

續表

1.1關鍵能力

1.1.1抽象概括能力

1.1.2推理論證能力

函數的零點、函數圖象與x軸的交點、方程的根三者間的轉化應用.

1.1.3運算求解能力

應用零點存在定理時判斷符號的取值、指數式與對數式的轉化、指對同構都對運算求解能力提出了較高的要求.

1.2學生失誤分析

第(Ⅰ)問,解超越方程a-alna=1+lna思路不清;第(Ⅱ)問,一是找不到解決三個交點問題的突破口;二是直線y=b與兩條曲線交點個數的證明不嚴謹;三是不能對三個交點滿足的關系靈活地進行指對變形或同構.

2.解法探究

第(Ⅰ)問的解法探究.

若a≤0,f′(x)>0恒成立,f(x)在R上單調遞增,所以f(x)沒有最小值;

若a>0,令f′(x)=0得x=lna,當x∈(-∞,lna)時,f′(x)<0,f(x)在(-∞,lna)上單調遞減;當x∈(lna,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(lna,+∞)上單調遞增,所以f(x)的最小值為f(lna)=a-alna.

若a≤0,g(x)沒有最小值;

上述解法比較復雜,構造函數的好與壞直接影響著求解過程的簡與繁,觀察函數的結構特征,我們發現a-alna=1+lna含有超越函數,并且lna前面還有a,于是想到分離lna,因此我們得到解法二.

第(Ⅱ)問的解法探究.本小題對于學生有一定的難度.思路1:構造函數,G(x)=f(x)-g(x),通過函數的單調性尋找函數G(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點,利用零點存在定理,確定唯一零點x0∈(e-2,1),從而得到證明;思路2:以g(x)為主函數,采用指數式與對數式的結構特征進行同構,將對數向指數轉化;思路3:以f(x)為主函數,采用指數式與對數式的結構特征進行同構,將指數向對數轉化;思路4:比較巧妙通過觀察發現y=ex與y=lnx互為反函數,y=x+b與y=x-b互為反函數,利用對稱性得到x0-x1=y2-y0.思維導圖如下.

所以直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)從左到右共有三個不同的交點(lnx0,b),(x0,b),(ex0,b).因為ex0+lnx0=2x0,所以這三個交點的橫坐標成等差數列.

解法四:證明:(反函數法)由題意可得,ex-x=b和x-lnx=b共有三個不同的根,等價于ex=x+b和lnx=x-b共有三個不同的根.因為y=ex和y=lnx互為反函數,圖象關于y=x對稱,y=x+b和y=x-b也互為反函數,圖象關于y=x對稱.根據對稱性,得?b∈R,使得y=ex與y=x+b交于A,B兩點,y=lnx與y=x-b交于C,D兩點,且B,C橫坐標相同時有3根.設A(x1,y1),B(x0,y0),C(x0,y0),D(x2,y2),由反函數的對稱性,易知x0-x1=y2-y0,又直線CD斜率為1,故y2-y0=x2-x0,所以x2-x0=x0-x1,x2+x1=2x0,即三個交點的橫坐標成等差數列.

3.高考二輪復習備考策略

通過這道題的探究過程,啟示我們高考二輪復習備考要從以下方面著手.

3.1把握命題方向,提高復習效率

新高考備考要立足《中國高考評價體系》,立足《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》,立足教材,依托“一核四層四翼”評價體系,明確“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的考查要求,遵循學生認知規律,把握新高考命題方向,注重“能力立意”和“素養導向”,注重學生建構知識網絡,完善認知結構體系,夯實數學必備知識,提升學生關鍵能力,優化數學學科素養.

3.2優化教學設計,促進深度學習

高考備考要聚焦主干知識為主線,精心設計復習教學過程,創設問題和實際情境,以問題意識喚醒學生的隱性知識積累,建構知識體系,注重通性通法,夯實必備知識,幫助學生深度理解核心概念、數學規則和思想方法,幫助學生學會深度思維和深度學習.

3.3實施單元教學,完善知識體系

高考備考要圍繞主干知識為主線,實施單元教學,對數學知識、思想、方法進行重新組合,可以是橫向的,也可以是縱向的,以大單元為依據選擇二輪復習主題,以高考真題或經典模擬題為例題,以問題鏈、變式串的形式引領學生思考和交流,引導學生深度思考.

3.4強化解題教學,適應題型變化