“周”是前提，“長”是本質

李小元

［摘 要］關于“周長的認識”一課，教師要明確教學前提是“周”，教學重心是“長”，從“一周”引出周長的概念，令學生用多種方式測量圖形的周長，理解周長概念的本質，學會辨析周長與應用周長解決問題。

［關鍵詞］周長；教學起點；教學重心；教學路徑

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）05-0063-04

“周長的認識”一課是“周長”單元的第一課時，引導學生挖掘周長概念的本質，從而建立正確的周長概念是本節課的重點。筆者試圖從學情調查中確定教學起點，從人教版、北師大版、蘇教版教材的對比分析中確立教學重心，從課堂實踐中探尋教學路徑。

一、學情調查，明確教學起點

筆者經常在公開課中聽“周長的認識”一課，發現大多數教師會在第一個教學環節花大量時間讓學生去指認實物或平面圖形一周的邊線，從而讓學生感知“一周”和“封閉”，建立“封閉圖形”和“一周”這兩個概念。對于這樣的教學，筆者有一些疑惑：學生真的對“一周”和“封閉”一無所知嗎？為此，筆者抽取三年級一個班的38名學生為樣本，在教學“周長的認識”一課前進行了一次學情調查。

[結果分析]

從調查結果看，大多數學生都能正確判斷封閉圖形。在與回答不正確的學生交談時，筆者指著第一個圖形“圓”與第二個曲線圖形問：“對比一下，它們有什么不同？”其中一名學生說：“第二個曲線圖形的線沒有封口。”筆者順勢指出第一個圖形“圓”是封閉圖形，然后讓學生對調查題目1重新判斷，學生給出了正確的回答。由此說明學生對圖形的封閉性有一定的理解。

[調查題目2]

請用紅筆描出下面圖形的“一周”。

[調查結果]

[結果分析]

從調查結果看，學生對“一周”和“封閉”并不陌生，多數學生不但能描出圖形的一周，還能區分圖形是否封閉，認為封閉圖形才有“一周”。有2名學生只描角的邊線，沒有連接所有邊線，還有2名學生只描圖形的部分邊線，沒有將所有邊線連接。測試后，筆者對做錯的5名學生分別進行了訪談，筆者問：“你畫的是圖形的‘一周嗎？”隨后4名“只描了部分邊線”的學生都正確描出了這幾個圖形的一周，“描樹葉的一周后在樹葉中間加一條線”的學生擦掉了樹葉中間的那一條線。由此可見，盡管周長的概念是在“一周”的基礎上拓展的，但是在“周長的認識”教學中，用較少的時間激活學生關于“一周”與“封閉”的經驗就可以了，不必開展過多關于“一周”和“封閉”的數學活動。

二、教材對比，明確教學重心

1.教學路徑對比

筆者從揭示概念、理解概念、應用概念三個方面分別對人教版、北師大版、蘇教版教材提供的教學路徑進行了梳理，整理結果見表1。

對比分析人教版、北師大版、蘇教版教材中關于“周長的認識”這一內容，筆者發現，三個版本教材呈現的教學路徑非常相似。第一環節：描邊線，揭示“一周”，概括周長的概念（封閉圖形一周的長度即該圖形的周長）。第二環節：通過先量（數）再加、“化曲為直”等方法求圖形的周長，理解周長概念的本質。第三環節：通過多層次的求圖形周長的活動，加深對周長概念的理解，為周長的計算教學打好基礎。

筆者還發現，人教版和北師大版教材都安排了一道比較圖形的周長的練習題。這也引發筆者對本節課教學的新構思：本課第二環節已經滲透了“先量（數）再求和，得到周長”的思路，學生應該會運用這種思路來比較兩個圖形的周長。教學中還可以嘗試增加“先平移再比較”這種思維方式，讓學生從一一對應的視角理解“如果兩個圖形對應邊的長度相等，那么這兩個圖形的周長也相等”。

2.教學活動對比

筆者對比分析人教版、北師大版、蘇教版教材中提供的學習素材和練習作業，將數學活動方式分類統計（見表2）。

從表2可以看出，只有蘇教版教材安排了讓學生指出封閉圖形“一周”邊線的活動。三個版本的教材都只安排了少量的描一描封閉圖形“一周”的活動。

雖然不同教材提供的活動各不相同，但都把活動重心放在周長的本質——“長”的理解和應用上。人教版教材和蘇教版教材都安排了3個量圖形周長的活動，其中，2個先量線段的長度再相加的活動，1個先“化曲為直”再量周長的活動。而北師大版教材更加重視利用多種方法量圖形周長的活動，共安排了6個活動，1個數方格得周長的活動，4個先量后加得周長的活動，1個先“化曲為直”再量周長的活動。

教學中，教師應該重視這幾個活動，讓學生想辦法量圖形的周長，在格子圖中數圖形的周長，量多邊形的各邊長再相加得到圖形的周長，通過量、數、加、“化曲為直”等方式，讓學生理解“周長是封閉圖形的邊長之和”。

三、課堂實踐，明確教學路徑

1.辨別“封閉”和“一周”

操作：出示幾根長度都是20厘米的線，教師分別彎折后，在展臺上展示（如圖1）。

師：哪些圖形是封閉的？哪些圖形是不封閉的？

封閉圖形：

不封閉圖形：

師：你們是怎么區分的？

生1：看圖形的邊線是否首尾相連。

師：封閉圖形與不封閉圖形有什么不同點？

生2：封閉圖形有“一周”，不封閉的圖形沒有“一周”。

2.揭示周長概念

師：每根線的長度是20厘米，彎折成這些圖形后，現在它們的長度是多少？

生1：不管是封閉圖形還是不封閉圖形，這根線的長度都是20厘米。

師：同樣都有長度，有什么不同的地方？

生2：圍成封閉圖形的這根線的長度是該圖形一周的長度。封閉圖形一周的長度叫周長。

師：不封閉圖形有周長嗎？

生3：不封閉圖形沒有周長。

[思考]

此環節通過兩個活動幫助學生初步建立周長概念。

第一個活動，促進學生觀察與比較，發現封閉圖形與不封閉圖形的不同點——封閉圖形的線首尾相連，不封閉圖形的線首尾不相連，從而幫助學生建立起“一周”的概念。

第二個活動，以“每根線的長度是20厘米，彎折成這些圖形后，現在它們的長度是多少？”這個問題引導學生關注長度，“同樣都有長度，有什么不同的地方？”這個問題繼續將學生的目光引到“一周”上。通過這兩個問題，學生對周長的認識逐漸清晰，明白周長就是封閉圖形一周的長度。此時教師繼續追問：“不封閉圖形有周長嗎？”學生充分體會到周長與線段長度的區別就在于是否有“周”這個前提。

3.理解周長概念

活動：測量與計算圖2中各圖形的周長（每個方格的邊長都是1厘米）。

師：要想知道它們的周長是多少，該怎么辦？

（學生獨立測量和計算圖形①、②、③的周長，小組合作測量圖形④的周長）

生1：圖形①（長方形）、圖形②可以直接數方格，數出它們的周長。還可以先數出每條邊的長度，再把幾條邊的長度加起來，算出它們的周長。

生2：先量出圖形③（三角形）每條邊的長度，再將三條邊的長相加，得到它的周長。

生3：無法通過數方格或直接量得圖形④的周長，那么可以用繩子繞圖形一周，做好標記，再拉直繩子測量，量出的長度就是該圖形的周長。

[思考]

此環節通過兩個活動幫助學生理解周長的本質。

通過“量（數）與加”求出圖形①、②、③的周長，學生從測量單條線段的長度，到計算幾條線段的長度之和得到圖形的周長，初步感悟到直邊圖形的周長就是圖形所有邊的長度之和。

通過“化曲為直”的方法求出圖形④的周長，用線繞曲線圖形一周，拉直線后測量線的長度。從“封閉圖形一周的長度”到“封閉圖形的所有邊的長度之和”，學生從“累加”的角度出發，對周長概念的理解從一條線的長度擴展到多條線長度之和。

4.辨析周長概念

活動：一分為二。

操作：畫一條線把長方形對角的兩個頂點連起來，將長方形分成兩部分。（提示：越特別越好）

展示：教師在黑板上畫出“兩部分的周長相等”“兩部分的周長不相等”“有疑問”三欄，讓學生將自己的作品貼在其中一欄上。

師：將長方形沿對角線分成兩部分，得到的圖形①和圖形②的周長相等嗎？

生1：周長相等。因為圖形①的兩條直角邊和圖形②的兩條直角邊分別相等，對角線既是圖形①的邊也是圖形②的邊，所以圖形①和圖形②的周長相等。

師：在長方形中畫一條曲線，沿曲線將長方形分成兩部分，得到的圖形①和圖形②的周長相等嗎？

生2：圖形①的兩條直角邊和圖形②的兩條直角邊分別相等，這條曲線既是圖形①的邊也是圖形②的邊，因此圖形①和圖形②的周長相等。

師：周長是封閉圖形一周的邊線的長度之和，如果兩個圖形對應的邊長度都相等，那么它們的周長也相等。

[思考]

學生用線段、任意曲線分別連接長方形對角頂點將其“一分為二”，然后判斷分成的兩部分圖形的周長是否相等。辨析活動中，學生體會到“如果兩個圖形對應的邊長度都相等，那么它們的周長相等”，從而促使學生更靈活地理解一一對應視角下的周長。

筆者從學情調查中確定教學起點，從多版本教材的對比分析中確立教學重心，從課堂實踐中探尋教學路徑，這一堂課的研究思路，也指引了這一類課的研究路徑。

（責編 黃 露）