中學數學思想方法的一些感想

王才軍

摘 要：思想可以解釋為客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果.數學思想是人們進行數學思維的結果.數學知識、數學方法、數學思想既不可分，又不是同一層面的問題.數學知識是基礎，數學方法是根本，數學思想是靈魂。

關鍵詞：中學；數學；思想方法；感想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼： A 文章編號：1992-7711（2018）18-023-01

數形結合思想是一種很重要的數學思想，數與形是事物的兩個方面，正是基于對數與形的抽象研究才產生了數學這門學科，才能使人們能夠從不同側面認識事物，華羅庚先生說過：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事休.切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離”。把數量關系的研究轉化為圖形性質的研究，或者把圖形性質的研究轉化為數量關系的研究，這種解決問題過程中“數”與“形”相互轉化的研究策略，就是數形結合的思想。數形結合思想就是要使抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來。突出數形結合思想方法的應用，達到靈活運用的程度，然后總結歸納才產生記憶，這種在產生大量的豐富的經驗下形成的記憶最深刻。

中學數學中用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標。主要是培養學生由特殊事例發現一般規律的歸納能力，運用數學思想方法去學習新的數學方法.這里有轉化思想。即拋物線解析式中二次項系數不為1的一般式轉化成系數為1的一般式，系數為1的一般式轉化成頂點式。

數學思想不可能象數學知識那樣一步到位，它需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程.這一個過程中是從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的螺旋上升過程.在過程中，需要我們教師做一個“過程”的加強者，不斷的用我們的數學思想“敲打”學生的思維、讓學生在一次次的“敲打”過程中，不斷的積累、不斷的感悟、不斷的明朗，直到最后的主動應用。

在解題時，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統一的方法，統一的式子繼續進行了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，這就必須在條件所給出的總區域內，正確劃分若干個子區域，然后分別在多個子區域內進行解題，這里集中體現的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究方向基本是“分”，但分類解決問題問題之后，還必須把它們總合在一起，這種“合——分——合”的解決問題的過程，就是分類與整合的思想方法。

分類與整合的思想是以概念的劃分，集合的分類為基礎的思想方法，對分類與整合的思想的考查，有以下幾個方面。

一是考查有沒有分類意識，遇到應該分類的情況，是否想到要分類，什么樣的問題需要分類？例如

（1）有些概念就是分類定義的，如絕對值的概念，又如整數分為奇數、偶數，把三角形分為銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形等等；

（2）有的運算法則和定理，公式是分類給出的，例如求一元二次不等式的解又分為及共六種情況。

（3）圖形位置的相對變化也會引起分類，例如兩點在同一平面的同側，異側，二次函數圖像的對稱軸相對于定義域的不同位置等；

（4）整數的同余類，如把整數分成奇數和偶數等。

二是如何分類，即要會科學地分類，分類要標準統一，不重不漏；

三是分類之后如何研究；

四是如何整合。

分類討論的數學思想方法在解決問題中占有重要地位，其原因是分類討論本身有明顯的邏輯特點，再之能訓練思維的條理性和概括性.分類討論是一種“化整為零、各個擊破，再積零為整”的解題思路和解題策略.分類要求標準統一，不遺漏，不重復，分層次，不越級討論.解題步驟大致為：

①確定分類標準，正確進行分類；

②逐步進行討論，獲得階段性結果；

③適當歸納小結，綜合得出結論。

化歸與轉化的思想是指在解決問題時，采用某種手段使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略，是數學學科與其它學科相比，一個特有的數學思想方法，化歸與轉化思想的核心是把生題轉化為熟題.事實上，解題的過程就是一個縮小已知與求解的差異的過程，是求解系統趨近于目標系統的過程，是未知向熟知轉化的過程，因此每解一道題，無論是難題還是易題，都離不開化歸.例如，對于多元問題，要轉換為少元問題，對于高次函數，高次方程問題，轉化為低次問題，特別是熟悉的一次，二次問題，對于復雜的式子，通過換元轉化為簡單的式子問題等等.對化歸思想，結合對演繹證明，運算推理，模式構建等理性思維能力，因此可以說每一個數學問題，都是化歸意識和轉化能力的體現。

由特殊到一般，再由一般到特殊反復認識的過程是人們認識世界的基本過程之一，對數學而言，這種由特殊到一般，再由一般到特殊的研究數學問題的基本認識的過程，就是數學研究的特殊與一般的思想。

在中學教學中設計一些能集中體現特殊與一般的思想的問題，例如：

（1）由一般歸納法進行猜想；

（2）由平面到立體，由特殊到一般進行類比猜想；

（3）函數問題的處理；

（4）定點，定值問題；

（5）用特殊化方法解選擇題，如構造特殊函數、特殊序列、尋找特殊點、確定特殊位置、利用特殊值、特殊方程等；

（6）運動變化問題、不確定問題等。

“對有限的研究往往先于對無限的研究，對有限個研究對象的研究往往有章可循，并積累了一定的經驗，而對無限個研究對象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經驗不足，于是將對無限的研究化成對有限的研究，就成了解決無限問題的必經之路，反之，當積累了解決無限問題的經驗之后，可以將有限問題轉化成無限問題來解決，這種無限化有限，有限化無限的解決數學問題的方法就是有限與無限的思想。”

在數學學習時，要充分認識數學思想在提高解題能力的重要性，有意識地在復習中滲透數學思想，提升數學思想。