培養靈感：在課堂教學中轉變學生數學思維方式的策略

衛向陽

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中指出：“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮不可替代的作用。義務教育數學課程應使學生通過數學學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養?！边@里既說明了數學的重要，又明確了數學課是培養學生思維能力的主陣地?！皵祵W是思維的體操”“把數學課上成思維訓練課”已經成為數學教師的共識，其中每一次思維方式的轉變，都是學生靈感爆發的時機，也是數學課上最突出、最精彩、最有價值的體現，更是教師激發、培養學生靈感的最佳契機。

一、深研教材，準確洞悉靈感的產生點

新課標指出：“能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系；能夠運用符號運算、形式推理等數學方法，分析、解決數學問題和實際問題?！?基于對新課標的認知，我們可以簡單地理解為，數學學習是在用舊知識解決新問題，并形成新的、更高層面結論的過程。學生在解決新問題的過程中不僅要掌握新知識，更要學習解決問題的方法，而激發靈感的契機就隱藏在一次次的解決問題中。

（一）新舊知識的契合處就是靈感的產生點

解決新問題的過程需要多項知識、技能、方法的集中參與，小學階段的學習大多數是從知識層面解決問題。從心理學角度講，是單一知識運用轉向多項知識的提取和運用，這也是一種思維方式的轉變，在這一過程中，新舊知識的契合點就是靈感的產生點。

例如，教學小數除法18.9÷6=？（北師大版數學教材五年級上冊第一單元“打掃衛生”一課）時，教師出示問題后，學生會按小數除以整數的方法進行計算，當除到末尾有余數時按以前的慣例就不計算了，這個時候就需要學生轉變認識，想辦法繼續除下去，這就是本課的新舊知識契合點。要想解決此問題，學生要聯想到以下三種已有知識中的一種。

一是聯想到生活經驗：3在這里表示3角，3角也就是30分，這樣就可以繼續分下去了。

二是聯想到小數計數單位：3可以表示3個0.1，也可以表示30個0.01。

三是聯想到小數基本性質：3在小數的末尾，根據小數的基本性質，小數末尾添0或去掉0，小數的大小不變，可以在3的后面添0繼續除。

用框圖可以如圖1所示：

很顯然，轉變解決問題的角度，將有效知識順利提取，與問題結合進行再加工，就是解決此問題的靈感來源。由于知識是顯性的，對于這類靈感的產生教師比較容易把握，這類教學教師處理得較好。

（二）思維轉變的細微差異就是靈感的爆發點

數學教學中，教師不僅要正確把握教材中的知識體系，更要挖掘其思維的內涵，賦予其實際的思維內容?，F行的數學教材有兩條線，一條是明線，即知識和技能，另一條是隱含其中的思想和方法。這些思想和方法同樣既有延續，又有突破，而很多突破并不明顯，往往被教師忽略。

例如，“三角形的面積”一課，很多教師將其定位為教學數學的“轉化思想”，這本身沒有問題，因為其的確是 “平行四邊形的面積”一課的思路延續，運用轉化思想將未知圖形轉化成學生已經會求面積的圖形。但是，很多教師并沒有意識到這里轉變方法發生了質的變化，要由“割補法”變成“倍拼法（用兩個完全一樣的三角形轉化成一個已經會求面積的圖形）”，具體如圖2所示：

其中由“用一個圖形轉化”到“用兩個完全一樣的圖形轉化”就是思考角度轉變、突破的地方，這就需要激發學生的靈感，也是教師培養學生思維能力的契機。在北師大版數學教材中，有些內容在課題前標注“探索活動”，其目的就是讓學生在學習這部分內容時體驗、感悟學習思維方式的轉變。但這些內容是暗線，不容易把握，所以需要教師更深層次地領悟課程，從中找到細微的差別，激發學生的靈感。

在本課的教學中有如下片段。

師：上節課我們學習了平行四邊形的面積，還記得我們是怎么得到它的計算公式的嗎？

生：我們用割補法，沿平行四邊形的高切開，再把它平移到另一側，這樣就轉化成了面積相等的長方形。得到公式是：平行四邊形的面積=底×高。

師：通過割補把未知圖形轉化成已經會求面積的圖形，從而得出面積公式，看來你們學得不錯。這節課我們研究三角形的面積，你想怎么研究？

生：我想還用割補法把未知圖形轉化成已經會求面積的圖形。比如長方形、正方形和平行四邊形。

師：還有別的方法嗎？

生：不一定用割補法，只要能轉化成已經會求面積的圖形就行。

師：可能還有新的方法，但轉化成已經會求面積的圖形這個思路大家是一致的（板書，轉化）。打開你的學具袋，試著把三角形轉化成已經會求面積的圖形，開始研究吧。（教師巡視，與學生簡單交流，學具袋中有長方形、正方形、平行四邊形各一個，直角、銳角、鈍角三角形各一個）

（學生開始匯報，有用一個三角形沒有完成任務的，也有用一個三角形通過割補轉化成長方形的）

生：我們用兩個完全一樣的三角形拼成了一個平行四邊形（邊說邊演示）。

師：學具袋里只有一個三角形，你怎么想到用兩個完全一樣的三角形的？

生：我先用一個三角形去割補，沒有找到方法，這個三角形也壞了。我就想用長方形再剪一個三角形，但我還是沒有轉化成已經會求面積的圖形。我突然想到剛才我用長方形剪三角形的過程，從中間剪開正好是兩個完全一樣的三角形。那反過來不就是用兩個完全一樣的三角形就能拼成一個長方形了，所以我就這么做了。

在這里，教師準確地把握了轉化思想，學生利用已有經驗，采用逆向思維并產生了靈感，達到了很好的教學效果。在處理隱性的數學思想和方法上要注意以下三點：

一是明確思考方向。這是解決問題的總體思維，是大前提，是基礎。案例中新課伊始通過復習喚起學生對平行四邊形面積推導過程的回憶，順勢提出研究三角形的面積。在研究三角形面積時，先明確基本思想還是轉化，再研究具體的方法。

二是找到細微差別。這是問題呈現獨特的地方，也是教師最容易忽略的地方，需要教師站在更高層面去審視教材，不斷摸索，找到思想與方法上細微的差別，從而有的放矢地設計、教學。案例中從上節課的用一個圖形轉化，到這里借用一個圖形，用兩個圖形轉化，這就是兩節課的最大區別。

三是巧設鋪墊，激發靈感。有了正確的認識不等于最佳方案，還需要教師設置有效的活動，激發學生的靈感。案例中如何想到用兩個相同的三角形轉化，這是一個思維瓶頸，需要學生思維的轉變。在這里，教師并沒有給學生足夠的三角形進行鋪墊，卻給學生一個操作、想象、思考的空間。學生在自己做三角形的過程中通過逆向思維，觸發靈感，轉變思維，從而解決問題。

二、經歷“再發現”的過程，重現靈感培養的契機

受 “超前學習”的影響，很多學生似乎很多知識都“會”，甚至“對答如流”，這就讓本應是思維方式轉變的“關卡”變得“一馬平川”。在筆者對一年級“20以內加減法”和六年級“圓的周長”相關知識的課前測試中，學生正確率分別達到了90.3%和65.8%。如不能正確地透過現象看本質，學生的表現將掩蓋思維方式轉變的存在，教師也將忽略對學生靈感的培養。為了應對這一問題，教學時，教師應關注學生的學情并順勢而為。

例如，在教學“平行四邊形面積”一課時，筆者先導入新課，引導學生簡單回顧平行四邊形的有關知識。

師：你們知道平行四邊形的面積怎么計算嗎？

生：我知道，用割補法，把平行四邊形變成長方形，得出公式是：平行四邊形面積＝底乘高。

師：你們是怎么知道的？

生：我自學了。

生：我在托管班上學過。

師：你們的學習精神非?？杉选Ｄ悄銈優槭裁匆酶钛a法？什么地方可以用到割補法嗎？

師：我們不僅要知其然，還要知其所以然?，F在大家想，如果沒人告訴你平行四邊形面積的推導過程，你會怎么想，怎么辦？

生：把它轉化成會求面積的圖形，但一下子想不出具體方法來。

生：數格子，看它里面有多少個面積單位，它的面積就有多大。

師：這個方法最直接，是最基本的方法，大家肯定都會做。那好，咱們就用這種最原始的方案試一試，在試的過程中看你有什么發現。兩分鐘之后，可以把你的發現與小組內同學交流。

（學生開始數格子。兩分鐘后，學生開始交流，氣氛越來越活躍）

生：數的時候，我發現很多格子不滿一格，比如這個，但把它移到這邊和這邊的一拼就成了一個滿格。這樣一個一個地移太麻煩了，我想從這兒切開，把它一起移過去（邊說邊演示）。這個過程就是我們說的割補。我明白為什么用割補了。

生：每個格子都是正方形，我明白為什么割補要沿高切了。

生：我還有一個發現，為什么用到割補呢？主要是這個邊不垂直于底，是斜的。

以上案例中，教師尊重學生的已有認知，對他們所掌握的知識給予肯定，但同時對學生的“會”，采用追問的方式，刨根問底，最終達到了激發靈感的效果。這個教學過程體現出以下兩個方面的策略：

（一） 還原“發現”過程，確定思維轉變的切換點

教師在組織教學時，要盡可能充分暴露知識形成過程，讓學生親歷知識的再創造、再發現，有意識地讓學生感悟一些數學思想，提高發現問題、分析問題和解決問題的能力，逐步培養其會用數學眼光發現世界、會用數學思維觀察世界、會用數學語言表達世界的核心素養。面對類似案例中學生的“一知半解”“似是而非”，更要把視角從記憶性知識轉向程序性知識，把學習的重心落到數學思想和數學核心素養的形成上。案例中，教師在了解學生知道結論后，給予肯定，但同時又提出：“如果沒有人告訴你，你會怎么想，怎么辦？”這個問題讓學生回到起點，重新思考，從而找到思維方式轉變的切換點，為靈感的激發奠定基礎。

（二） 經歷“再發現”，適時激發靈感

新課標中指出：“能夠探索自然現象或現實情境所蘊含的數學規律，經歷數學‘再發現’的過程?！薄霸侔l現”不是簡單的重復，而是重現靈感產生的過程，從而學習、體會、領悟轉變思維方式的方法。以本課為例，在“再發現”的過程中，學生怎么想到用“割補”法的，這是本課的關鍵，是學生靈感的爆發點。在這個問題上，個別教材在設計上也不盡合理，有的版本為了降低難度，在數格子知道平行四邊形的面積時，強調“不滿一格的按半格計算”，這本身既不科學，又會將思維轉變過程中的靈感扼殺。而案例中的教師把數格子的決定權交給了學生，學生在數的過程中靈感突現，從而轉變思維方式，“創造”了“割補”的方法，同時也理解了割補怎么來的、為什么強調要沿高切、什么時候用到割補等。

三、靜待花開，堅信學生靈感會突現

當前，課堂教學時間在很多地區已經變為三十五分鐘。個別教師為了盡快得到自己想要的答案，會把問題設計得非常直接，這樣的問題就失去了思考價值，從而也就不會有學生靈感的突現。教師不應急于求成，而應靜待花開，給學生充足的時間，相信他們會在思辨中調整方向，從而實現思維的飛躍、發展。

（一） 問題留白

“留白”原本指的是書法、繪畫中為欣賞者留下的想象空間。同樣，在課堂上教師提出的問題也要給學生留有思考的空間和時間。如果問題沒有思考價值，就難以讓學生產生靈感；學生如果沒有時間，無暇思考，就不可能產生靈感。

例如，“3的倍數的特征”一課，筆者是這樣處理的。

生：3的倍數在斜線上。

師：這條線上的數有什么特點？（留白、靜待）

生：除了第一排外，其余的都是個位數逐個減1，十位數逐個加1。

生：我也發現了這個規律，這一斜線上各個數位上的數相加和相等。（靜待）

生：其他斜線上的數，各個數位上的數相加和也不變，這個不是特點。

師：大家已經轉變思考方向，不再關注某位上的數字，而是整體去思考，已經關注了各個數位上數字之和。（留白、繼續靜待）

生：老師，我發現斜線上的數各個數位上數字之和分別是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11……，3的倍數各個數位上數字之和分別是3、6、9、12、15……，這些數都是3的倍數。我找到規律了……

從這個片段中不難看出，學生的靈感會在教師的有效啟發和耐心等待中迸發。

（二） 思維留痕

隨著教育改革的不斷深入，教研質量的不斷提高，數學教材雙線設計得到教師充分的理解，教師有必要將轉化思想、數形結合、對應思想等數學思想、方法加以明確，甚至使其出現在板書中。

例如，“三角形面積”一課的板書可以如圖3這樣設計：

教師把“轉化”思想和“倍拼法”明確地寫在板書上，一方面可以更好地幫助、強化學生領悟、掌握思想、方法，為創造靈感打下理念基礎和思維模型；另一方面，可以引領教師把目光從具體的知識技能層面轉向隱性的數學思想、方法層面，使得教學達到更高的立意。

總之，靈感不是先天的，思維方式的轉變也不是一蹴而就的，它們是學生觀察世界、思考世界時的創造性表現，是在學習過程中逐步培養和形成的。學生在學習中產生更多、更有效的靈感需要教師不斷思考、挖掘、創造，并形成教學策略。

（責任編輯：楊強）