在數學概念指導下進行教學設計的策略比較

孫慶芳

所謂的“數學概念”學習理論，一是指教師要理解核心概念、數學理念、編寫意圖等數學概念要素，弄清楚它們之間的內在聯系，充分利用配套資源，提高備課質量和效率，減輕備課壓力，提高課堂教學質量。二是指教師要充分理解《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）中的理念，培養學生 “會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維分析世界，會用數學的語言描述世界”。只有把這些最基礎的、最核心的數學概念、數學思想內化成教學本能，教師專業水平向上發展的空間才能打開，學生的可持續學習和發展才能得到基本保障，才能真正實現教學相長的良性發展。當教師腦海中有了數學概念的引領，我們的數學課就有了靈魂，就有了方向。下面以北師大版數學教材為例，通過不同教學設計策略的比較，來解析如何在數學概念指導下進行教學設計。

一、以數量關系發展學生的數學思維

要弄清最基礎的、最核心的數學概念和數學思想，我們就要從源頭上進行研究，即“數學”是什么？新課標在開篇就明確指出：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”這一看似簡單的定義，整體把握住了學習數學的出發點和目標。“數學”定義的高度概括，充分展現其高度的抽象性和廣泛的應用性，這就賦予了小學數學教學一項根本任務，即營造安全寬松的學習環境，引領學生感悟所處空間及事物間的數量關系。

數量關系指的是數字與數字之間、數字與未知數之間、未知數與未知數之間的等量、大小等關系。數量關系是最基礎的數學概念，在實際教學中，很多教師采取的教學設計只關注規律的獲得，卻忽視了分析數量關系的方法和經驗的理解與積累，這對發展學生的數學思維來說是不利的。

例如，有一位教師在教學北師大版數學教材五年級上冊“圖形中的規律”的課始階段進行了如下設計。

首先，引入新知，揭示課題。

課件演示：用小棒擺1個三角形，要幾根小棒？（3根）擺2個三角形，要幾根小棒？（6根）如果擺n個三角形，要幾根小棒？（3n根）

導入：這節課我們通過擺小棒的方式共同探究一些圖形中的規律。

揭題：圖形中的規律。

其次，組織探究，發現規律。

師：下面，我們來探究三角形的規律。剛才用6根小棒擺成兩個三角形，現在只給你5根小棒，能擺出兩個三角形嗎？說說為什么可以節省1根小棒？這根小棒到哪兒去了？由于這根小棒被兩個三角形公用了，因此我們把這根小棒所組成的這條邊叫做兩個三角形的公共邊。

師：如果換一種方法來擺三角形，需要幾根小棒呢？現在請同桌兩人合作，一個人擺，一個人記錄。

之所以選擇這一節課來分析，是源于在調查過程中我發現，很多教師都把這節課的重點定在規律的尋找上，但是它的核心本質應是分析數量關系，因為隨著數量之間關系的結構性呈現，規律就會隨之而來。在實際教學中，教師要借助好玩的數學活動，引導學生獲得分析數量關系的基本方法和基本經驗。上述過程是很多教師經常采取的教學設計方式，這種設計雖然能夠通過各種不同方法把規律分析出來，進而實現教學目標的達成，但是學生在分析數量關系的方法和對經驗的理解與積累上是缺失的。如果在大的“數學觀”指導下，在這里加一個問題并板書，變成下面我們所陳述的這個案例，就能以數量關系發展學生的數學思維。

首先，引入新知，揭示課題。

課件演示：用小棒擺1個三角形，要幾根小棒？（3根） 擺兩個三角形，要幾根小棒？（6根）如果擺n個三角形，要幾根小棒？（3n根）

師：三角形個數與什么有關系？

生：三角形個數、小棒根數。（教師根據學生的回答進行板書）

師：這節課我們通過擺小棒的方式，共同探究一些圖形中三角形個數與小棒之間的變化規律。

揭題：圖形中的規律。

其次，組織探究，發現規律。

師：現在只給你5根小棒，你能擺出兩個三角形嗎？那么還是二倍關系嗎？

師：如果是這樣擺3個、4個……n個三角形，各需要幾根小棒呢？請你依據老師的板書提示思考，怎樣能把你的操作過程完整記錄下來？請繼續思考和歸納，看看它們之間有沒有什么共性的東西？現在請小組內精心討論并設計統計方式，再進行擺圖形操作，一個人擺，一個人記錄，其他同學觀察思考如何找規律。

這樣改完之后，學生就在研究數量關系的指導下，開啟數學學習的探究。當然，本課是五年級的課程，教師應從一年級就開始引導學生進行這樣的學習，把研究數量關系這一學習目標，逐漸地浸潤到學生的腦海中，使之形成本能的思維習慣。

二、以“三會”培養學生的數學素養

新課標提出，數學課程要培養的核心素養包括“三會”：會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。“三會”培養目標的達成，需要教師立足數學概念中的思想、理念、方法，通過在課堂中的逐漸滲透，像春雨一樣慢慢滋養學生的心田。這就要求教師要扎扎實實地把教材所蘊含的思想、理念、方法都學透、悟透，抓住數學概念本質，確定教學重難點。

下面以北師大版數學教材五年級上冊“圖形中的規律”交流反饋階段的教學設計為例，通過對比分析，探究數學概念指導下進行教學設計的策略。有一位教師進行了如下設計。

首先，校對答案是否正確，展示不同學生的列式計算方法。

其次，通過總結學生的擺、畫、算過程，提問：你有什么發現 （每多一個三角形，小棒就增加2根）？

師：說一說通過觀察，你發現三角形個數與小棒的根數之間有什么關系？

教師課件同步演示規律一。第一個三角形3根小棒，后面每多一個三角形，小棒就增加2根，從而總結出一般性規律：3+（三角形的個數-1）×2=小棒根數。

演示規律二。第一個三角形的第一根小棒先不看，每個三角形都可以看成2根小棒，這樣就可以總結出一般性規律：1+三角形的個數×2=小棒根數。

演示規律三。兩個三角形有1根小棒重復，3個三角形有2根小棒重復，總結出一般性規律：三角形的個數×3-重復的根數=小棒根數。

師：如果這樣繼續擺30個三角形，需要幾根小棒？如果擺n個三角形，需要幾根小棒？你能用含有字母的式子來表示嗎？哪種更好理解？

再次，規律應用。

師：找到了規律，就要學會應用，你能馬上告訴我這樣擺37個三角形需要幾根小棒嗎？笑笑用了37根小棒，你知道她擺了幾個三角形嗎？

最后，遷移運用。

師：如果像這樣擺一排正方形，它的個數與小棒根數之間又會有什么規律呢？如果擺20個正方形，需要多少根小棒？

之所以說這篇案例具有一定的共性，就是因為它把分析所謂的找規律作為重點、難點來處理了，而本課實質是借助“數學好玩”單元，在數學好玩的情境中，從感悟數量到分析數量關系，再到會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維分析世界、會用數學的語言描述世界，把一個完整的數學學習過程展現給學生。

如果把操作中的擺、畫、算的過程，改為列表、擺圖形、記錄、算法研究、概括，就可以把新課標所提倡的“三會”觀點完整地呈現出來。

首先，教師根據各組學生設計表格項目的情況，組織他們進行交流匯報，互相評論，把各組的優點討論清楚之后再設計完整的統計表格。在匯報、評論、討論的過程中，“數量關系”應是整個學習過程的核心。

其次，擺圖形。這個步驟與前面的教學過程相比看似簡單了，但是由于前面提到了3個、4個……n個的設問，所以學生一定會從3個三角形擺起，而教師在這里不妨給他們先“挖個坑”，不做提示，讓他們繼續擺下去。

再次，記錄。數據的記載是最基礎的教學方法，也是最重要的教學方法，是教學重點、難點的突破口，更是大有學問。最初級的數數階段，即5根、7根、9根……雖然也呈現出有規律的變化，但遠遠不夠；教師應引導學生把數據變化的過程都一一記錄下來，即3+2=5、3+2+2=7……這是重中之重的學習環節。

再次，算法研究。這是整個教學過程的難點，這個難點的突破，取決于前面記錄的方法，如果前面記錄得科學，那么整個數據結構化呈現就會清晰明了，規律就會十分自然地顯現，下面學生的學習就會水到渠成，課程內容的展現和學習目標的達成就會一致了。

最后，概括過程。概括既是抽象的過程，又是推理的過程，同時還是建模的過程和點睛的過程。這一環節的重點在于教師引導學生把所看到的規律用符號表述出來，使學生體會數學語言的多樣性。

如何把整個過程科學完整地展開？這就需要教師把前面設置的“坑”填好。在交流反饋的環節中，根據學生的實際，無外乎出現兩種情況：完整的情況，即學生擺的三角形個數是1、2、3、4……；不完整的情況，即學生擺的三角形個數是3、4、5……這時，教師要引導學生討論——你所找到的規律包含了一個、兩個三角形的情況嗎？教師通過及時的問題引導，讓學生明白——要想尋找事物變化規律，就要從初始狀態開始。這樣就可以達成培養學生觀察思考的嚴密性的目標，其中在學生學習遇到普遍性問題時，教師的主導作用必須要及時體現。

數據記錄的呈現是豐富多彩的，教師要根據實際情況，組織學生充分進行比對分析，看看哪種方法能更好地呈現出有規律的變化（如表1所示）。

表1 數據記錄呈現

[三角形個數 小棒根數 三角形個數 小棒根數 三角形個數 小棒根數 1 3 1 3 1 1+2 2 5 2 3+2 2 1+2+2 3 7 3 3+2+2 3 1+2+2+2 ]

教師要引導學生依據數據的結構性呈現，概括出解決問題的一般算法，形成具有普遍意義的模型，再利用這種方法去解決更廣泛的問題。

通過以上設計，就可把單純的算轉變成豐富多彩的、富有挑戰的數學學習，使學生在知識、能力、思想、經驗等方面得到全面發展。

三、以“情境+問題串”促進學生的數學理解

北師大版數學教材的一個顯著特色就是“情境+問題串”，教師要把這一特點在教學設計中凸顯出來，要緊扣分析數量關系這一根本，把“三會”的思想無聲地滲透在每一個環節中。實際上，教材已經把這個問題處理得非常到位了，但是由于相當多的教師在認知中并沒有“三會”思想這一知識儲備，再加上對教材研讀不到位，所以在很多教學設計中并沒有顯示出來。

同時，北師大版數學教材“情境+問題串”的設計，也把“四個過程一致”這個特點展現得淋漓盡致，教師把“四個過程一致”理解到位了，備課就輕松了。因為它既是教案又是學案，隨著課程內容的展開，教與學有機地交融到一起，隨著課程結束，教學目標達成。所以，教師備課時不需要再設計框架、環節、問題、練習……要考慮的應是如何把思想、理念、方法融入教學中。

例如，在教學北師大版數學教材三年級上冊“搭配問題”一課時，有一位教師對本節課“情境”這一環節認識不到位，還只是停留在例子、導入的認知水平，所以處理起來基本就是：看看能提出什么數學問題，并以此導入新課。

師：同學們，你們早上起床第一件要做的事是什么呢？洗漱完之后，你又會做什么呢？

師：吃完早飯，我們就高高興興地去哪里？在平時的穿衣、吃飯、走路中，有沒有我們要研究的數學問題呢？這節課我們就一起走進“搭配中的學問”，解決穿衣、吃飯、走路中的數學問題。

而教材創設的情境是馬戲團小丑服裝的搭配，之所以選擇馬戲團，編者的意圖就是借助小丑這一特定角色，激發學生的興趣，看看怎么搭配小丑的服裝才更有喜劇效果。在備課時，教師絕不能把學生引導到喜劇過程中去，而是應適時地引導到“上衣的數量與褲子的數量，決定了演出服飾穿法的數量”的分析上來。教師要緊扣“數量分析”這一核心，同時還要淡化馬戲小丑這一情境，實現“去情境”。由情境的導入到“去情境”，是實現“會用數學的眼光觀察世界”的學習過程，即在歡快的學習環境中完成一次抽象的學習過程。而在這位教師的教學中，則是把“問題串”簡化成一問一答的平鋪直敘，把 “問題串”中的邏輯關系弱化了，把蘊藏其中的“三會”的數學思想弱化了，把學生應該得到的思維發展的體驗弱化了。

實際上，北師大版數學教材中“問題串”的設計，基本都體現了“發現和提出問題、分析和解決問題”的全過程。而且教材中的“問題串”都緊扣了數量關系的分析，把“三會”思想滲透和培養貫穿其中。

以北師大版數學教材四年級下冊“優化”一課的“問題串”設計來做分析，教師要引導學生體會新課標中“從與課程內容有內在聯系的特定情境出發，展開一組問題，學生在教師的引導下理解情境、解決問題的過程就是學習數學、發展數學、實現數學課程目標的過程”的設計編排。

問題一：為媽媽沏杯茶，怎樣安排可以節省時間？這個問題中，要使沏茶時間最短可以分成幾個步驟？每個步驟要用多長時間？每個步驟之間的內在關系是什么？這些問題既滲透了“做事情要心中有數”的教育，同時又滲透了“有序”“包含”思想的教學處理。

問題二：在沏茶的過程中什么事情可以同時做？這一問題引導學生圍繞可以同時做的事情進行深入探討，其本質就是把“有序”“包容”的思想轉化為學習行動。一是討論事物之間內在的、必然的、有序的聯系；二是對可包含的事物之間時間大小不同的分析。通過兩個維度來優化程序可以節省大量教學時間。同時，教材又通過一個流程圖滲透了思維可視化的設計方案，使學生懂得陳述語言的多樣性。

問題三：需要多長時間？這個問題通過計算不同程序所需時間，引導學生進一步體會優化思想。此外，還引導學生從“做事情從心中有數”開始，通過分析事物之間的內在聯系，回歸到利用對數的計算，得出最優化的解決方案。

通過三個緊密關聯的問題，形成了一整套解決問題的一般方法，完成了“三會”思想指導下的完整的學習過程，使學生的學習成為一個可持續發展的過程。

總之，教師可以借助對案例的分析來深入探討新課標要求，充分利用教學用書、挖掘教材所富含的教育思想和方法。備課時，教師要深入理解數學概念本質，以數學概念為指導，優化教學設計，培養學生的核心素養。

（責任編輯：楊強）