巧借“補形”思維，妙解立體幾何問題

■孫海鷹

利用“補形”思維這一橋梁,可以使數學的思維方法更加活躍、簡捷,應用起來更加靈活、多樣,能有效培養同學們思維的靈活性、獨創性。利用“補形”思維可以把空間立體幾何中的一些不規則形體、不熟悉形體、殘缺形體補成相應的規則形體、熟悉形體、完整形體等,對解決問題起到化繁為簡、一目了然的作用,使得數學思維更加靈活,數學知識結構更加完整、充實,數學思想方法更加完美。

一、還原補形法

例1為了給數學家帕西奧利的《神圣的比例》畫插圖,列奧納多·達·芬奇繪制了一些多面體,圖1 所示的多面體就是其中之一。它是由一個正方體沿著各棱的中點截去八個三棱錐后剩下的部分,這個多面體的各棱長均為2,則該多面體外接球的體積為( )。

圖1

A.16π B.8π

分析：對于此類空間立體幾何中的不規則形體——多面體,直接處理起來有較大的難度,可借助空間幾何體的還原補形法,把該多面體進行還原補形為正方體,結合補形前后對應圖形中相關元素的位置關系與變化情況,進行合理分析與運算。

解：結合圖1,把該多面體進行還原補形為正方體,如圖2所示。

圖2

點評

還原是回歸問題本質的一種邏輯推理方式。在解決一些空間幾何體問題中,合理回歸,完整地進行還原與補形是解題的關鍵。在處理空間幾何體的還原補形時,要注意回歸的簡單幾何體與“補”上去的小幾何體之間要素的聯系與圖形之間的變化,正確構建相互之間的關系,不要出現添加或遺漏。

二、聯系補形法

例2已知正三棱錐P-ABC,點P,A,B,C都在半徑為3的球面上,若PA,PB,PC兩兩相互垂直,則球心到截面ABC的距離為_____。

分析：此類不同空間幾何體間(正三棱錐與球)的聯系問題,需要進行合理補形,將正三棱錐與球這兩種不同的空間幾何體聯系在一起,使得問題的處理直觀易懂,從而便于分析與計算。

解：由于正三棱錐的側棱PA,PB,PC兩兩互相垂直,故以PA,PB,PC為棱補成正方體,如圖3所示。

圖3

球心O為正方體的體對角線PD的中點,且PO= 3,則正方體的棱長為2。

點評

尋找聯系是構建不同數學元素之間的橋梁。在空間立體幾何問題中,抓住不同空間幾何體之間的聯系,合理補形(如三條側棱兩兩互相垂直,可補形為正方體或長方體),使得問題更加直觀易求。

三、對稱補形法

例3如圖4所示,在斜截圓柱中,已知圓柱的底面直徑為40cm,母線最短與最長的分別為50cm,80cm,則該斜截圓柱的體積V=____。

圖4

分析：此類空間幾何體中的殘缺形體,屬于不太規則的空間幾何體,直接求解無從下手,可借助空間幾何體的幾何特征進行合理的對稱補形,將題設條件中的斜截圓柱按斜截面吻合對接,補全為一個完整的圓柱,再利用圓柱的體積公式求解。

解：將題設條件中的斜截圓柱按斜截面吻合對接,補全為一個完整的圓柱(即斜截圓柱進行翻轉對接)。

點評

對稱是數學中的一種重要關系,也是充分展示數學美的一種表現形式。在解決空間幾何體問題時,對于一些特殊的殘缺形體,要善于發現圖形中的對稱關系與幾何特征,借助相同圖形之間的對稱補形法進行化歸與轉化,對空間想象能力的提升很有幫助。

編者的話：“補形”思維解決立體幾何問題,是整體思想的一種具體體現,可將不規則的、陌生的、復雜的幾何體補成規則的、熟悉的、簡單的幾何體(如常見的長方體、正方體、平行六面體、圓柱等),在所補成的空間幾何體中研究原幾何體的有關元素的位置關系、空間角或空間距離的計算等,從而實現問題的順利解決。這類問題,能全面考查數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這“四基”的落實情況,以及發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養與提升。

感悟與提高

若三棱錐P-ABC中最長的棱PA=2,且各面均為直角三角形,則此三棱錐外接球的體積是_____。

提示:根據題意,可把該三棱錐補成長方體,如圖5 所示,則該三棱錐的外接球即為該長方體的外接球。易得外接球的半徑,所以該三棱錐外接球的體積

圖5