立體幾何中的證明問題

■李富志

立體幾何中的證明問題,主要就是空間位置關系的證明,這類問題包括命題真假的判斷、共性(共點、共線、共面)問題,以及線線平行(垂直)、線面平行(垂直)與面面平行(垂直)問題。利用幾何法來證明時,關鍵就是正確的空間想象與直觀形象,合理的邏輯推理,綜合利用相關定義、定理加以分析與證明。

一、命題真假的判斷

直接利用相應的定理、定義、公理進行分析;依據題設作出簡單圖示,利用圖示進行直觀分析或說明;合理聯想,將規則幾何體作為模型,取其中的部分位置關系進行分析說明。

例1(多選題)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化代表之一,印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”。半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,古希臘著名數學家阿基米德研究過此類多面體的性質,故半正多面體又被稱為“阿基米德多面體”。半正多面體體現了數學的對稱美,如圖1是一個棱數為24的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的棱上,且此正方體的棱長為1。下列關于該多面體的說法中正確的是( )。

圖1

A.多面體有12個頂點,14個面

B.多面體的表面積為3

C.多面體的體積為

D.多面體有外接球(即經過多面體所有頂點的球)

點評

解答這類問題,關鍵是利用立體幾何中相關的定義、性質、定理、公理等,綜合起來逐一分析,再借助空間想象與直觀分析,進行合理判斷。

二、共性(共點、共線、共面)問題

共性(共點、共線、共面)問題證明的關鍵是利用立體幾何中的公理、定理與相關性質,化空間圖形為平面圖形進行綜合分析。

例2如圖2,在三棱錐A-BCD中,側棱和底面邊長均為6,H,G分別是AD,CD的中點,E,F分別是AB,BC上的點,且

圖2

(1)求證:E,F,G,H四點共面。

(2)設直線EH與FG相交于一點P,證

點評

證明空間中共性(共點、共線、共面)問題,常見的證明方法就是利用空間幾何圖形的結構特征,通過相關的公理、定義、性質與定理等,借助幾何法的推理與論證,通過空間問題平面化進行轉化與證明。

三、平行關系

平行關系證明的思路是利用空間幾何體的結構特征,結合中位線定理、線面平行的性質等,構造平行四邊形或尋找比例關系進行證明。

例3(2022年新高考卷)如圖3,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E為PB的中點。

圖3

求證:OE//平面PAC。

證明：依題意得OP⊥平面ABC,所以OP⊥OA,OP⊥OB,所以∠POA=∠POB=90°。因 為PA=PB,所 以△POA≌△POB,所以OA=OB。延長BO交AC于點D,連接PD。在△ABD中,因為AB⊥AC,所以O為BD的中點。

在△PBD中,O,E分別為BD,BP的中點,所以OE//PD。

而OE?平面PAC,PD?平面PAC,所以OE//平面PAC。

點評

證明線面平行時,尋找平面外的一條直線與平面內的一條直線平行,將線面平行轉化為線線平行,從而進行“降維”處理。

感悟與提高

如圖4,在三棱錐P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC。求證:平面PAB⊥平面PBC。

圖4

提示:因為平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,平面ABC∩平面PAC=AC,PA?平面PAC,所以PA⊥平面ABC。因為BC?平面ABC,所以PA⊥BC。因為AB⊥BC,AB∩PA=A,AB?平面PAB,PA?平面PAB,所以BC⊥平面PAB。又BC?平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC。