執(zhí)行器受限下離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)容錯控制

張 躒，劉冠邦，徐川川，李 榮，熊師洵

(1.中國電子科技集團 第二十八研究所，南京 210023；2.太原理工大學 電氣與動力工程學院，太原 030000；3.南京郵電大學 物聯(lián)網(wǎng)學院，南京 210003)

0 引言

在傳統(tǒng)控制系統(tǒng)中，由于采用點對點的通信方式，一般具有布線復雜、維護成本高以及無法遠程控制等缺點，因此，隨著大規(guī)模工業(yè)化的興起，傳統(tǒng)的點對點控制系統(tǒng)已經(jīng)不能滿足工業(yè)化控制的要求。20世紀80年代以來，隨著智能傳感器技術、計算機技術以及網(wǎng)絡通信技術的飛速發(fā)展，控制系統(tǒng)逐漸從點對點控制發(fā)展到基于計算機的分布式控制系統(tǒng)，直至通信網(wǎng)絡出現(xiàn)并逐漸融入計算機控制系統(tǒng)，從而出現(xiàn)基于通訊網(wǎng)絡的控制系統(tǒng)，即網(wǎng)絡控制系統(tǒng)[1-4]。與傳統(tǒng)點對點控制相比，網(wǎng)絡控制系統(tǒng)具有可靠性高、靈活性強、資源共享等優(yōu)點，且易于遠程操作與控制[5-6]。因此，網(wǎng)絡控制系統(tǒng)逐漸在工業(yè)、交通、醫(yī)療以及軍事等領域得到了廣泛的應用[7-8]。所以，作為控制論、信息論以及計算機通信技術的交叉融合產(chǎn)物，網(wǎng)絡控制系統(tǒng)正逐漸從理論研究延申到越來越多的實際應用中。

從20世紀50年代開始，對于離散系統(tǒng)的有關研究，逐漸開始被控制學界所重視，并取得了眾多的研究成果。一開始，人們對連續(xù)信號進行Z變換處理，隨著計算機技術在工業(yè)生產(chǎn)和生活中的廣泛應用，離散信號通過采樣開關獲取后被提供給微型計算機，計算機識別離散信號后再進行分析和處理，因此，對于計算機來說，離散信號是其唯一可以識別利用的信號。所以對于計算機控制系統(tǒng)來說，就算采集得到的信號是連續(xù)信號，也必須離散化為離散信號，再進行穩(wěn)定性分析等處理。除了在計算機系統(tǒng)中得到應用外，離散系統(tǒng)也廣泛存在于日常生活中，比如熱線電話的排隊系統(tǒng)，人口數(shù)據(jù)統(tǒng)計及紅綠燈交通系統(tǒng)等。近些年來，隨著計算機技術和控制系統(tǒng)的結合越來越緊密，離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的應用變得十分廣泛。值得注意的是，在目前網(wǎng)絡控制系統(tǒng)研究的浪潮下，對于連續(xù)的網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的研究相對成熟，而對于離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的研究則相對沒有那么充分。

對于網(wǎng)絡控制系統(tǒng)來說，通信網(wǎng)絡的引入雖然給控制系統(tǒng)帶來了諸多優(yōu)點，但是由于網(wǎng)絡的一些自身特性以及不同節(jié)點共享網(wǎng)絡，通常會帶來一些新的問題。

對于網(wǎng)絡控制系統(tǒng)來說，傳感器，控制器，執(zhí)行器的節(jié)點在地理上往往分布較為廣泛，同時由于網(wǎng)絡帶寬是有限的，會導致傳感器，控制器和執(zhí)行器在進行數(shù)據(jù)交換時數(shù)據(jù)碰撞、連接中斷、網(wǎng)絡阻塞、數(shù)據(jù)重發(fā)等現(xiàn)象，從而引起數(shù)據(jù)交換和傳輸出現(xiàn)延遲，這種由網(wǎng)絡自身特性引起的時延被稱為網(wǎng)絡誘導時延。網(wǎng)絡誘導時延往往由3個部分組成：傳感器到控制器的傳輸時延，控制器到執(zhí)行器的傳輸時延以及控制器的計算時延。相比之下，計算時延比傳輸時延和小很多，甚至可以忽略不記。此外，數(shù)據(jù)包容量、網(wǎng)絡負載、網(wǎng)絡傳輸速率等因素還會導致網(wǎng)絡誘導時延發(fā)生改變，數(shù)據(jù)在網(wǎng)絡傳輸?shù)倪^程中時常受一些外界因素的干擾，例如隨機的外部干擾等，這些都會導致時延發(fā)生改變。網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中存在不同特性的網(wǎng)絡誘導時延，可能是隨機的，可能是恒定的有，也可能是有界的，這主要取決于網(wǎng)絡的通信協(xié)議。

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)在實際運行中，由于非理想網(wǎng)絡特性和被控系統(tǒng)自身物理特性等限制，控制資源往往不能完全實時滿足控制性能需求[9]。首先，執(zhí)行器飽和是實際控制系統(tǒng)中常見的現(xiàn)象，當控制輸入達到其物理極限時，稱為執(zhí)行器飽和，這種現(xiàn)象必然會給控制系統(tǒng)分析與設計帶來困難[10]。例如：現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)過程如石油、化工、冶金、制藥、食品、鋼鐵等多個行業(yè)中，都需要監(jiān)測和控制液位的高度，而實際的液位控制系統(tǒng)往往存在控制輸入飽和受限問題，這將影響控制系統(tǒng)的性能，甚至導致系統(tǒng)失穩(wěn)。其次，故障主要來源于系統(tǒng)長時間工作導致的組件老化、磨損以及系統(tǒng)維修時操作不當或錯誤操作等。故障信號會直接降低系統(tǒng)性能，甚至影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，其中執(zhí)行器故障對系統(tǒng)性能影響最大[11]。執(zhí)行器故障在不同工況下呈現(xiàn)的程度不一，例如：執(zhí)行器部分失效、參數(shù)漂移、卡死、隨機故障等，對控制系統(tǒng)分析和設計提出了巨大挑戰(zhàn)。

從20世紀90年代開始，線性矩陣不等式逐漸被廣泛應用于解決系統(tǒng)中的控制問題。隨著內(nèi)點法的提出，以及Matlab中的LMItoolbox的出現(xiàn)，線性矩陣不等式作為解決系統(tǒng)控制問題的一個重要工具，已經(jīng)得到了越來越廣泛地應用。線性矩陣不等式經(jīng)過30多年的發(fā)展，廣泛應用于時滯系統(tǒng)、不確定系統(tǒng)、切換系統(tǒng)等穩(wěn)定性分析和控制器設計中。在此之前的Riccati方程法，有大量的參數(shù)和對稱正定矩陣需要預先調(diào)整，而線性矩陣不等式方法不需要預先調(diào)整任何參數(shù)和正定對稱矩陣，大大降低了問題求解的保守性。

因此，本文針對存在執(zhí)行器受限(執(zhí)行器故障/飽和)的離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)，針對執(zhí)行器故障和飽和受限分別進行建模，在充分考慮了時變網(wǎng)絡誘導時延和系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題，并且設計了一類容錯控制器，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI技術求解控制增益，使得閉環(huán)系統(tǒng)在設計的控制器作用下漸近穩(wěn)定，最后，通過仿真驗證了提出方法是有效的并具有更小的保守性。

符號說明：I代表單位矩陣，diag{·}表示對角矩陣，(*)表示對稱矩陣的對稱結構。AT表示其為A的轉置矩陣，sym(A)表示A+AT；若A為非奇異矩陣，則它的逆矩陣表示為A-1。對于對稱矩陣A，A>0(A<0)表示A是正定(負定)的。除特殊說明外，本文涉及到的矩陣均是適維矩陣。

1 問題描述

考慮一類帶有系統(tǒng)參數(shù)不確定的離散時間系統(tǒng)被控對象如下：

(1)

(2)

并且ΔA(k)，ΔB(k)滿足如下[13]：

(3)

其中：D，E1，E2是已知常值矩陣，Δ(k)為時變矩陣且滿足ΔT(k)Δ(k)≤I。控制結構框圖如圖1所示。

圖1 網(wǎng)絡控制系統(tǒng)結構框圖

其中控制輸入uF(k)收到飽和非線性的限制，可以表示為sat(uF(k))，其中sat(·)為飽和函數(shù)且有如下：

(4)

為了后文分析方便，給出如下假設條件：

假設1[14]：傳感器系統(tǒng)采樣信號數(shù)據(jù)為單包傳輸，且系統(tǒng)狀態(tài)信息能夠被測量。

假設2[15]：傳感器是時間驅動的；控制器和執(zhí)行器是事件驅動的。

假設3：為了分析方便，系統(tǒng)暫時不考慮傳輸丟包現(xiàn)象。

2 故障及飽和模型建模

由于執(zhí)行器存在故障，首先定義M(k)=diag{m1，m2，…，mm}為故障矩陣，其中mi=1(i=1，…，l)表示第i個執(zhí)行器節(jié)點工作情況良好；mi=0，(i=1，…，l)表示第i個執(zhí)行器節(jié)點存在全故障無法工作；0

mu=diag{mu1，…，mum}，0

(5)

ml為故障矩陣下界，可表示為：

ml=diag{ml1，…，mlm}，0

(6)

接下來定義矩陣：

(7)

(8)

根據(jù)式(8)，可以得出|G(k)|≤I，其中|G(k)|=diag{|g1(k)|，…，|gm(k)|}。綜合上面所述內(nèi)容，M(k)可以等價為如下形式：

M(k)=M0[I+G(k)]

(9)

由于執(zhí)行器同樣存在飽和受限的現(xiàn)象，本文使用sat(uF(k))來表示執(zhí)行器飽和受限，為了得到執(zhí)行器飽和具體數(shù)學模型表達模式，給出了如下定義：

定義1[17-18]：如果非線性項Ψ(·)滿足如下不等式：

(Ψ(v)-H1v)T(Ψ(v)-H2v)≤0，?v∈Rr

(10)

其中：H1，H2∈Rr×r為實數(shù)矩陣且H=H2-H1。

H1為半正定矩陣，則稱非線性項Ψ(·)滿足[H1，H2]扇區(qū)限制條件。

根據(jù)文獻[17]和[18]，假設存在對角矩陣F1，F(xiàn)2且0≤F1≤I≤F2，因而飽和項sat(uF(k))可以表示為：

sat(uF(k))=F1uF(k)+Ψ(uF(k))

(11)

其中：F1uF(k)為線性函數(shù)，Ψ(uF(k))為非線性項。根據(jù)定義1，如果設置H1=0和H2=F，則有：

ΨT(uF(k))[Ψ(uF(k))-FuF(k)]≤0

(12)

其中：F=F2-F1。

3 穩(wěn)定性分析及控制器設計

接下來，針對上述存在執(zhí)行器受限和執(zhí)行器故障的離散網(wǎng)絡控制系統(tǒng)進行控制器設計，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析結論，再基于LMI技術得到控制器增益的求解方案。

為了更好地得到后續(xù)結論，給出后文分析所需定義和引理。

定義1[12]：對于線性離散系統(tǒng)x(k+1)=f(x(k))，k=0，1，2，…且有f(0)=0，如果存在一個x(k)的變量函數(shù)V(x(k))，對所有的x(k)都滿足：

1)V(x(k))>0

2)ΔV(x(k))<0，其中ΔV(x(k))=V(x(k+1))-V(x(k))

那么平衡狀態(tài)x=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。

引理1[19]：(離散Jenson不等式)對于任意矩陣Z>0，正整數(shù)γ1>0，γ2>0滿足γ2≥γ1≥1以及向量函數(shù)ω(·)：[γ1，γ2]→Rn，則有如下不等式成立：

1)S<0；

引理3[20]：給定適當維數(shù)常數(shù)矩陣Γ，Λ與對稱矩陣γ，對于任意滿足FT(k)F(k)≤I的時變矩陣F(k)，如果γ+ΓF(k)Λ+ΛTFT(k)ΓT<0成立，則對常數(shù)α>0，有如下不等式成立：

γ+αΓΓT+α-1ΛTΛ<0

根據(jù)假設1，考慮傳感器到執(zhí)行器之間的網(wǎng)絡誘導時延τsc(k)，設計一類靜態(tài)狀態(tài)反饋控制器：

u(k)=Kx(k-τsc(k))

(13)

其中：K∈Rm×n是需要待確定的控制器增益。考慮控制器到執(zhí)行器通訊時延τca(k)以及執(zhí)行器故障的影響，可以得到：

uF(k)=M(k)u(k-τca(k))

(14)

根據(jù)式(13)和式(14)，將τsc(k)和τca(k)組合成加性時延τ(k)=τsc(k)+τca(k)，可以得到：

uF(k)=M(k)u(k-τ(k))

(15)

根據(jù)式(11)和式(15)，可以到如下閉環(huán)控制系統(tǒng)：

(16)

首先，給出閉環(huán)系統(tǒng)(16)漸近穩(wěn)定得成分條件。

為了后文分析方便，使用sym(A)代替A+AT。

定理1給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。

(17)

其中：

則閉環(huán)控制系統(tǒng)(16)在控制器(13)作用下漸近穩(wěn)定。

證明：記y(k)=x(k+1)-x(k)，根據(jù)式(16)，可以得到：

(18)

接下來構造如下形式的Lyapunov-krasovskii泛函：

V(k)=V1(k)+V2(k)+V3(k)

(19)

其中：

V1(k)=xT(k)Px(k)

(20)

(21)

(22)

然后，基于閉環(huán)系統(tǒng)(16)對式(20)～(22)進行前向差分，可以分別得到：

ΔV1(k)=2xT(k)Py(k)+yT(k)Py(k)

(23)

(24)

(25)

針對式(25)，利用引理1，可以得到：

(26)

根據(jù)式(18)，對于任意適當維數(shù)的常數(shù)矩陣L1，L2，L3則有如下恒等式成立：

(27)

同時，基于式(12)和式(15)，可以得到：

(28)

定義增廣向量ξ(k)為：

ξT(k)=

(29)

綜合式(23)～(28)，可以得到：

ΔV(k)≤ξT(k)Πξ(k)

(30)

根據(jù)式(17)，可以得到ΔV(k)<0對任意ξ(k)≠0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，式(16)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，證明完畢。

注解1：定理1給出了判定閉環(huán)系統(tǒng)(16)漸近穩(wěn)定的充分條件，但由于控制器增益K與其他未知矩陣耦合，同時由于存在參數(shù)不確定導致的時變未知矩陣，因此無法直接對控制增益K進行求解。下面，利用矩陣變換、不等式縮放、以及shur補引理等，建立基于LMI的控制器增益求解定理。

(31)

其中：

證明：根據(jù)式(9)和定理1中的結論，可以做如下形式的矩陣變換：

(32)

其中：

而矩陣元素分別為如下所示：

由于GT(k)G(k)≤I，再根據(jù)引理1和引理3，如果存在正數(shù)α，使得如下不等式成立：

(33)

其中相關矩陣元素分別為：

再根據(jù)式(1)和(3)，Φ<0可以轉化為如下形式：

其中：Φ可以表示為：

矩陣元素分別為如下：

接下來，根據(jù)引理3，可以知道存在 使得如下不等式成立：

(34)

4 仿真驗證

為了驗證本文結論的有效性，選取文獻[23]中的角度定位系統(tǒng)(angular position system)進行驗證。角度定位系統(tǒng)如圖2所示，由電機、角度傳感器、控制器和旋轉天線組成。

圖2 角度定位系統(tǒng)示意圖

被控對象狀態(tài)空間模型如下所示：

同時，假設系統(tǒng)存在范數(shù)有界不確定：

ΔA=DΔ(k)E1，ΔB=DΔ(k)E2

且有關參數(shù)分別為：

當u(k)=0時，開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線如圖3所示，可以看出開環(huán)系統(tǒng)顯然是不穩(wěn)定的。

圖3 開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線圖

根據(jù)定理2，提前設定參數(shù)如下所示：

首先，為了說明本文提出方法可以降低結論的保守性，針對相同時延下的最大容許上界(MADB，maximun allowable delay bound)進行對比，從表1可以看出，使用定理2在不同時延下界下得到的最大容許上界均不低于使用參考文獻[19-20]中的方法得到的最大容許上界，因此定理2得出的結論具有更小的保守性。

表1 不同時延下界下的MADB

α=2.9547，λ=0.0392

因此可以得到控制器增益如下：

選取系統(tǒng)初始條件為xT(0)=[-1，1]，在所設計的容錯控制器(15)的作用下，閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線和控制輸入曲線分別如圖4和圖5所示。

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線圖

圖5 控制輸入信號曲線圖

從圖4和圖5可以看出，被控系統(tǒng)雖然受到網(wǎng)絡誘導時延、參數(shù)不確定、執(zhí)行器飽和以及執(zhí)行器故障等影響，控制輸入始終受限在飽和幅值內(nèi)，但所設計的容錯控制器依然能讓閉環(huán)系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定，所以本文所得到的結論是有效的且具有更小的保守性。

5 結束語

在網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的實際應用中，由于工作環(huán)境的復雜性、外界干擾的存在以及自身節(jié)點物理特性的限制，系統(tǒng)的控制資源往往不能完全滿足控制需求(執(zhí)行器故障/飽和)。同時，由于通信網(wǎng)絡的存在，網(wǎng)絡誘導時延也是不可避免的。

本文針對離散時間網(wǎng)絡控制系統(tǒng)存在網(wǎng)絡誘導時延和系統(tǒng)參數(shù)不確定的情況，綜合考慮了執(zhí)行器飽和和執(zhí)行器故障等控制資源受限的影響，研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析和控制器設計問題。將飽和項轉化為一類存在扇形有界不確定性和非線性項，然后利用時延上界信息進行Lyapunov-krasovskii 泛函構造并利用離散Jenson不等式放大技術估計泛函差分更緊上界，再利用有關引理和矩陣不等式理論等將所獲得的穩(wěn)定性判據(jù)轉化為容易求解的控制器增益求解方案，最后通過仿真驗證比較，說明本章設計方法相較于現(xiàn)有相關文獻具有更小的保守性，并且所設計的控制器在控制資源受限的情況下可以使得閉環(huán)系統(tǒng)保持穩(wěn)定。