畢達哥拉斯律和歐洲中世紀復調之間的聯系

莊曉雪

［摘 要］ 畢達哥拉斯律是歐洲最早的律制并在中世紀時期廣泛使用，每個時期音樂創作的技法和風格除了受到當時文化背景的影響，同時也與其所處時期的記譜法和律制息息相關。本文先從畢達哥拉斯律的產生切入，該律制是以純五度音程為基礎生成的律制，純音程以簡單的比例呈現出協和、穩定的音響。通過對歐洲中世紀早期復調音樂中使用“協和音程”到后來逐漸加入“不協和音程”，論述畢達哥拉斯律與歐洲中世紀復調音樂中和聲音程之間的聯系。

［關鍵詞］ 畢達哥拉斯律；協和音程；不協和音程；中世紀復調音樂

［中圖分類號］ J609.1? ? ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-2233（２０２3） 11-0188-03

歐洲中世紀音樂理論的源頭可以追溯到古希臘音樂理論，古希臘哲學的核心思想是理性理論，理論的核心是數學，用數學工具思考物質層面上的各種性質，一步步發展成為一門科學。音樂在早期是一門科學而非現在的藝術。畢達哥拉斯被認為是古希臘音樂理論的奠基人，音樂理論是對數字比例的數學研究，這也成為古希臘音樂理論的主要論點。中世紀復調音樂中縱向和聲音程成為西方和聲發展的萌芽［1］，畢達哥拉斯律中的協和音程成為中世紀早期復調音樂最重要的和聲音程。早期復調音樂是為宗教服務，因此音樂的審美需要符合“神”的審美，協和音程是“神”的和諧統一美的體現。隨著不協和音程的使用越來越頻繁，是人們想要擺脫宗教束縛的體現，也是音樂從迎合“神”的審美到“人”的審美的轉變。

一、畢達哥拉斯學派的音樂理論

（一）畢達哥拉斯學派的哲學思想

雖然沒有關于畢達哥拉斯本人著作的留存，但許多畢達哥拉斯的信徒們寫了大量的文章，并把一些思想歸功于他?，F代的學者將畢達哥拉斯學派的哲學思想分為兩大類——宗教哲學和數學哲學。畢達哥拉斯學派的宗教哲學起源于古希臘宗教奧爾菲斯教派（Orpheus），該宗教的教義就是靈魂轉世、生命的輪回。如果說泰勒斯是第一位哲學家，那么畢達哥拉斯就是第一位數學哲學家，因為他是第一個將哲學與數學結合起來的人。亞里士多德在他的《形而上學》中說：“……畢達哥拉斯學派出于對數學的興趣，是最早引入數學的早期哲學家，并表示數學原理是萬物的基本原理?！麄冇挚吹搅艘袈傻淖兓c比例可由數來計算［2］?！北M管古希臘哲學家對事物有不同的看法，但他們有一個共同點就是他們都認為宇宙多樣性背后存在著潛在的統一性。畢達哥拉斯學派中“數的世界”有一個觀點：外在的世界有一種內在的秩序，內在的秩序指的是通過思考才可以掌握的一個形式概念，數字只是一個數的概念的代表。畢達哥拉斯認為，音樂也可以用數字表示。那么為什么音樂可以用數字來代表呢？因為音樂旋律具有其內在的秩序，這種秩序有規律，可以透過數字加以表達。音樂家與數學家一樣，都是針對這一原先就已經有秩序的世界，進一步發展的自由創作者。畢氏哲學雖然充斥著神秘主義色彩，但是一種相當具有知識主義特色的哲學。

（二）畢達哥拉斯律的產生

根據卡西奧多魯斯（Cassiodorus）在6世紀的著述中描述，數學科學考慮抽象的量分為四部分：算術、音樂、幾何學和天文學。音樂是一門研究數學與聲音之間關系的學科。音樂被認為是一門理論學科的觀點存在著很長的時間，這種觀點至少在西方世界里起源于畢達哥拉斯。畢達哥拉斯認為音樂和數學是密不可分的，他深信宇宙萬物都可以用比例以及整數來表示。畢達哥拉斯開創了音樂和數學的實驗研究，用客觀的物理量測量，例如弦的長度，并通過算術比例發現了音樂的定量數學關系來試圖解釋主觀的心理和審美感受。雖然畢達哥拉斯本人并不是音樂家，但通常被認為是發現全音階的人。相傳，畢達哥拉斯在經過鐵匠鋪時聽到不同錘子發出不同音高的聲音從而發現了構成音階的比例。圖一木刻版畫描述了畢達哥拉斯進行各種音程之間數學比例的實驗［3］。圖中左上角是不同重量的錘子敲擊鐵砧時，產生了不同的音高。其中錘子的重量有12磅、9磅、8磅和6磅，分別產生八度（2：1）、五度（3：2）、四度（4：3）的音程關系，這些音程聽起來相當和諧。顯然，這個錘子的故事并不靠譜。因為不同質量的錘子敲打同一塊鐵砧時，只是響度不同，而音高是由鐵砧的大小決定的。如果我們將這個故事運用到弦上，就會顯得非常合理。木刻版畫中的左下圖描繪了畢達哥拉斯在彈奏六根單弦琴，每根琴弦上都掛有不同重量的東西來收緊琴弦，這樣每根琴弦的張力就不同。根據弦振動頻率公式fn=? （n=1，2，3……）可知，弦的長度、密度相同，頻率與弦的張力成正比。后來，波愛修斯使用可移動琴橋的單弦琴來計算音程的數學比例，進一步證明畢達哥拉斯各音程的頻率比例理論。他通過移動琴橋改變弦的長度，首先將弦分成二等份，然后將其中一半發出的聲音與整根弦發出的聲音進行比較，產生了一個高八度音程（2：1）。再將整段弦分成三等份并振動其中的2個部分，得到五度音程（3：2）。最后將弦分成四等份并振動其中的3個部分，得到四度音程（4：3）。除此之外，還將該理論運用到不同的實驗中，圖中右上角的圖片是用相同的杯子裝不同容量的水進行實驗，右下角是用不同管長產生不同的音高的實驗。

眾所周知，畢達哥拉斯學派對前四個正整數構成的音程比例（即4：3：2：1）特別感興趣。他們認為這些音程聽起來很和諧?；诎硕群臀宥纫舫?，畢達哥拉斯提出了關于這兩個音程生成的音階過程。首先我們從D1（可以從任意音符開始）開始向上升一個八度得到D2，在D1和D2這一個八度內生律。我們可以分別將D1和D2向上、向下構五度音程，得到A1和G1。然后將A1向上生純五度得到E1，G1向下生成純五度得到C，為了保證在一個八度內，我們將C移高一個八度得到C1。這樣我們一共有五個音，分別是C1、D1、E1、G1、A1，也就是我們熟悉的中國五聲音階。我們再將C1向下生成純五度得到F1，將E1向上生成純五度得到B1，這樣就得到了西方的全音階。如果我們再繼續五度循環可以生成半音階，即以D音為中心音向上和向下五度生律得到：bA-bE-bB-F-C-G-D-A-E-B-#F-#C-#G形成五度圈。但是最后發現從D1開始循環無法再回到D1，假設我們總是以純五度音程開始生律。如果我們生成n次，那么頻率比為（ ） 。超過限定一個八度內的音需要我們下降八度m次，即（ ） 。我們最終會得到的頻率比是（ ） （ ） ，這個式子等于1。對于（ ） （ ） =1，則（ ） = 2m必須為真。但是，2m始終是整數，而（ ） 不是整數。所以，（ ） =2m永遠不會成立。因此，如果使用畢達哥拉斯律進行調律的話，一個八度音階內只有十一個純五度音程，畢達哥拉斯律中最后一個純五度音程由于積累過多的拍音而導致“狼音”的出現，并且無法任意轉調。所以歐洲中世紀的作曲家會根據自己所創作的作品的調式來避免“狼音程”的出現。［4］

二、中世紀復調音樂的發展

中世紀復調音樂通常指的是9世紀至15世紀初的西歐音樂，雖然關于基督教禮儀和圣詠的歷史可以追溯到更遠。中世紀的音樂包括宗教音樂和世俗音樂，宗教音樂是為西方基督教會的儀式和宗教而創作的，關于中世紀早期的世俗音樂很少，因為只有神職人員識字，才能夠進行寫作，而世俗音樂是通過口耳相傳來學習的。復調起源的確切時間一直是爭論的主題。盡管如此，我們可以從音樂學的角度談論“復調的出現”，最早的復調音樂出現于9世紀?！兑魳肥謨浴肥?世紀的一部匿名音樂論文，這是在西方藝術音樂中建立復調規則體系最早的音樂理論文本［5］。

（一）從單聲部音樂到多聲部復調音樂

歐洲中世紀在9世紀以前一直是單聲部音樂，這一時期最重要的成就之一就是從單聲部音樂到多聲部復調音樂形式的發展。中世紀早期歐洲各地出現了不同的圣詠形式，隨著羅馬教皇在西方教會中地位的確立，為了規范教堂中的圣歌，格里高利圣詠成為統一的規范和最高的權威。當時采用的“教會調式”被廣泛地運用在格里高利圣詠中，中世紀調式與古希臘調式一樣，都是根據畢達哥拉斯律構成的［6］。奧爾加農是早期復調音樂的形式，產生于公元9世紀，在圣詠旋律下方以四、五度平行進行，稱為“平行奧爾加農”。到11世紀，奧爾加農兩個聲部出現了反向或斜向的關系。這些復調在聲部結合上主要以八度、四度、五度的協和音程為主，偶爾出現不協和音程也只是作為經過音程，會立即轉向協和音程上［7］。因此早期的奧爾加農建立在協和音程的基礎上，在協和性方面與畢達哥拉斯律相吻合。在畢達哥拉斯律的音程比例中，三度、六度音程被認為是不協和音程，大三度音程頻率比為81：64，小三度（32：27），大六度（27：16），小六度（128：81）。由于復雜的比例，在理論上，三度、六度音程聽起來是不和諧的。人們認為同時演奏音高為簡單比的音程時， 會讓人產生“和諧悅耳的感覺”。但實際上，大二度（9：8）雖然是簡單比，三度音程卻比它聽起來更協和。我們可以看出，從單聲部旋律到早期奧爾加農形式，是從音對音之間的橫向關系過渡到音程之間的縱向關系，并且遵循著簡單音程頻率比的原則進行創作。

（二）復調音樂中不協和音程的使用

節奏模式和記譜法的出現為復調音樂帶來了創新發展。萊奧南和佩羅坦成為中世紀圣母院樂派兩位重要的作曲家，從他們開始，三聲部作曲手法已經成為常態，甚至出現了四個部的音樂作品。畢達哥拉斯律作為13、14世紀標準的理論調音方法，非常適合佩羅坦、紀堯姆·德·馬肖等作曲家的作品風格。畢達哥拉斯律是基于純五度產生的律制，協和的純音程給中世紀復調音樂奠定了穩定的基礎。協和音程雖然聽起來很“和諧”但并不代表好聽，協和音程空洞、單調的音響越來越無法滿足作曲家對和聲色彩的追求，三度、六度以及其他被當時視為不協和音程也逐漸開始使用。從表格中我們可以看到，在畢達哥拉斯律中，大三度、大六度音程比純律大三度、大六度大約22音分，小三度、小六度比純律小三度、小六度小約22音分。這個差值被稱為“畢達哥拉斯音差”（純律大三度音分值為386.31，小三度為315.64音分；大六度為884.36音分，小六度為813.69音分）。因此，在用畢達哥拉斯律進行調律時，所有的大三度、大六度都是寬音程，小三度、小六度是窄音程。畢達哥拉斯律中的三度、六度音程作為“不協和音程”具有一定的張力，使得帶有不穩定的三度、六度音程解決到同度、五度、八度的穩定音程，為中世紀歐洲復調音樂帶來了色彩。

畢達哥拉斯律中各音程頻率比及音分值

到了15世紀，歐洲大陸的音樂風格開始發生變化，越來越強調三度、六度音程在作品中的地位，因此尋求新的律制以適應當時的作曲風格成為必然。前面提到，簡單的頻率比會產生協和的音程，反之，復雜的頻率比會產生不協和的音程?；诖死碚?，當時的理論家也在思考如何將復雜的音程頻率比簡單化。大約1300年，英國修道士、音樂理論家兼科學家沃爾特·奧丁頓（Walter de Odington）提出大三度和小三度的比例分別接近5：4和6：5，并且提出歌唱家傾向于這些更簡單的比例。他的觀點可能反映了那個時期許多英國復調的風格，其中三度通常在結構中扮演著重要的角色，甚至可以作為終止的音響。法國作曲家兼理論家弗朗科把小六度（8：5）作為協和音程，法國理論家兼科學家里米斯把大六度（5：3）作為協和音程。這就是大約在15世紀出現的純律當中的大小三度、大小六度的音程。1500年來，音樂主要是用整數比例來解釋的，由于古希臘文明對西方文化產生巨大的影響，科學家和哲學家長期以來都在研究音樂和數學之間的聯系。中世紀后期的復調音樂中雖然出現了和弦，但作曲家對于多聲部的結合是音程之間的疊加，并沒有“和弦”的概念。直到16世紀，主調音樂開始出現，和弦構造才越來越明顯。

結 語

在歐洲早期的文化中，數學、宗教和音樂是相互關聯的。在畢達哥拉斯律制的理論中，畢達哥拉斯學派確定了構成音階基礎的算術、幾何和和聲手段，以及發現音樂的協和音程比例，即純八度（2：1）、純五度（3：2）、純四度（4：3）。中世紀早期的復調音樂也是建立在協和音程的基礎上，畢達哥拉斯律使所有五度音都是完美、協和的，但也導致所有大三度和大六度都以一個畢達哥拉斯音差變寬，所有的小三度、小六度以一個畢達哥拉斯音差變窄。畢達哥拉斯律中不協和的三度、六度為中世紀后期復調音樂增添了色彩，純音程雖然帶來了穩定的基礎，但協和音程缺乏活力和張力，而太多的不協和音程會破壞樂曲結構整體的平衡。中世紀復調音樂是為這種律制而創作的，到了中世紀晚期和文藝復興時期畢達哥拉斯律已經不再適合這一時期的音樂創作風格，也迫使新的律制的產生。中世紀復調音樂基于但不依賴于畢達哥拉斯律，在不斷地音樂實踐中產生新的律制來適應同時期的音樂作品創作風格，新的律制也并不是畢達哥拉斯律的替代品，而是在它的基礎上進一步地優化。

參考文獻：

［1］張楠.從音程性和聲看中世紀多聲音樂的審美指向［J］.樂府新聲，2011（03）：55-60.

［2］亞里士多德.形而上學［M］.吳壽彭譯.北京：商務印書館，1959：12-13.

［3］Gene H. Anderson.Pythagoras and the Origin of Music Theory［J］.Indiana Theory Review，1983：35-61.

［4］邵申弘，石雯雯.鋼琴律制及其應用的研究［J［.樂府新聲（沈陽音樂學院學報），2018（04）：79-88.

［5］于潤洋.西方音樂通史［M］.上海：上海音樂出版社，2001：25-34.

［6］繆天瑞.律學［M］.北京：人民音樂出版社，1996：167-178.

［7］蔡良玉.歐洲中世紀的音樂（中）［J］.交響：西安音樂學院學報，1994（02）：28-30.

（責任編輯：韓瑩瑩）