Heisenberg李代數(shù)的形心

余德民 馬潔京 蔣嬋

摘要：Heisenberg李代數(shù)是一類重要的可解李代數(shù)， 有深刻的物理背景， 因而也是李代數(shù)研究的重要對象之一. 李代數(shù)的形心是研究李代數(shù)結(jié)構(gòu)的必要工具. 特別地， 形心具有自然的環(huán)結(jié)構(gòu)， 其所有可逆元構(gòu)成一個群. 本文討論了有限維和無限維Heisenberg李代數(shù)的形心及其結(jié)構(gòu).

關(guān)鍵詞：李代數(shù); 形心; 群; 環(huán)

中圖分類號： O152.5??文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???DOI：10.19907/j.0490-6756.2023.051004

收稿日期： ?2023-03-23

基金項目： ?國家自然科學(xué)基金（11771135）； 湖南理工學(xué)院科研創(chuàng)新團(tuán)隊基金（2019-TD-15）

作者簡介： ??余德民（1975-）， 男， 湖南岳陽人， 副教授， 主要研究領(lǐng)域為李代數(shù). E-mail： yudeming8640024@126.com

On the centroid of Heisenberg Lie algebra

YU De-Min， MA Jie-Jing， JIANG Chan

（College of Mathematics， Hunan Institute of Science and Technology， Yueyang 414006， China）

Heisenberg Lie algebra belongs to a class of solvable Lie algebras. It has a deep physical background and thus is an important object of Lie algebra study. The centroid of Lie algebra is a necessary tool for the study of structure of Lie algebra. Particularly， the center of shape has a natural ring structure and all its invertible elements form a group. In this paper， the centroid and structure of finite-or infinite-dimensional Heisenberg Lie algebra are discussed.

Lie algebra; Centroid; Group; Ring

（2010 MSC 17B30， 17D25）

1 引 ?言

形心是李代數(shù)研究中的一個基本概念 ?［1］ ， 也是究李代數(shù)結(jié)構(gòu)理論一個重要工具. 當(dāng)前，對李代數(shù)形心的研究已有部分結(jié)果， 如陳和高研究了擴(kuò)張Schrodinger-Virasoro李代數(shù)的形心 ?［2］ ， 王和張研究了 n -李超代數(shù)的形心 ?［3］ ， 周和曹研究了Jordan-李代數(shù)的形心 ?［4］ ， Bai等 ?［5］ Liu等 ?［6］ 和曹燕等 ?［7］ 分別研究了 n -李代數(shù)、李三系、Leibniz三系代數(shù)的形心，等.

值得注意的是， 現(xiàn)有文獻(xiàn)中研究無限維李代數(shù)、無限維李超代數(shù)及無限維 n -李代數(shù)上的形心的較多， 而研究有限維李代數(shù)的形心及其形心結(jié)構(gòu)的卻很少. 鑒于此， 本文將討論有限維李代數(shù)和無限維李代數(shù)的形心及其結(jié)構(gòu).

Heisenberg代數(shù)是一類二步冪零李代數(shù)，其中心是一維的. 它有深刻的物理背景， 因而是李代數(shù)研究的重要對象.文獻(xiàn)［8］研究了Heisenberg李代數(shù)的自同構(gòu)群，文獻(xiàn)［9］研究了Heisenberg李代數(shù)的Rota-Baxter算子， 而文獻(xiàn)［10］則研究了Heisenberg李代數(shù)的自同構(gòu)及擬自同構(gòu).

Heisenberg代數(shù)的可解擴(kuò)張李代數(shù)（我們稱其為擴(kuò)張Heisenberg代數(shù)）是一類可解李代數(shù). 可解李代數(shù)在有限維李代數(shù)研究中占有重要地位. 因此， 進(jìn)一步研究擴(kuò)張Heisenberg代數(shù)的代數(shù)性質(zhì)是有理論意義的. 文獻(xiàn)［11］研究了擴(kuò)張Heisenberg代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)與自同構(gòu)群及二維復(fù)射影空間的實子流形.

形心屬于李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和交叉問題， 而李代數(shù)結(jié)構(gòu)與表示問題一直是李代數(shù)研究的熱點問題 ?［12-16］ ?.

余德民， 等： Heisenberg李代數(shù)的形心

本文主要研究有限維和無限維Heisenberg李代數(shù)的形心及其結(jié)構(gòu)， 重點研究其群和環(huán)結(jié)構(gòu). 形心具有自然的環(huán)結(jié)構(gòu)， 它的所有可逆元構(gòu)成一個群. 由于形心首先是線性變換， 因而形心在選定的一組基下就與矩陣形成一一對應(yīng)關(guān)系. 本文在研究有限維Heisenberg 李代數(shù)時將利用形心的定義找出矩陣所應(yīng)滿足的條件. 文中相對重要的定理是引理2.2、定理3.5及定理4.2.