基于牛頓迭代法的香蕉采摘機器人逆運動學求解研究

付根平 朱立學 張世昂 伍榮達 黃偉鋒

摘要：香蕉采摘機器人要在各采樣時刻根據果柄夾持機構的目標位置和姿態求得4個自由度的逆運動學解，其底座轉角和末端轉角可根據幾何關系求得解析解，但水平位移和垂直位移因相互耦合呈非線性關系，難以通過解析法求得逆運動學解，故提出一種基于牛頓迭代法的香蕉采摘機器人逆運動學數值求解方法。首先根據采摘機器人的機械結構和幾何關系，建立由4個自由度表示果柄夾持機構位置和姿態的正運動學模型，再據此構造水平位移和垂直位移2個自由度滿足的方程組，并求出其雅可比矩陣的逆矩陣，然后利用牛頓迭代算法根據果柄夾持機構的目標位置和姿態求得水平位移和垂直位移的逆運動學解。試驗結果表明：該方法求得采摘機器人底座轉角和末端轉角的逆解無誤差。而對于水平位移和垂直位移的逆解，當果柄夾持機構取單個任意的目標位置和姿態，且牛頓迭代初值取固定初始位姿時，2次迭代的逆解誤差小于0.1mm，3次迭代的逆解無誤差；當果柄夾持機構取連續運動中各采樣時刻的目標位置和姿態，且牛頓迭代初值取上一采樣時刻的逆解時，只需1次迭代即可得到高精度的逆解。

關鍵詞：香蕉采摘機器人；牛頓迭代法；逆運動學求解；正運動學建模

中圖分類號：TP242

文獻標識碼：A

文章編號：20955553 （2023） 12020010

Research on solving inverse kinematics of banana picking robot

based on Newtons iteration method

Fu Genping1， Zhu Lixue2， Zhang Shiang1， Wu Rongda2， Huang Weifeng1

（1. School of Automation， Zhongkai University of Agriculture and Engineering， Guangzhou， 510225， China;

2. School of Electro-mechanical Engineering， Zhongkai University of Agriculture and Engineering，

Guangzhou， 510225， China）

Abstract：

The inverse kinematics solution of the banana picking robot with four degrees of freedom should be resolved according to the target position and attitude of the fruit handle clamping actuator at each sampling time. The two degrees of freedom of the base rotation angle and end rotation angle of the banana picking robot， its analytical solution of inverse kinematics is resolved according to the geometric relations. However， the two degrees of freedom of the horizontal displacement and vertical displacement are non-linear due to their mutual coupling， so it is difficult to resolve their inverse kinematics solutions by analytical solution methods. Therefore， a numerical solution method for inverse kinematics of the banana picking robot based on Newton iteration method is proposed. Firstly， according to the mechanical structure and geometric relations of picking robot， the forward kinematics model solving the position and attitude of the fruit handle clamping actuator by four degrees of freedom is established， then the equations satisfied by the two degrees of freedom of horizontal displacement and vertical displacement are constructed， and the inverse matrix of its Jacobian matrix is obtained. Then the Newton iterative algorithm designed in this paper is used to resolve the inverse kinematics solution of horizontal displacement and vertical displacement according to the target position and attitude of the fruit handle clamping actuator. The experimental results show that the inverse kinematics solution of the base rotation angle and end rotation angle of the picking robot solved by the method proposed in this paper has no error. For the inverse kinematics solution of horizontal displacement and vertical displacement， when the fruit handle clamping actuator takes any target position and attitude， and the initial value of Newton iteration takes a fixed initial position and attitude， the error of inverse kinematics solution with two Newton iterations is less than 0.1 mm， and has no error with three Newton iterations. When the fruit handle clamping actuator takes the target position and attitude at each sampling time in continuous motion， and the initial value of Newton iteration takes the inverse kinematics solution of previous sampling time， only one iteration is needed to obtain the high-precision inverse solution.

Keywords：

banana picking robot; Newtons iteration method; solving inverse kinematics; forward kinematics modeling

0 引言

香蕉是嶺南特色水果和經濟作物，適收期的香蕉串質量約30kg，果柄切割處高度超過2m。目前，香蕉串采摘以人工方式為主，由多人協作完成，勞動強度大、人工成本高、采摘效率低，嚴重制約著香蕉的產業發展和經濟效益，而機器人可實現香蕉串采摘的機械化和智能化［13］。采摘機器人先根據香蕉串果柄位姿和周圍環境規劃出末端采摘執行器中果柄夾持機構的運動軌跡，從而得到各采樣時刻果柄夾持機構的目標位姿，然后據此求得機器人各自由度的逆運動學解，輸入關節伺服控制器，進而控制果柄夾持機構準確定位到香蕉串果柄切割處并將其夾住，再啟動鏈鋸切斷果柄，完成香蕉串采摘。顯然，逆運動學求解是實現機器人末端果柄夾持機構運動控制和精準定位的前提和關鍵。

通常，機器人的逆運動學求解方法主要有解析解法和數值解法［48］。其中，解析解法因計算量小、精度高、實時性好而被廣泛應用于機器人的逆運動學求解，但要求機器人的結構必須滿足Pieper準則［9］；而對于結構不符合Pieper準則的機器人，則可采用數值解法求得滿足給定精度的逆運動學解［1011］。相關研究人員采用神經網絡［1215］、強化學習［1617］、粒子群優化算法［1819］、遺傳算法［20］、果蠅優化算法［2122］、差分進化算法［23］等數值解法求機器人的逆運動學解。但神經網絡結構不好確定、訓練的參數多、訓練樣本量大且難以獲取、網絡訓練時間長，對機器人控制系統的硬件配置要求較高；強化學習也需要大量的數據樣本，并且訓練過程較長；粒子群優化算法迭代優化過程復雜，粒子總數難以確定；遺傳算法求解逆運動學過程中容易早熟，局部搜索能力差，不一定每次都能求得滿足給定精度的逆運動學解。

牛頓迭代法是一種適合求解復雜非線性方程組的經典數值解法［24］，它的迭代過程簡單、收斂速度快，也常用于機器人的逆運動學求解并取得了較好的效果。如陳光榮等［25］基于擴展雅可比矩陣求解四足機器人的逆運動學；吉陽珍等［26］先通過改進的鯨魚優化算法求得逆運動學解作為初值，再利用牛頓迭代法求出滿足精度要求的逆運動學解；韓磊等［27］結合非偏置型機器人封閉逆解和改進牛頓迭代法求解手腕偏置型6自由度機器人的逆運動學解。

由于香蕉采摘機器人的運動機構為串聯和并聯混合結構［2829］，具有2個轉動自由度和2個相互耦合的平動自由度，其結構不滿足Pieper準則，不能用代數法求得4個自由度的逆運動學解析解。然而，根據香蕉采摘機器人特殊的機械結構可由幾何關系求得2個轉動自由度的逆運動學解析解；但2個平動自由度因相互耦合而呈復雜的非線性關系，難以求得逆運動學解析解，因此，考慮采用數值解法。由于香蕉采摘機器人各自由度運動軌跡平滑、局部極值點少，且只需計算關于2個平動自由度的雅可比矩陣，計算量較小，適合牛頓迭代法求解，基于此，本文提出一種基于牛頓迭代法的香蕉采摘機器人逆運動學數值求解方法。先根據采摘機器人的機械結構由幾何關系建立采摘執行器中果柄夾持機構的位姿與各自由度的正運動學模型，并據此構造水平位移和垂直位移2個平動自由度滿足的方程組，然后求其雅可比矩陣的逆矩陣；再基于牛頓迭代算法根據果柄夾持機構的目標位置和姿態求得滿足設定精度的逆運動學解。

1 香蕉采摘機器人的正運動學建模

1.1 采摘機器人的運動結構分析

根據適收期的香蕉串質量大和高位生長的特點，要求采摘機器人具備較強的負載能力和較大的工作空間，設計如圖1所示的集香蕉串夾持和切割于一體的混聯式采摘機器人，安裝在履帶底盤上，可在崎嶇不平的香蕉園機耕道運動。采摘機器人具有4個自由度，能夠較好地調節末端采摘執行器的位姿，同時主臂和副臂較長，使得末端采摘執行器的作業空間大，滿足高位生長的香蕉串采摘需求。此外，各自由度的驅動電機功率較大，且主臂和副臂為剛度大的并聯機構，故機器人的負載能力較強，可達60kg，完全能夠承受香蕉串的重量。

采摘機器人的機械結構如圖2所示，相應的連桿參數如表1所示。該機器人共設置4個自由度，如表2所示，分別是底座轉動自由度、滑塊C沿導軌的水平運動自由度、滑塊A沿導軌的垂直運動自由度、末端轉動自由度。其中，底座轉動自由度驅動整個機器人轉動，可大范圍調整采摘執行器的位置和姿態；水平運動自由度和垂直運動自由度分別通過驅動滑塊C、滑塊A連同短主臂CE、長主臂AD沿導軌作水平運動、垂直運動，進而改變采摘執行器的位置；而末端轉動自由度主要調整采摘執行器的姿態，同時小范圍調整其位置。

香蕉串采摘執行器位于機器人的末端，如圖3所示，主要由末端轉動機構、香蕉果柄夾持機構、香蕉果柄切割機構三部分組成。機器人采摘香蕉串時，先控制夾持機構準確定位到香蕉串果柄切割處并可靠地夾持住香蕉串果柄，再啟動切割機構將果柄切斷。為研究方便，將末端轉動自由度的轉軸簡化為連桿MN，香蕉果柄夾持機構簡化為連桿NH，表示果柄夾持機構的中心H到末端轉軸MN的距離。由于平行四邊形機構EFKJ和CEIG通過三角形構件IEJ連接，并鉸連在水平滑塊C上，使得香蕉果柄夾持機構等效連桿NH始終保持水平狀態。

1.2 采摘機器人的正運動學建模

由前文可知，通過控制機器人4個自由度的運動可調節采摘執行器中果柄夾持機構的位置和姿態，使其準確定位到香蕉串果柄切割處以便完成采摘作業。因此，為了對果柄夾持機構的位置和姿態進行精確控制，需要先建立4個自由度變量（θ、x、z、φ）描述果柄夾持機構位置和姿態的采摘機器人正運動學模型。

采摘機器人的運動機構如圖4所示，短主臂CE與水平方向夾角為α（逆時針為正方向），副臂DF與水平方向夾角為β（順時針為正方向），連桿FK與LM的夾角為γ（常數）。在水平運動方向和垂直運動方向的交點處建立局部坐標系o-x′y′z′，并隨底座一起轉動；而在底座轉動中心建立基坐標系O-XYZ。其中，局部坐標系o-x′y′z′在基坐標系O-XYZ中的位置向量

p=［px，py，pz］=［-364，0，657］

考慮到采摘機器人的連桿機構和局部坐標系ox′y′z′隨底座一起轉動，故水平運動自由度和垂直運動自由度只在x′oz′平面內調整連桿機構的位置，因此，先在x′oz′平面內建立末端轉動中心M的位置與水平位移x、垂直位移z的函數關系。根據圖4所示采摘機器人各連桿之間的幾何關系，可得節點A、C、M的位置表達式如式（1）～式（3）所示。

由式（1）～式（3）可得，末端轉動中心M的位置表達式，如式（4）所示。

由式（4）可知，M的位置不僅與水平位移x、垂直位移z有關，還與主臂夾角α、副臂夾角β有關。由表1中采摘機器人連桿參數可知，相關連桿長度不滿足M的水平運動和垂直運動解耦條件［29］：l1l4=l2l3，從而導致機器人的正運動學模型比較復雜。因此，需要進一步探究主臂夾角α、副臂夾角β與水平位移x、垂直位移z的關系。

聯立式（1）、式（2）和主臂夾角α的半角公式，同時考慮主臂夾角α的取值范圍，可得主臂夾角α與水平位移x、垂直位移z的相關函數表達式為

同理，可得副臂夾角β與水平位移x、垂直位移z的相關函數表達式如式（9）～式（12）所示。

將式（6）、式（11）代入式（4），即可得x′oz′平面內末端轉動中心M的位置（xM，zM）關于水平位移x、垂直位移z的非線性函數表達式。結合局部坐標系o-x′y′z′在基坐標系O-XYZ中的位姿p，同時考慮底座轉角θ的作用，如圖5所示，根據幾何關系可得，末端轉動中心M在基坐標系O-XYZ中的位置表達式，如式（13）所示。

而對于果柄夾持機構的位姿，還需考慮末端轉角φ的作用，如圖5所示，因此，根據機器人的連桿結構和幾何關系，可得果柄夾持機構相對于末端轉動中心M在基坐標系O-XYZ中的位置。

將M的位置表達式（13）代入式（14）可得

將式（6）、式（11）代入式（15），即得各自由度變量θ、x、z、φ描述果柄夾持機構位置的函數關系式。

由于底座轉角θ、末端轉角φ均為偏擺自由度，故果柄夾持機構的姿態角

Ψ=θ+φ? ?（16）

至此，得到式（15）、式（16）所示采摘機器人的正運動學模型，即果柄夾持機構的位置（XH，YH，ZH）、姿態角Ψ與各自由度變量θ、x、z、φ的函數關系式。

2 采摘機器人的逆運動學求解

機器人采摘香蕉串過程中，通過控制各自由度變量以調節果柄夾持機構的位姿，使其準確定位到香蕉串果柄切割處。因此，需要對采摘機器人進行逆運動學求解，即在各采樣時刻根據果柄夾持機構的目標位置（XH，YH，ZH）和姿態角Ψ在線求得4個自由度θ、x、z、φ的逆運動學解。

2.1 底座轉角和末端轉角的求解

如圖5所示，由于基坐標系O-XYZ建在底座轉動中心，故機器人連桿在XOY平面內的投影經過基坐標系原點O，因此，先根據幾何關系由果柄夾持機構的目標位置（XH，YH，ZH）和姿態角Ψ求得末端轉動中心M的位置分量XM、YM，再通過反正切函數求解底座轉角θ。聯立式（14）、式（16）可得M的位置分量XM、YM。

因為底座轉角θ的取值范圍為（-π，π），而反正切函數的取值范圍為（-π/2，π/2），因此，根據M的位置分量XM、YM所處象限進行修正，可得底座轉角θ的逆解表達式如式（18）所示。

由于反正切函數中分母XM不能為0，若XM=0，則結合YM判斷底座轉角θ是π/2還是-π/2。求得底座轉角θ后，再根據末端轉角φ的取值范圍（-2π/3，2π/3），由式（16）可得末端轉角φ的逆解表達式，如式（19）所示。

2.2 基于牛頓迭代法求解水平位移和垂直位移

采摘機器人的底座轉角θ、末端轉角φ確定后，由式（6）、式（11）、式（15）可知，果柄夾持機構的位置分量XH、YH、ZH相互耦合，是水平位移x和垂直位移z的復雜非線性函數，難以通過傳統的方程組解法直接進行求解。而數值迭代法比較適合求解非線性方程組，故本文采用牛頓迭代法求解水平位移x、垂直位移z的逆運動學解。

選取采摘機器人正運動學模型的位置表達式（15）中XH、ZH分量，以及姿態角Ψ表達式（16）構造關于水平位移x和垂直位移z的方程組f（x，z），即

將式（6）、式（11）代入式（21），再分別對x、z求偏導數，可得其雅可比矩陣J（x，z），如式（22）所示。

雅可比矩陣J（x，z）的逆矩陣J-1（x，z）計算表達式如式（23）所示。

將式（21）、式（23）代入式（20），即得計算采摘機器人水平位移x、垂直位移z的牛頓迭代表達式。

基于牛頓迭代法求解水平位移x、垂直位移z的流程如圖6所示，先根據果柄夾持機構的目標位置（XH，YH，ZH）和姿態角Ψ，由式（18）、式（19）求得底座轉角θ、末端轉角φ的逆解。設定牛頓迭代初值x0、z0，迭代次數k=0，給定誤差閾值ε、最大迭代次數η等結束條件。由式（21）～式（23）和牛頓迭代式（20）計算xk+1、zk+1，并計算與上次迭代值xk、zk的誤差ek+1，若ek+1<ε，則迭代結束，輸出x、z的逆解；若ek+1>ε且k<η，則更新迭代值xk、zk和迭代次數k，繼續迭代；如果ek+1>ε且k>η，表明在最大迭代次數η內沒有求得滿足給定精度的逆解，可能迭代初值選擇不合理，需修改迭代初值x0、z0后重新進行求解。

由于牛頓迭代初值對算法的收斂速度和逆解的精度影響較大，考慮到采摘機器人的位姿在短時間內變化較小，因此，對于連續運動，可選擇水平位移x和垂直位移z的實時值或上一采樣時刻的逆解作為牛頓迭代初值x0、z0，通常只需要1次迭代即可求得高精度的逆解。

3 試驗與分析

為了驗證本文方法的效果，在MATLAB軟件平臺上按照表1所示參數建立香蕉采摘機器人的連桿模型，如圖7所示，分別對果柄夾持機構的單個目標位姿和連續運動中各采樣時刻目標位姿的逆運動學求解進行仿真試驗。

3.1 單個位姿的逆運動學求解

首先討論采摘機器人的果柄夾持機構從初始位姿到單個目標位姿的逆解。出于一般性考慮，在表2所示采摘機器人自由度變量的取值范圍內，任意選取3組目標值（θd，xd，zd，φd），由采摘機器人的正運動學模型式（15）、式（16）求得果柄夾持機構的目標位置（XH，YH，ZH）和姿態角Ψ，如表3中組序1、2、3，而組序0表示采摘機器人初始狀態下各自由度的初值和果柄夾持機構的初始位姿。

當果柄夾持機構分別取組序1、2、3的目標位姿時，先采用式（17）～式（19）求得底座轉角θ、末端轉角φ的逆運動學解，再通過圖6所示牛頓迭代算法求出水平位移x、垂直位移z的逆運動學解，如表4所示。其中，牛頓迭代初值均取組序0中初始水平位移x0=360mm、垂直位移z0=-270mm。

表4中底座轉角θ、末端轉角φ的逆解與表3中目標值θd、φd相同，表明解析解法可求得高精度逆解。水平位移和垂直位移任取的3組目標值xd、zd（組序1、2、3）雖與牛頓迭代初值x0、z0相差較大，但經過2次牛頓迭代后的值x2、z2誤差小于0.1mm；而經過3次牛頓迭代后的值x3、z3無誤差。結果表明，對于任意給定的果柄夾持機構目標位置和姿態，本文方法都能求出采摘機器人各自由度的高精度逆運動學解，且牛頓迭代次數不超過3次。

3.2 連續運動中各采樣時刻位姿的逆運動學求解

為了進一步驗證本文方法逆運動學求解的精度、實時性和適用性，在果柄夾持機構跟蹤規劃的軌跡運動到香蕉串果柄切割處的過程中，根據連續采樣時刻果柄夾持機構的目標位置和姿態求解各自由度的逆運動學解。

選取表3中組序0和組序3的位置和姿態角分別作為果柄夾持機構在起始時刻（t=0.0s）、結束時刻（t=6.0s）的位姿，選取（1710.4，-1489.1，1391.6）和-16.7°作為中間過渡時刻（t=3.5s）的位置和姿態角，同時設定起始、結束時刻果柄夾持機構位置和姿態角的一階導數（速度和角速度）均為0，即

根據上述約束條件，通過三次樣條插值方法［30］分別規劃出果柄夾持機構連續運動的位置分量軌跡XH（t）、YH（t）、ZH（t）和姿態角軌跡Ψ（t），如圖8所示，據此可得采樣時刻ts果柄夾持機構的目標位置（XH（ts），YH（ts），ZH（ts））和姿態角Ψ（ts），然后采用本文方法求出各自由度的逆運動學解θ（ts）、x（ts）、z（ts）、φ（ts），進而得到連續采樣時刻各自由度的逆運動學解軌跡如圖9所示（采樣周期Ts=25ms）。

由于在較短的采樣周期Ts內各自由度值變化不大，因此，為了減少牛頓迭代次數，提高逆解算法的實時性，選取上一采樣時刻水平位移x和垂直位移z的逆解作為牛頓迭代初值，且只做1次牛頓迭代即輸出逆解。圖9中各自由度的逆運動學解軌跡均連續、平滑，沒有奇異點，表明本文逆運動學求解方法適用性好，在每個采樣時刻都能求得有效逆解。

為了便于說明水平位移x和垂直位移z的逆運動學求解精度，將圖9中各自由度的逆運動學解代入正運動學模型式（15）求出果柄夾持機構的位置，與圖8（a）中規劃位置的誤差軌跡如圖10所示，3個位置分量XH、YH、ZH的最大誤差均為10-3mm數量級，其中：XH的最大誤差emX為0.889×10-3mm；YH的最大誤差emY為-1.286×10-3mm；ZH的最大誤差emZ為-0.853×10-3mm。這表明在連續運動中，取上一采樣時刻的逆解作為牛頓迭代初值，只需經過1次牛頓迭代即可求得水平位移x和垂直位移z較高精度的逆運動學解。此外，由于底座轉角θ、末端轉角φ可由式（17）～式（19）求得無誤差的逆運動學解析解，故不做贅述。

為了進一步說明采摘機器人連續運動狀態下對于不同的采樣周期Ts，只需1次牛頓迭代即可求得水平位移x和垂直位移z的高精度逆解，采樣周期Ts分別取10ms、25ms、50ms、100ms、200ms，重復前述方法求出連續采樣時刻各自由度逆運動學解對應的果柄夾持機構3個位置分量的最大誤差，如表5所示。由結果可知，隨著采樣周期Ts變大，各自由度逆運動學解對應果柄夾持機構的位置誤差也變大，但最大誤差小于0.1mm；當Ts取200ms時，果柄夾持機構位置分量的最大誤差為emY=-8.297×10-2mm。這表明采摘機器人在連續運動狀態下，基于牛頓迭代的逆運動學求解方法具有較高的精度和較好的實時性。

4 結論

1） 根據香蕉采摘機器人特殊的機械結構和幾何關系，建立采摘執行器中果柄夾持機構的位置（XH，YH，ZH）和姿態角Ψ由4個自由度變量（θ、x、z、φ）描述的正運動學模型。

2） 針對采摘機器人的水平位移x和垂直位移z相互耦合呈復雜非線性關系，難以求得逆運動學解析解的問題，提出了一種基于牛頓迭代法的香蕉采摘機器人逆運動學數值求解方法。先根據采摘機器人的正運動學模型和幾何關系求得底座轉角θ、末端轉角φ的逆運動學解析解，再由機器人的正運動學模型構造水平位移x和垂直位移z滿足的方程組，并求出其雅可比矩陣的逆矩陣，然后采用牛頓迭代算法根據果柄夾持機構的目標位置和姿態求得滿足設定精度的水平位移x和垂直位移z的逆運動學解。

3） 試驗表明，本文方法可求得香蕉采摘機器人底座轉角θ、末端轉角φ無誤差的逆運動學解析解。對于果柄夾持機構單個任意目標位置和姿態，且牛頓迭代初值取固定的初始位姿時，2次牛頓迭代后水平位移x和垂直位移z的逆解誤差小于0.1mm，而3次迭代可得到無誤差的逆解；對于果柄夾持機構連續運動中各采樣時刻的目標位置和姿態，若牛頓迭代初值取上一采樣時刻的逆解，則只需1次迭代即可求得水平位移x和垂直位移z的高精度逆解。本文方法不僅可以求出采摘機器人任意目標位姿對應的各自由度的高精度逆運動學解，而且實時性較好。

參 考 文 獻

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