具有分布時滯的非線性廣義系統一致漸近穩定性準則

摘要：針對一類具有分布時滯的非線性廣義系統，利用李雅普諾夫第二方法和廣義系統的受限等價變換，給出一致漸近穩定性準則。首先，在假設具有分布時滯的非線性廣義系統是正則、無脈沖的基礎上，構造了新的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函（L-K泛函），在L-K泛函中加入了三重積分項以獲得更多的時滯信息;然后，對L-K泛函求導后產生的積分項應用邊界估值更為精確的Bessel-Legendre不等式（B-L不等式）進行處理，利用Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式給出了具有分布時滯的非線性廣義系統的一致漸近穩定性準則條件;最后，利用數值算例，通過Matlab中LMI工具箱求解，驗證了所用方法的可行性和有效性。

關 鍵 詞：非線性廣義系統; 分布時滯; 一致漸近穩定性準則; Lyapunov-Krasovskii泛函; Bessel-Legendre不等式

中圖分類號：O231 文獻標志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1673－5862.2023.01.007

Uniformly asymptotic stability criterion for a class of nonlinear descriptor systems with distributed delay

SUN Xin， LI Junxin

（College of Mathematics and Systems Science， Shenyang Normal University， Shenyang 110034， China）

Abstract：The uniformly asymptotic stability criterion for a class of nonlinear descriptor systems with distributed delays is discussed by Lyapunovs second method and the limited equivalent transformation of descriptor systems. Firstly， under the assumption that the nonlinear descriptor system with distributed delay is regular and impulse free， a novel augmented Lyapunov-Krasovskii functional （L-K functional） is constructed in which the additional delay information is obtained by adding the triple integral terms into L-K functional. Secondly， the integral term produced by derivation of L-K functional is treated by Bessel Legendre inequality （B-L inequality） with more accurate boundary estimation. Consequently， the uniformly asymptotic stability criterion for a class of nonlinear descriptor systems with distributed delays is obtained by applying Lyapunov stability theory in terms of linear matrix inequality. Finally， a numerical example is provided to demonstrate feasibility and validity of the proposed method by virtue of the LMI toolbox of Matlab.

Key words：nonlinear descriptor systems; distributed delay; uniformly asymptotic stability criterion; Lyapunov-Krasovskii functional （L-K functional）; Bessel-Legendre inequality

廣義系統［1－2］，也稱為隱式系統、奇異系統或廣義狀態空間系統，頻繁出現在一系列實際系統中，包括機器人、電力系統、網絡和經濟系統。廣義系統具有廣泛的應用前景和深遠的實際意義，因而引起國內外眾多學者的關注。目前，許多正常系統中的理論已成功擴展到相應的廣義系統，例如可控性和可觀測性［3］、Lyapunov穩定性［4］、魯棒穩定性和鎮定性［5］、容許性［6］和最優控制［7］。由于環境噪聲、不確定性或緩慢變化的參數在許多實際系統中廣泛存在，因而非線性廣義系統受到廣泛關注。目前基于廣義系統的控制和系統理論中的大量基本概念和結果已成功擴展到非線性廣義系統［8－9］。

時滯現象常常出現在各種工程、生物、機械和光學等系統中， 而且是導致系統不穩定的主要原因。若系統中的時滯為過去一段時間系統變量的積分，這樣的時滯稱為分布時滯。分布時滯系統模型常用于熱力學、生態學或流行病學等領域。分布時滯具有在整個時滯區間的分散性影響，能夠更精確地描述系統，揭示事物變化的本質。Ding等［10］提出了基于Lyapunov泛函方法和自由加權矩陣方法的非線性廣義時滯系統一致漸近穩定性準則。本文在文獻［10］提出的非線性廣義時滯系統中加入分布時滯，研究具有分布時滯的非線性廣義時滯系統的一致漸近穩定性準則。

非線性廣義時滯系統的一致漸近穩定性準則與Lyapunov-Krasovskii泛函求導后產生的積分項的估計有關。 積分項估計常用的方法有模型變換法、Park不等式法［11］、Moon不等式法、自由矩陣法和積分不等式法［12］等。 為了獲得依賴于時滯的穩定條件， 降低現有穩定性標準的保守性仍然是上述參考文獻中的核心問題。 在相關研究中， 研究人員［13－14］通常使用Jensen積分不等式、 Wirtinger積分不等式和輔助函數積分不等式來處理L-K函數導數生成的一些積分項。 Seuret等［15］提出了邊界估值更為精確的Bessel-Legendre不等式， 并且利用所提出的不等式得到時滯系統保守性更小的穩定性條件。 與Jensen不等式和Wirtinger不等式相比， B-L不等式具有更小的保守性。 受此啟發， 可以把B-L不等式推廣到具有分布時滯的非線性廣義時滯系統， 得到保守性更小的一致漸近穩定性準則。 文獻中尚未見研究具有分布時滯的非線性廣義系統的時滯依賴的一致漸近穩定性， 這便是本文的工作動機。

本文的主要工作是給出了具有分布時滯的非線性廣義系統的一致漸近穩定性準則。首先，假設系統是正則、無脈沖的，在此基礎上構造出一個新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函;然后，對Lyapunov-Krasovskii泛函求導后產生的積分項使用保守性更小的Bessel-Legendre不等式進行處理，有效地降低了結果的保守性，從而得到了具有分布時滯的非線性廣義系統的一致漸近穩定性判據。最后，用數值例子驗證了所用方法的可行性和有效性。

標記說明 全文中，Rn表示n維向量空間;C表示復數域;Rm×n代表m×n實矩陣;R+×Rn→Rni表示從正實數和n維向量組成的乘積空間映射到一個n1維向量;Xgt;0（或X≥0）表示X是正定（或半正定）矩陣;Xgt;Y（或X≥Y）表示X-Y是正定（或半正定）矩陣;x表示向量x的歐幾里得范數;I代表適維的單位矩陣;縮寫diag（…）代表分塊對角矩陣。

1 問題描述

考慮具有分布時滯的非線性廣義系統

式中：x（t）∈Rn是系統在時刻t的狀態變量;矩陣E，A，A1，A2∈Rn×n為已知的具有適當維數的常數矩陣，且rank（E）=r≤n;hgt;0，τgt;0分別為系統的常數時滯和分布時滯;φ（t）是連續可微的向量值初始函數;F∈Rn×n1，G∈Rn×n2為非線性系數;連續函數f：R+×Rn→Rn1和g：R+×Rn→Rn2表示系統中的非線性項;f（t，0）=0，g（t，0）=0滿足如下范數界條件：fTf≤α2xT（t）x（t），gTg≤β2xT（t-h）x（t-h），其中α，β為正實數。

定義1［1］ 若存在s0∈C，使得行列式det（s0E-A）≠0，則稱矩陣對（E，A）是正則的;若degdet（sE-A）=rank（E），則稱矩陣對（E，A）是無脈沖的。

定義2 若矩陣對（E，A）是正則、無脈沖的，則稱系統（1）是正則、無脈沖的。

定義3 如果系統（1）滿足以下條件：正則且無脈沖;如果εgt;0，存在一個參數x（t）≤ε，使得對于任意可容的初始條件，φ（t）滿足sup-h≤t≤0φ（t）≤δ（ε），x（t）≤ε時，系統（1）的解x（t）滿足x（t）≤ε，即limt→∞x（t）=0，那么稱系統（1）是一致漸近穩定的。

引理1［1］ 如果矩陣對（E，A）是正則、無脈沖的，那么存在2個可逆矩陣G， H∈Rn×n，使得

4 結 語

本文針對具有分布時滯的非線性廣義系統，得到一個一致漸近穩定性準則，數值例子說明了所提出方法的有效性。以后，可以考慮設計狀態反饋控制器或輸出反饋控制器對具有分布時滯的非線性廣義系統進行控制。

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收稿日期：2022－12－16

基金項目：遼寧省教育廳科學研究經費項目（LJC202002）。

作者簡介：孫 欣（1972—），女，遼寧沈陽人，沈陽師范大學教授，博士。