高精度微球半徑測量模型及圓度評定方法比較

摘要：

提出了一種基于回轉軸法和兩點法原理的高精度微球半徑測量模型，實現了基于半徑變化量的微球圓度評定。建立了可以分離主軸跳動誤差和計算各測量點對應半徑的模型。利用團隊開發的基于高精度氣浮轉臺和兩個邁克爾遜干涉儀的微球圓度測量系統，對標稱直徑為300 μm、圓度為250 nm的紅寶石球的赤道圓截面進行了掃描測量。將采用所建模型測得的微球半徑與采用直徑算得的半徑進行對比，并通過最小區域法對所測微球圓度進行評定，結果表明：所建模型與傳統直徑評定方法得到的微球圓度分別為280 nm和403 nm，標準差分別為2 nm和23 nm，所建微球半徑測量模型準確可靠，利用所建模型和最小區域法評定出的微球圓度更加準確可靠。所建模型可以方便準確地獲得被測微球的半徑，可應用于微球圓度準確評定。

關鍵詞：兩點法；圓度測量；微球；誤差分離

中圖分類號：TH741

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.10.004

High-precision Microsphere Radius Measurement Model and Comparation among Roundness Evaluation Methods

LI Ruijun1 DUAN Liuhui1 ZHAO Wenkai1 CHENG Zhenying1 FAN Guangzhao2

1.School of Instrument Science and Optoelectronics Engineering，Hefei University of Technology，Hefei，230009

2.School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian，Liaoning，116024

Abstract： A high-precision microsphere radius measurement model was proposed based on the principle of rotary axis method and two-point method， and the microsphere roundness evaluation was realized based on the amount of radius changes. A model was established that might separate the spindle runout errors and calculate the corresponding radius of each measurement points. Using the microsphere roundness measurement system developed by the authors’ group based on a high-precision air-bearing rotary table and two Michelson interferometers， the equatorial circular cross section of a ruby sphere with a nominal diameter of 300 μm and a roundness of 250 nm was scanned and measured. The roundness of the measured microsphere was evaluated by the minimum zone circle method， based on the measured radius by the proposed model and the calculated radius by the diameter. The results show that the roundness of the microspheres obtained by the proposed model and the conventional diameter evaluation method are as 280 nm and 403 nm with standard deviations of 2 nm and 23 nm， respectively， the proposed radius measurement model is accurate and reliable， and the roundness of the microspheres evaluated by the proposed model and the minimum zone circle method is more accurate and reliable. The proposed method may be used to obtain the radius of the measured microspheres easily and accurately， and may be applied to the accurate evaluation of the roundness of microspheres.

Key words： two-point method； roundness measurement； microsphere； error separation

收稿日期：2022-06-08

基金項目：

國家自然科學基金（52075143）

0 引言

隨著微納技術的快速發展，微型機械、微機電系統器件越來越微型化和多樣化，對微型三坐標測量機（micro-coordinate measuring machine，Micro-CMM）的測量精度要求也越來越高［1-4］。Micro-CMM所用探頭測球的直徑一般小于1 mm，在測量微孔、微槽等特征時，其自身赤道圓周的圓度會直接影響到測量機的精度和工作性能［5］，因此，迫切需要研究針對微球半徑及圓度的高精度測量與評定方法，以對Micro-CMM的測量結果進行誤差補償。

圓度測量的基本方法［6］如下：①回轉軸法。測量時，被測工件與轉軸同心安裝，轉軸帶著位移傳感器或被測工件做圓周運動，由位移傳感器測得的半徑計算出被測工件的圓度，該方法易受旋轉軸系自身精度影響，高精度的轉臺只能依賴進口且價格昂貴。②兩點法。通常利用兩個相對放置的傳感器對待測工件直徑進行測量，并以測量的多角度直徑間最大差值的一半作為圓度［7］，該方法測量過程中存在對準誤差及阿貝誤差，精度無法達到納米級別。③三點法。常利用V形塊等裝置配合長度傳感器將被測工件三點夾持，記錄被測件在V形塊中旋轉一周傳感器的最大示值與最小示值之差，該方法測量結果包含了直徑變化引起的圓心在被測方向上的跳動誤差，是一種常用于近似檢測大尺寸球體或圓柱體截面圓度的方法。④投影法。在投影儀等光學儀器上將被測圓的輪廓與投影屏上的兩極限同心圓進行比較，從而得到被測件的圓度［8］，分辨率及精度易受光學衍射極限的限制。⑤坐標法。利用坐標測量機布點測量被測圓輪廓的坐標數據并計算其圓度，測量效果受限于坐標機本身的分辨率和可靠性，且測量過程繁瑣、效率低［9］。上述方法被廣泛用于大尺寸零件圓形截面的圓度測量，但由于上述種種局限性，無法實現對微球的高精度測量。

近年來，國內外學者在上述基本測量原理上結合新型裝備及技術，發展出許多更精密、更快捷的測量方法及儀器［10-14］。如日本Mitutoyo公司的圓度儀 RA-H5200、英國Talyrond 365圓度儀等儀器基于回轉軸法，將精密探針與精密轉臺相結合，實現了球形工件的圓度高精度測量。由于其探針的測頭直徑通常在毫米級別，故難以實現對微米級小球的測量［15］。文獻［16-17］將掃描探針顯微鏡（SPM）和原子力探針相結合，配合精密回轉氣浮軸系開發了圓度和球度測量系統。該方法將待測件安裝在回轉軸前端，由原子力探針感測其表面高度變化，測量精度仍受旋轉機構精度限制，且探針的尖端可能對微球表面造成損傷。文獻［18］基于兩點法提出了一種分離超精密車床主軸回轉誤差和基準軸圓度誤差的方法，用直徑變化量的二分之一表示圓度誤差信號。文獻［19］基于三點法原理，以球體本身的表面作為測量基準，實現了球體圓度的高精度測量。由于三點法自身原理的限制，難以應用在微米級球體圓度的測量中。文獻［20-21］基于透視投影原理，利用顯微視覺技術，實現了對微球半徑、圓度的無損檢測。該方法識別效率高，但是微球表面特性、像素以及光學衍射極限也限制了該方法向更高精度發展。文獻［22］針對微小器件的測量，研發了微納米三坐標測量機，并提出三球互測法，以獲得探針尖端球的圓度和絕對直徑。然而，該方法測量時需要移除和重新安裝測針，在對更小微球進行測量時難度明顯增加。文獻［23］在傳統兩點法的基本測量原理上研制了一種新型的微球圓度測量系統，通過使用面對面放置的兩臺自研邁克爾遜干涉儀作為長度傳感器，實現了納米級測量分辨力；通過調整微球中心在兩干涉儀光軸重合線上，避免了傳統兩點法常見的阿貝誤差、余弦誤差等；結合兩點法原理和精密轉臺的使用，對主軸回轉誤差進行了補償，但是無法消除3次及3次整數倍的諧波；對直徑1 mm的紅寶石球進行了測量，通過最大直徑與最小直徑的差值計算圓度，測得圓度為812 nm、標準差為60 nm。

本文在兩點法原理的基礎上結合精密轉臺，提出了一種能夠進一步分離主軸跳動誤差與計算各測量點對應半徑的模型。利用團隊開發的微球圓度測量系統對直徑為300 μm的紅寶石球赤道圓周進行測量，并根據模型計算各測量點的半徑。設計了對比實驗驗證測量點數與測量可靠性的關系，確定合適的測量點數。最后，通過兩種方案對微球的圓度進行了評定。方案一：基于半徑計算模型所得的各測量點半徑，通過最小區域法（MZC）對被測微球的圓度進行評定。方案二：基于兩干涉儀測量值得到的各測量點直徑，由直徑的二分之一表示半徑，通過MZC對被測微球的圓度進行評定。

1 系統測量原理及半徑計算模型

1.1 系統測量原理

系統測量原理示意圖見圖1。將兩點法與回轉軸法基本原理相融合，采用轉臺式結構。以兩套微型邁克爾遜激光干涉儀作為長度傳感器，搭配兩個彈性位移機構、一個精密轉臺及適當的位移和角度調整裝置，實現對微球圓度的高精度測量。

兩套干涉儀面對面放置，轉臺安裝于兩干涉儀之間，并將待測微球固定在轉臺上。由于待測球存在安裝誤差，故安裝時需要借助CCD相機觀察待測球旋轉時的偏移情況，對待測球的安裝偏心進行調節。彈性機構被安裝在XYZ調整裝置上，其兩邊均貼有平面鏡，一面用作干涉儀測量鏡，另一面用于接觸待測球。彈性機構的彈性系數為2.81 N/m，且彈性機構移動桿的滑動摩擦力為7.04 mN。當通過CCD將偏心調整至10 μm以內后，由偏心和微球半徑變化引起的彈性機構動態力變化量在微牛（μN）級別，對測量造成的影響可以忽略。待測球隨轉臺旋轉時，其徑向變化、安裝誤差和轉軸偏差等因素共同作用，推動彈性機構及測量鏡運動，最后由干涉儀解得相應的位移值。

1.2 半徑計算模型

待測球轉動時與平面鏡的位置關系如圖2所示。在測量前，兩干涉儀測量端的接觸平面鏡需要接觸置零，如圖2a所示。測量過程中，被測微球隨轉臺旋轉，兩個干涉儀測量端的接觸平面鏡與小球始終保持接觸。兩干涉儀在初始位置的讀數分別記為Ra（0°）和Rb（0°），如圖2b所示。根據幾何關系，可得如下等式：

Ra（0°）+Rb（0°）=Dm+Δr（0°）+Δr（180°）（1）

式中，Dm為待測球的平均直徑，；Δr（0°）、Δr（180°）分別為待測球在0°和180°角位置的半徑與其平均半徑的差值。

待測球隨轉臺旋轉到θ角度時，如圖2c所示，兩干涉儀的示數分別被記為Ra（θ）和Rb（θ），根據式（1），可以得到角位置θ處的等式：

Ra（θ）+Rb（θ）=Dm+Δr（θ）+Δr（θ+180°）（2）

其中，Δr（θ）和Δr（θ+180°）分別表示待測球在θ和θ+180°角位置半徑與其平均半徑的差值。Dm可由微球旋轉一周后各角度測量值計算：

Dm=∑（Ra（θi）+Rb（θi））N（3）

式中，θi為不同采樣點處的角度；N為采樣點數。

根據式（1）和式（2），可得

Δr（180°）=Ra（0°）+Rb（0°）－Dm－Δr（0°）（4）

Δr（θ+180°）=Ra（θ）+Rb（θ）－Dm－Δr（θ）（5）

兩干涉儀的示數相對于其初始位置的變化可表示為

Ra（θ）=Ra（0°）－E（θ）+Δr（θ）－Δr（0°）（6）

Rb（θ）=Rb（0°）+E（θ）+Δr（θ+180°）－Δr（180°）（7）

式中，E（θ）為轉軸偏差、待測球的偏心誤差以及安裝誤差共同引起的跳動誤差。

跳動誤差E（θ）可以用一個以上的諧波信號表示，滿足E（θ+180°）=-E（θ），E（θ）、E（θ+180°）可表示為

E（θ）=Δr（θ）－Ra（θ）+Ra（0°）－Δr（0°）（8）

E（θ+180°）=Δr（θ+180°）－Ra（θ+180°）+Ra（0°）－Δr（0°）（9）

理想情況下，測球旋轉一周時的∑Δr（θi）、∑Δr（θi+180°）與∑E（θi）都必須為零。Δr（0°）、Δr（180°）可以通過旋轉一周取式（6）、式（7）的平均值來計算：

∑Ra（θi）=NRa（0°）－∑E（θi）+∑Δr（θi）－NΔr（0°）（10）

Δr（0°）=Ra（0°）－（∑Ra（θi））/N（11）

目前只剩下Δr（θ）與E（θ）兩個未知量，通過最優化算法得到滿足E（θ+180°）=-E（θ）的最優解，從而獲得待測球各測量點的半徑變化Δr（θ）和跳動誤差E（θ）。

2 實驗及結果分析

2.1 實驗裝置及過程

微球圓度測量系統采用自主研發的微型邁克爾遜干涉儀作為傳感器，干涉儀光源采用波長632.8 nm的氦氖激光器，通過光纖耦合器及一分二光纖將光束耦合成兩束，再分別接入兩套干涉儀系統。干涉儀以及調整裝置固定在高精度氣浮轉臺上方，且下方由大理石底座支撐以隔絕外部環境振動的干擾。

為驗證半徑評定圓度方法較直徑評定圓度方法的精度提高，對同一顆Renishaw公司生產的直徑300 μm、標稱圓度250 nm的商用紅寶石球（A-5000-7800）進行了重復測量實驗，轉臺轉速為5 r/min，分別通過方案一、方案二對微球圓度進行評定。

測量前須先調節兩干涉儀測量光束同軸，并保證測量時待測球球心位于測量光軸上。可通過配套的調整臺調節待測球心與干涉儀光軸同軸，并借助CCD視覺輔助系統盡可能減小待測球安裝偏心。測量過程可分為三個步驟：首先，調節兩平面鏡接觸，并將此時兩干涉儀讀數置0；然后，將兩接觸鏡拉開，安裝待測球，并調整接觸鏡夾持微球，此環節可借助CCD相機等視覺輔助設備，盡可能減小安裝誤差；最后，待測微球隨轉臺勻速旋轉一周，記錄兩干涉儀的讀值并計算結果。

2.2 測量結果及圓度評定方法對比

（1）采樣點數對圓度評定結果的影響。測量過程中，轉臺以5 r/min的速度勻速旋轉，并通過軟件對微球截面輪廓進行采樣，采樣點數m分別為40、150、300、600、1200，不同采樣點數各重復測量5次。采用方案一對圓度λ進行評定，評定結果如圖3所示。從圖3中可以看出，隨著采樣點數的增多，圓度評定結果越來越接近標稱圓度，且采樣點數達到600后，圓度趨于穩定。因此，本文所提出的測量方法要求采樣點數大于600。

（2）方案一與方案二圓度評定結果及對比。對1200點/圈的5次重復測量所得數據進行處理，分別利用方案一、方案二對微球圓度進行評定。兩種方案所得半徑以及圓度評定結果如表1所示，方案一、方案二圓度評定結果分別為280 nm和403 nm，標準差分別為2 nm和23 nm。測量結果表明，方案一測得半徑與圓度評定結果的穩定性均優于方案二，且方案一的圓度評定結果更加接近標稱圓度。

根據方案一測得的半徑值繪制的微球截面輪廓如圖4所示，各測量點半徑變化量及其標準差如圖5所示。

3 結論

為實現微球圓度的準確評定，提出了一種基于回轉軸法和兩點法原理的高精度微球半徑測量模型，該模型能夠分離主軸跳動誤差并準確計算微球各測量點的半徑。利用團隊開發的微球圓度測量系統對標稱直徑為300 μm、標稱圓度為250 nm的紅寶石球進行了多組測試，結果表明：

（1）所建立的微球半徑測量模型需在600個以上采樣點的情況下使用；

（2）所建立的微球半徑測量模型準確可靠（測量標準差為3 nm）；

（3）利用所建模型和最小區域法評定的微球圓度為280 nm（對照方法的評定結果為403 nm），更加接近標稱圓度值。

參考文獻：

［1］ 郝永平， 董福祿， 張嘉易， 等. 基于MEMS機構裝配的微夾持器研究［J］. 中國機械工程， 2014， 25（5）：596-601.

HAO Yongping， DONG Fulu， ZHANG Jiayi， et al. Study on Micro-gripper Based on MEMS Mechanism Assembly［J］. China Mechanical Engineering， 2014， 25（5）：596-601.

［2］ KNAUSS W G， CHASIOTIS I， HUANG Y. Mechanical Measurements at the Micron and Nanometer Scales［J］. Mechanics of Materials， 2003， 35（3/6）：217-231.

［3］ FIREBAUGH S L， CHARLES H K， EDWARDS R L， et al. Optical Deflection Measurement for Characterization of Microelectromechanical Systems（MEMS）［J］. IEEE Transactions on Instrumentation amp; Measurement， 2004， 53（4）：1047-1051.

［4］ MASUZAWA T， HAMASAKI Y， FUJINOM. Vibroscanning Method for Nondestructive Measurement of Small Holes［J］. CIRP Annals—Manufacturing Technology， 1993， 42（1）：589-592.

［5］ 黃強先， 余惠娟， 黃帥， 等. 微納米三坐標測量機測頭的研究進展［J］. 中國機械工程， 2013， 24（9）：1264-1272.

HUANG Qiangxian， YU Huijuan， HUANG Shuai， et al. Advances in Probes of Micro-nano Coordinating Measuring Machine［J］. China Mechanical Engineering， 2013， 24（9）：1264-1272.

［6］ 董兆鵬， 黃富貴. 圓度誤差測量及評定方法綜述［J］. 工具技術， 2011， 45（2）：14-19.

DONG Zhaopeng， HUANG Fugui. Review of Measurement and Evaluation Methods for Roundness Error［J］. Tool Engineering， 2011， 45（2）：14-19.

［7］ 彭麗. 外徑千分尺測量圓度誤差的不確定度分析［J］. 工具技術， 2010， 44（8）：105-107.

PENG Li. Uncertainty Analysis of Roundness Error of Outer Diameter Micrometer Measurement［J］. Tool Engineering， 2010， 44（8）：105-107.

［8］ 武晉燮. 幾何量精密測量技術［M］. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社， 1989.

WU Jinxie. Precision Measurement Techniques for Geometric Quantities［M］. Harbin：Harbin Institute of Technology， 1989.

［9］ 葛磊. 高精度圓度測量的研究［D］. 上海：東華大學， 2011.

GE Lei. Research on High Precision Roundness Error Measurement［D］. Shanghai：Donghua University， 2011.

［10］ BARTL G， KRYSTEK M， NICOLAUS A， et al. Interferometric Determination of the Topographies of Absolute Sphere Radii Using the Sphere Interferometer of PTB［J］. Measurement Science and Technology， 2010， 21（11）：115101-115108.

［11］ HAGINO T， YOKOYAMA Y， KURIYAMA Y， et al. Sphericity Measurement Using Stitching Interferometry［J］. Key Engineering Materials， 2012， 523/524：883-888．

［12］ 馬仙仙， 趙維謙， 李少白， 等. 激光聚變靶丸球度測量與評定［J］. 儀器儀表學報， 2017， 38（11）：2675-2681.

MA Xianxian， ZHAO Weiqian， LI Shaobai， et al. Sphericity Measurement and Evaluation for Laser Fusion Target［J］. Chinese Journal of Scientific Instrument， 2017， 38（11）：2675-2681.

［13］ WANG L X， WANG Y， MANX X， et al. Measurement of Laser Differential Confocal Geometrical Parameters for ICF Capsule［J］. Matter and Radiation at Extremes， 2019， 4（2）：36-42.

［14］ 吳俊杰， 劉儉， 魏佳斯， 等. 雙測頭復合型微納米測量儀的研制［J］. 光學精密工程， 2020， 28（2）：415-423.

WU Junjie， LIU Jian， WEI Jiasi， et al. Development of Double Probe Composite Micro and Nano Measuring Instrument［J］. Optics and Precision Engineering， 2020， 28（2）：415-423.

［15］ 黃強先， 胡小娟， 卞亞魁， 等. 微球球度測量技術的研究進展［J］. 中國機械工程， 2016， 27（9）：1271-1277.

HUANG Qiangxian， HU Xiaojuan， BIAN Yakui， et al. Advances in Sphericity Measurement Technology of Micro Sphere［J］. China Mechanical Engineering， 2016， 27（9）：1271-1277.

［16］ ZHAO Xuesen， SUN Tao， YAN Yongda， et al. Measurement of Roundness and Sphericity of the Micro Sphere Based on Atomic Force Microscope［J］. Key Engineering Materials， 2006， 315/316：796-799.

［17］ 孫濤， 趙學森， 閆永達， 等. MEMS器件圓度誤差納米級測量方法研究［C］∥中國微米、納米技術第七屆學術會年會. 大連， 2005：487-489.

SUN Tao， ZHAO Xuesen， YAN Yongda， et al. Study on Nano-scale Roundness Measurement Method of MEMS Component［C］∥Proceedings of the 7th Annual Conference of Chinese Society of Micron and Nanotechnology. Dalian， 2005：487-489.

［18］ 黃長征， 李圣怡. 超精密車床主軸回轉精度動態測試仿真［J］. 計算機仿真， 2002（6）：96-99.

HUANG Changzheng， LI Shengyi. The Simulation on Dynamic Measurement of Spindle Error Motions of Ultra-precision Lathe［J］. Computer Simulation， 2002（6）：96-99.

［19］ GLEASON E， SCHWENKE H. A Spindleless Instrument for the Roundness Measurement of Precision Spheres［J］. Precision Engineering， 1998， 22（1）：37-42.

［20］ 戴昌盛. 基于顯微視覺的微球質量檢測與篩選方法研究［D］．哈爾濱：哈爾濱工業大學， 2016.

DAI Changsheng. Research on Vision-base Methods for Quality Measurement and Selection of Microspheres［D］. Harbin：Harbin Institute of Technology， 2016.

［21］ 陳厚瑞， 蔡瀟雨， 魏佳斯， 等. 基于顯微視覺的微球圓度測量方法研究［J］. 計量學報， 2019， 40（5）：770-775.

CHEN Hourui， CAI Xiaoyu， WEI Jiasi， et al. Research on Measurement for Roundness of Microspheres Based on Micro-vision［J］. Acta Metrologica Sinica， 2019， 40（5）：770-775.

［22］ KNG A， MELI F， THALMANN R. Ultraprecision Micro-CMM Using a Low Force 3D Touch Probe［J］. Measurement Science amp; Technology， 2005， 18（2）：58790S-58790S-8.

［23］ FAN K C， WANG N， WANG Z W， et al. Development of a Roundness Measuring System for Microspheres［J］. Measurement Science amp; Technology， 2014， 25（6）：064009.

（編輯 袁興玲）

作者簡介：

李瑞君，男，1976年生，教授、博士研究生導師。研究方向為微納測量技術與系統、光電檢測技術與系統及精密控制技術與系統。E-mail：rj-li@hfut.edu.cn。