波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)幾何解題中的應(yīng)用

摘 要：為彌補初中學(xué)生因為思考的不完整性而導(dǎo)致的做題難的問題，文章借助波利亞“怎樣解題表”，以2020年成都中考第25題為例，還原具體的解題教學(xué)過程，反思存在的問題，促進教師教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：“怎樣解題表”；解題教學(xué)；回顧反思

中圖分類號：G632" "文獻標識碼：A" "文章編號：1008-0333（2023）11-0008-03

收稿日期：2023-01-15

作者簡介：楊小娟，女，四川省成都人，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

鐘文雯，女，四川省成都人，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 問題提出

通過對中考中難題的完成情況以及解題方法、策略的了解，學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們在平時的解題中存在思路不清晰、思維過程不完整、沒有對問題進行及時的回顧反思和深入思考等現(xiàn)象，導(dǎo)致在時間有限的中考中，很難在短時間內(nèi)找到解決問題的方法并得出最終的正確答案.因此筆者希望能夠通過利用經(jīng)過長期實踐驗證的對學(xué)生解題有切實幫助的解題方法——波利亞“怎樣解題表”，彌補學(xué)生思考的不完整性，幫助學(xué)生在日常的解題學(xué)習(xí)中，形成完整的解題思路，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維，從根本上提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 波利亞“怎樣解題表”

首先，理解題目.理解題目是解題的首要前提.從題目的敘述開始，熟悉題目，找出“未知量”，深入理解題目，將題目的主要部分分離出來，“已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？[1]”

其次，擬定方案.擬定方案是解題的關(guān)鍵步驟.首先通過觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目[1].通過對比兩者的共同點和區(qū)別，總結(jié)出類似題目的解決方法和策略，并嘗試應(yīng)用到待解題目中，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的直接或間接聯(lián)系，必要時考慮輔助題目，最終得出一個解題方案.這個過程需要聯(lián)系舊知，符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū).

再次，執(zhí)行方案.執(zhí)行方案是解題的具體實施過程.執(zhí)行之前擬定的方案是對解題方案的合理性和正確性的檢驗，培養(yǎng)學(xué)生整理零散思路，形成條理性思維.

最后，回顧.回顧是對解題過程的檢驗和完善，是對數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)培養(yǎng)的提升.通過檢驗解題中所得到的結(jié)果和論證、用不同的方法推導(dǎo)結(jié)果實現(xiàn)一題多解并進行方法優(yōu)劣的比較從中擇優(yōu)擇簡、考慮所得結(jié)果和方法在其它題目中的適用性最終實現(xiàn)對知識的遷移.但這個步驟在實際解題往往是最容易被忽略的.

“怎樣解題表”的四個環(huán)節(jié)是在完整解答一道題目時必定會涉及到的，是思維的層層遞進，且更多的是教師啟發(fā)性的提問，而不是一種解題的固定模式，所以教師在啟發(fā)學(xué)生解答題目時，并非要涉及到表中的所有問題，而應(yīng)根據(jù)不同題目靈活運用，創(chuàng)造性地使用“怎樣解題表”[2].

3 波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)解題及教學(xué)中的具體應(yīng)用" 例1 面積為6的ABCD紙片中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步驟進行剪裁和拼圖.

3.4 第四步：回顧反思，深化理解

3.4.1 轉(zhuǎn)換角度，一題多解

解法一（分析法）：在上述解答過程中，我們的關(guān)注點是放在未知量上，此時解題的思維模式是找未知量解出未知量所需要的條件 →對比題目已知數(shù)據(jù)和條件是否符合.

解法二（直接法）：在學(xué)生自主思考解題時，他們可能會把更多關(guān)注點是放在已知量上，此時解題的思維模式是看已知量 →通過已知量能得出的可能結(jié)果 →在眾多結(jié)果中找到該題的結(jié)果.

兩種解法的思維方式和立足點是截然不同的.解法一是從結(jié)果找條件，解法二則是由已知推未知，顯然解法一能很好的避免學(xué)生在解題過程中偏題，但對學(xué)生的知識儲備和思維能力要求較高，而解法二則降低了對學(xué)生的思維能力要求，但同時也容易使學(xué)生在解題過程中偏離，浪費時間.

3.4.2 原題目條件不變，只改問題

將原問題“則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，對角線MN長度的最小值為________.”改為：則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，當(dāng)對角線MN長度取最小值時，求陰影部分的面積？

通過這樣的改編，是在能夠解決原問題的基礎(chǔ)上，進一步加強了對三角形相似知識點的考查，拓寬了考查面，從不同角度探析其解題思路，并通過變式探究這一類問題的通解[3].

通過利用波利亞“怎樣解題表”解決上述問題，很好地展現(xiàn)了波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，同時也反映出波利亞“怎樣解題表”中所提供的完整的解題步驟.理解題目，弄清已知未知；聯(lián)系舊知，以舊法解新題，已知未知建立聯(lián)系，細化目標，逐一求解；回顧反思，深化結(jié)果遷移解題方法，為學(xué)生的數(shù)學(xué)解題提供了清晰的思路，能夠幫助學(xué)生找到明確的解題方向最終得出正確答案.同時波利亞“怎樣解題表”中所提到的“回顧”的環(huán)節(jié)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)深入思考問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出新問題，使學(xué)生的思維不僅僅局限于解這一道題上，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也有很大幫助.

因此，在日常解題教學(xué)中，教師應(yīng)該起到積極引導(dǎo)的作用，有目的性地引導(dǎo)學(xué)生，靈活利用波利亞“怎樣解題表”的解題思維進行解題，啟發(fā)學(xué)生思考，從而有效提升解題效率.

參考文獻：

［1］ G.波利亞.怎樣解題[M].涂泓，譯.上海：上海教育科技出版社，2011.

[2] 徐彥輝.“怎樣解題表”應(yīng)用兩例[J].高等數(shù)學(xué)研究，2014，17（04）：67-70.

[3] 楊虎.解法賞析思變式 變式探究尋通解[J].河北理科教學(xué)研究，2017（04）：12-15.

［責(zé)任編輯：李 璟］