帶電粒子在勻強電場中的運動問題解法賞析

【摘要】本文將力和運動的解題思維和方法遷移到電磁學的解題過程中，進而加深對帶電粒子在勻強電場中的運動過程的理解，提高學生的解題能力.文中總結帶電粒子處于平衡狀態、做加速（或減速）運動、做圓周運動三個常見類型，通過典例解析的方式對解題方法和思路進行總結和歸納.

【關鍵詞】帶電粒子運動；勻強電場；解題

帶電粒子在電場中的運動問題，本質上還是添加了電場力的運動學問題，不論帶電粒子在電場中靜止、加速還是偏轉，不要被增加的勻強電場所迷惑，分析和解決問題的方法與運動學分析法相同，都是先進行受力分析后進行運動分析，最后列運動學方程解題，動量和能量的觀點在分析問題中也同樣適用.

1 帶電粒子在電場中的運動問題本質上就是電場中的力學問題

雖然本質相同，研究方法與力學中的相同，但是因為涉及電場，在解題時需要注意兩個力：一是重力，是否考慮重力對研究過程的影響是分析研究對象運動的關鍵前提，通常的微觀粒子如電子、質子、α粒子等，其重力不考慮；而宏觀帶電體，如小球、液體、塵埃顆粒等，需要考慮重力的影響；此外，也要認真讀題，看是否有特殊的說明；二是電場力，之所以要特別注意電場力，是因為電場力與電場的大小、方向直接相關，還與研究對象所帶電荷的電性相關，需要準確判斷電場力是恒力還是變力，以及其方向.

帶電粒子在勻強電場中運動過程的分析方法：

（1）先整體判斷帶電粒子的運動性質

從帶電粒子的運動狀態可分為勻速運動和變速運動兩種：若帶電粒子受力平衡，則帶電粒子做勻速運動；若帶電粒子受力不平衡，則帶電粒子做變速運動，具體是勻變速還是非勻變速運動，要根據受力分析判斷.

從帶電粒子的運動軌跡可分為直線運動和曲線運動（偏轉和圓周運動）兩種.在垂直帶電粒子的運動方向上受力平衡，則帶電粒子做直線運動；反之，帶電粒子做曲線運動，具體是類平拋的偏轉運動還是圓周運動，需要根據受力分析判斷.

（2）選用正確的解題策略

若判斷出帶電粒子做直線運動，可根據牛頓運動定律、運動學公式即動能定理等，列式解決問題；

若判斷出帶電粒子做偏轉或圓周運動，則需結合我們解決平拋運動、圓周運動的相關知識進行解題.

2 帶電粒子在勻強電場中不同運動類型中的解題方法及應用

2.1 帶電粒子處于平衡狀態的類型

帶電粒子在電場中的平衡指的是當其所受合力為0時，處于靜止、勻速直線運動狀態.其中靜止狀態相對簡單，正確進行受力分析即可解決問題；勻速直線運動的情況，重力與帶電粒子所受電場力大小相等、方向相反是解題的突破口，常用公式是mg=qE=qU/d.

例1 如圖1所示，在一個電場方向沿紙面方向的勻強電場中，一個質量為m、帶電量為q的帶電小球系在絕緣細線的一端，細線另一端固定，為了能使小球在與豎直方向成60°角處保持靜止，勻強電場的電場強度可能是（ ）

解析 以小球為研究對象進行受力分析，它受到重力mg、細線的拉力F和電場力Eq這三個力作用，小球處于靜止狀態，因此其所受合外力為0.如圖2所示，根據力的平行四邊形定則可知，當電場力的方向與細線垂直時，電場力最小，可得Eq＝mgsin60°，解得E=mgsin60°/q=3mg/2q.所以，勻強電場的場強取值范圍是E≥3mg/2q，故正確選項為（A）（C）（D）.

例2 如圖3所示，A，B是平行金屬板，兩極板間距d＝4cm，長L＝10cm.有一個質量m＝5×10－6kg的帶電粒子以v0＝2m/s的水平速度沿兩極板的中心線進入電場，當兩極板間電壓UAB＝1000V時，帶電粒子恰好沿極板的中心線水平射出電場，求該帶電粒子的電荷量及電性.

解析 “帶電粒子恰好沿極板的中心線水平射出電場”，證明帶電粒子在電場中運動時不偏轉，在豎直方向上帶電粒子所受的重力和電場力平衡，可得

由重力的方向豎直向下，可知電場力的方向豎直向上；因為UAB＝1000V＞0，可知電場的方向豎直向下，所以帶電粒子帶負電.

小結 帶電粒子在電場中的平衡問題，實際上就是多了一個電場力的力學平衡問題，求解時，只需在力的平衡相關知識基礎上，正確受力分析，或建立直角坐標系，或應用力的三角形法則和平行四邊形法則，即能順利解題.

2.2 帶電粒子做加速（或減速）運動的類型

帶電粒子在電場中的加速或減速運動是最常見的運動方式，高中階段只考查勻強電場中帶電粒子的勻變速運動類型問題.這個類型的前提是帶電粒子進入電場的速度方向與電場的方向相同或相反.若帶電粒子只受電場力作用，則其做加速或減速直線運動，在勻強電場中，可直接通過公式a=qE/m，E=U/d，v2－v20=2ad求解問題，還可應用動能定理公式W=qU=ΔEk，即qU=1/2mv2－1/2mv20解決問題.

例3 如圖4所示，相距為d的平行金屬板A，B水平放置在豎直真空中，在兩極板上的電壓u做周期變化，周期為T.已知極板A的電勢UA=0，極板B上的電勢UB做如下變化：0－T/2時間內，UB=U0（U0為一正值常數）；T/2－T時間內，UB=－U0；T－3T/2時間內，UB=U0；3T/2－2T時間內，UB=－U0；……現有一個電子從A極板上的小孔無初速度進入電場，則（ ）

（A）若電子在t=0時刻進入電場，它將一直向極板B運動.

（B）若電子在t=T/8時刻進入電場，它可能時而向極板B運動，時而向極板A運動，但最終會達到極板B.

（C）若電子在t=3T/8時刻進入電場，它可能時而向極板B運動，時而向極板A運動，但最終會達到極板B.

（D）若電子在t=T/2時刻進入電場，它可能時而向極板B運動，時而向極板A運動，但最終會達到極板B.

解析 做出BA間的電勢差的變化圖象如圖5所示.因為兩極板間的電場強度大小恒定、方向做周期變化，因此進入電場的電子所受電場力大小也是恒定的，方向做周期變化，有F=±eE0=±eU0/d，選項（A）的進入時刻：電子在0－T/2時間內向著極板B做勻加速直線運動，在T/2－T時間內向著極板B做勻減速直線運動，直至速度減為0；之后電子會重復上述運動，因此電子在t=0時刻進入電場，它將一直向極板B運動.其v-t圖象如圖6所示，選項（A）正確.

選項（B）的進入時刻：電子在正半周內的時間T/8－T/2內向著極板B做勻加速運動；在負半周的前3T/8時間內，電子向著極板B做勻減速直線運動，直到速度減為0，然后在后T/8時間內向著極板A做勻加速直線運動；當進入T－3T/2的半周期時，開始的T/8時間電子繼續向著極板A做勻減速直線運動，直至速度減為0；然后，運動又進入了開始時的循環運動中.其v-t圖象如圖7所示，分析圖象可知選項（B）正確.

余下的兩項我們也可以參照上述方法進行分析，可判斷選項（C）（D）錯誤.

小結 對帶電粒子在勻強電場中的勻加速和勻減速運動問題，分析的切入點依然是受力分析，然后結合運動學知識，進行定性分析和定量分析，確定帶電粒子的運動狀態和運動變化的節點是關鍵，如能熟練掌握圖象方法，就能使分析過程變得更加直觀和清晰.

3 結語

綜上所述，我們可以看出，帶電粒子在電場中的運動其實就是力與運動在電場方面的拓展，解題時只需將電場力加入進去，其余思想和方法都可以按照我們解決力與運動的有關問題來進行，這樣可將陌生或者復雜的問題轉變為熟悉和簡單的問題，實現知識的正遷移，提高解題能力.

參考文獻：

[1]韓鵬.帶電粒子在非勻強電場中的運動問題歸類例析[J].高中數理化，2020（16）：31-32.

[2]鄭金.帶電粒子流在勻強電場中運動問題歸類解析[J].高中數理化，2021（19）：33-36.

[3]方文川，黃書鵬.帶電粒子在勻強電磁場中運動分類淺析[J].物理之友，2015（03）：31-35.

[4]趙生武.帶電粒子在等效重力場中圓周運動模型的分析策略[J].數理化解題研究，2022（16）：97-99.

[5]吳珊，姜付錦.帶電粒子在勻強電場和勻強磁場中運動規律的研究[J].物理通報，2014（09）：108-110.