多次碰撞模型中速度的等比迭代問題研究

【摘要】2022年深圳二模物理壓軸題以冬奧會(huì)冰壺運(yùn)動(dòng)為背景，設(shè)計(jì)了一個(gè)多次碰撞的物理模型.試題通過兩物體加速度的比值k和恢復(fù)系數(shù)e的設(shè)置，實(shí)現(xiàn)了碰后速度的等比迭代.本文通過假設(shè)論證，找到碰后速度發(fā)生等比迭代的一般性條件，探究k與e的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)臨界狀態(tài)時(shí)公比q與參數(shù)e相等的結(jié)論，并給出了方便計(jì)算的參數(shù)配置表.

【關(guān)鍵詞】高中物理；碰撞模型；等比迭代

因篇幅限制，將原題作如下簡(jiǎn)化：在水平面上，A物體以初速度v1與靜止的B物體發(fā)生一維碰撞（碰撞時(shí)間極短），A，B可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量均為m，已知A，B物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)之比為k，每次A，B碰撞前后速度均滿足比值vB后－vA后/vA前－vB前=e，在本題中k=1/3，e=1/5.試通過計(jì)算說明每次碰后B物體速度能發(fā)生等比迭代.

顯然，本題是利用k和e兩個(gè)參量的特殊設(shè)定，實(shí)現(xiàn)了B物體碰后速度發(fā)生等比迭代的有趣現(xiàn)象.一維碰撞可以簡(jiǎn)單分為動(dòng)碰動(dòng)和動(dòng)碰靜兩種類型，筆者發(fā)現(xiàn)本題k值的作用就是控制碰撞類型，而e值的作用是控制A，B碰后速度的分配比例.因?yàn)榈谝淮闻鲎彩莿?dòng)碰靜類型，所以筆者大膽猜測(cè)，只要選擇合適的k值，以保證后續(xù)碰撞始終是動(dòng)碰靜類型，則每次碰后B物體速度能發(fā)生等比迭代.論證過程如下：

3 結(jié)語

本題中，需設(shè)置e＜1且21－e/1+e－1≤k≤（1－e）2/（1+e）2，以保證A，B碰撞時(shí)，B處于靜止?fàn)顟B(tài)，使得碰后速度能夠發(fā)生等比迭代，公比q=1/2（1－e2）－（k1+e2）.

原題設(shè)置A，B碰撞時(shí)，B恰好停止運(yùn)動(dòng)，則k值必須滿足k=21－e/1+e－1帶入q的表達(dá)式發(fā)現(xiàn)，此種情況下公比q=e.方便計(jì)算的e，k，q的配置如表1所示.