數形結合 妙解三角函數

摘 要：三角函數是探索數學與幾何關系的代數理論，它揭示了數學與幾何之間的緊密關系，而數形結合的方式，可以將數學和幾何結合起來，為學生解決復雜的幾何難題提供新的途徑和思路.因此，教師可以帶領學生深入研究和應用數形結合理論，更好地理解三角函數的本質、性質，從而提高學生解決三角函數問題的能力.

關鍵詞：數形結合；三角函數；課堂教學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）30-0011-03

收稿日期：2023-07-25

作者簡介：陳亞囡

（1985.12-），女，江蘇省南通人，本科，講師，從事中職數學教學研究.

數學和幾何學一直以來都是人們探索和研究的重要領域，三角函數是以角度為自變量，以其對應的任意角的終邊上任意一點坐標，或坐標比值為函數值的一種函數表達.數形結合是一種幾何作圖方法，可以將三角函數和幾何相互融合，是研究幾何形狀和角度的重要工具，兩者在解決實際問題中具有廣泛的應用^[1].因此，教師可以帶領學生挖掘三角函數的性質和公式，以及幾何形狀的特點，幫助學生探索解決幾何難題的新思路.

1 依托三角函數線，探索基礎內涵

三角函數線是指由正弦函數、余弦函數、正切函數等所表達的一類曲線，這些函數都是以單位圓的角度為輸入，并輸出對應的三角比值.教師在介紹三角函數的同時，可以為學生引申三角函數線的意義，幫助學生以數形結合的形式理解三角函數的部分知識，通過函數線上的圖像，理解代數式中的函數，呈現出一系列特征，包括周期性、對稱性、振蕩等.

課堂中，教師可以指出三角函數的基礎內容，介紹指出正弦函數是用sin（x）表示的，其中x是角度，描述了一條振蕩的曲線，且取值范圍在[-1， 1]之間；余弦函數是用cos（x）表示的，其中x是角度，描述了一個類似正弦函數的曲線，取值范圍也在[-1， 1]之間；正切函數是用tan（x）表示的，其中x是角度，描述了一條具有無限個極值點的曲線，其定義域的周期為π.在學生了解正弦余弦和正切概念的基礎上，教師可以引申至三角函數線，指出三角函數線是正弦、余弦、正切、正割線的總稱，是三角函數的基礎內容，借助三角函數線，學生可以以作圖的方式，直觀地看出任意角在特殊條件下的取值范圍.簡單地，教師可以在黑板上寫出例題，讓學生求出當sinα＞1/2時，α的取值范圍，教師可以提示學生利用三角函數線解題，為學生的解題提供“撥云見日”的感覺.在一段時間的思考后，教師可以提問了解學生的想法，有學生回答：“當α為30°時，sinα＝1/2，這樣說來，我們可以用臨界的思維將三角函數線的起始安置在點A，此時的OA線與x軸的夾角為30°，轉化一下也可以寫成π/6.”教師肯定了學生的思路，并詢問是否還有補充，另一學生回答：“正弦值在三角函數與象限中，不只有第一象限為正數，第二象限對于正弦值來說同理，也是正數，這樣一來，sinα的取值為1/2就出現了兩種情況，即α為5π/6同樣符合題意，然后將三角函數線補充完整，即可得出答案.”教師將學生的思維展示在投影儀上（見圖1），綜述道：“在π/6與5π/6的以逆時針的方向圈定范圍，并用表達式表示出來，即可得出正確答案為｛α | π/6+2kπ＜α＜5π/6+2kπ，k∈Z｝.”

通過教師介紹三角函數線的方式，學生可以以形會意，在初步學習三角函數的過程中，發現圖像和特殊節點的基礎含義，將圖像特征與代數式的計算聯系起來，從而找到數形結合中，三角函數所具備的基礎意義.同時，數學教學中，教師幫助學生提前了解函數的特質，以及介紹其在解決實際問題中的應用方法，均為至關重要，可以為學生的數學學習提供思維邏輯上的助力.

2 利用數軸單位圓，挖掘幾何意義

在數學中，單位圓是指的半徑為1，圓心位于坐標系的原點（0， 0）的圓，單位圓在數學中扮演著重要的角色，且具有特殊的性質和應用.單位圓與三角函數密切相關，不僅可以聯結復雜概念與圖形的關系，還可以為三角函數的冗雜的代數計算，找到簡潔的突破口^[2].因此，教師可以借助單位圓與三角函數數形結合的圖像，幫助學生挖掘三角函數的幾何意義.

在直角坐標系上，教師可以以單位圓的圓心為頂點，以x軸正方向為初始邊，逆時針旋轉一個角度θ，對應于單位圓上的一個點P（x， y），那么，點P的橫坐標x就是角度θ的余弦值，縱坐標y就是角度θ的正弦值，這被稱為三角函數的單位圓定義.接著，教師可以指出單位圓的方程是x²+y²=1，其中（x， y）是單位圓上的任意一點，并提醒這個方程表示所有位于單位圓上的點滿足的條件，可以用來表示角的度量.接著，教師可以引入單位圓的作用，指出單位圓也可以幫助學生理解正切函數的幾何意義，因為正切函數可以用單位圓上沿切線方向的斜率來表示，當教師在黑板上畫了一條從圓心到單位圓上某點的線段，并將該點延長至與單位圓的切線相交時，教師可以提示學生注意觀察，指出切線和x軸之間的夾角就是該點的角度.在這種情況下，點的縱坐標除以橫坐標即是該角度的正切值，通過單位圓，教師可以引領學生直觀地看到正切函數在不同角度下的增減變化.之后，教師可以為學生準備一道例題，幫助學生更好地理解單位圓與三角函數的幾何關系，教師可以提問，如果π/4＜α＜π/2，那么不等式cosα＜sinα＜tanα是否成立？此題不僅考查了學生對正弦余弦函數的定義域和值域，還考查了三角函數在單位圓中所表現出來的圖像和性質，因此，在教師的提示下，有學生提出可以用在單位圓內作出π/4＜α＜π/2內的角（見圖2），并表示出sin，cos和tan，并根據ON，MP，AT的絕對值，分析有向線段的正負情況，得出結果，證實cosα＜sinα＜tanα成立.

通過單位圓的圖形示意，學生可以更好地理解三角函數的性質、周期性以及它們與角度之間的關聯，同時，單位圓與三角函數的數形結合，還可以讓學生以清晰的方式觀察和解釋正弦、余弦和正切函數，找到數學代數與幾何意義之間的隱藏聯系，豐富學生對三角函數的認知，從而深化對三角函數的理解，并在幾何問題的求解中運用它們.

3 借助正弦余弦圖，應用實際問題

正弦函數圖像表現出周期性的振蕩，可以幫助我們研究周期性現象、震蕩和波動，余弦函數的圖像與正弦函數的圖像形狀相似，共同展示了三角函數的對稱性，諧振現象和周期性運動.并且，正弦和余弦圖像在解決三角函數問題中具備許多便利之處，可以展示三角函數的周期性、振蕩性和相位差特性，因此，教師可以引領學生觀察這些圖像，更好地理解三角函數的性質和特點，應用在實際問題中^[3].

教師可以引導學生回憶生活中的三角函數圖像，有學生思考想到了擺動的掛鐘，掛鐘上的振動可以用正弦函數來描述，當掛鐘振蕩到達極端位置時，它會以最大速度通過中心位置，并在離開中心位置時減速，再次返回中心位置.這個過程會一次又一次地重復，形成一個周期性的運動.這時，教師可以讓學生再次觀察正余弦函數圖像，學生通過觀察正弦函數圖像能夠更好地理解這種周期性運動，學生可以發現，當鐘擺通過中心位置時，正弦函數的值為0，這代表鐘擺在這一時刻沒有速度，正好處于最高和最低點之間.當鐘擺移動到最高或最低點時，正弦函數的值達到最大值，表示鐘擺速度最快.結合三角函數相關的應用題，教師可以舉例，已知函數f（x）=2sin（x）+3cos（x），其中x為弧度.求函數f（x）的最小值及對應的x值，教師可以提示，函數f（x）=2sin（x）+3cos（x）可以寫成標準的三角函數形式f（x）=Asin（x）+Bcos（x），其中A=2，B=3，為了求函數 f（x）的最小值，可以利用三角函數的性質，關注f（x）函數的最大值和最小值出現的位置，也就是關注它的圖像.在教師的提示下，有學生領悟：“經過觀察，我們可以發現，在sin（x）和cos（x）的圖像中（見圖3），sin（x）的圖像是一個周期為2π的正弦函數，最小值為-1，最大值為1，同樣，cos（x）的圖像也是一個周期為2π的余弦函數，最小值和最大值也為-1和1.因此，我們可以推斷f（x）的圖像是一個幅度不超過|A|+|B|=2+3=5的正弦函數.換句話說，f（x）的最小值就是-5，最大值是5.”不多時，另有學生補充：“接下來我們需要找出函數f（x）取到最小值時的x值，為了達到最小值，我們需要在sin（x）和cos（x）的圖像重疊的部分找到最小值，實際上，在它們兩者都取到最大值的時候，它們的和f（x）就會取到最小值.所以，我們解方程組可以得到x=π/4+2kπ，其中k是任意整數.”

通過觀察正余弦的函數圖像，教師可以從多角度介紹三角函數的周期、振幅、相位差等概念，幫助學生學會預測和分析周期性問題，解決波動、振動、頻率和相位等相關的數學問題，為學生的三角函數學習鋪墊理論性的基礎.教師也可以在具體例題中，為學生提供創新性的解法，從而鼓勵學生自主研究，深入探索三角函數在實際問題中的深刻應用.

總之，借助數形結合解決三角函數問題，可以深化學生對三角函數概念及其應用的理解，并將其與幾何形態聯系起來，這不僅能夠幫助我們發現數學中的美妙關聯，提升問題解決的能力，還可以幫助學生拓展數學思維的廣度和深度.同時，教師運用數形結合，不但可以為學生提供更多的三角函數的解題思路和方式，而且，許多三角函數的性質和定理都可以通過數學推導或證明得出，這還可以幫助學生發現更多直觀且巧妙的解題方法，簡化計算過程，提高問題解決的效率.

參考文獻：

[1] 陸敏.數形結合思想在三角函數解題中的應用[J].數理天地（高中版），2022（08）：18-19.

[2] 唐宇.談數形結合思想在三角函數中的運用[J].中學數學教學參考，2019（21）：47-48.

[3] 王順元.巧借數形結合 學習三角函數[J].山東教育，2019（08）：37-38.

[責任編輯：李 璟]