新課程背景下初高中數學教學的銜接研究

摘 要：數學運算作為六大核心素養之一，是解決數學問題的基本手段.學生在數學運算的學習中，從小學到初中，再到高中，都需要逐步更新運算對象，不斷發展運算能力，解決問題的關鍵在于能夠形成好的運算思維品質.本文從縣域初高中教學中“代數運算”的課程、教學的銜接上探究如何采取有效措施，培養中學生的數學運算能力及初高中數學如何進行有效銜接.

關鍵詞：數學運算；初高中銜接；整體性；一致性；階段性；有效性

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）30-0026-03

收稿日期：2023-07-25

作者簡介：吳加火（1982.4-），男，福建省大田人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2022年度常規課題“核心素養視角下初高中數學運算能力培養及銜接的實踐研究”（課題編號：FJJKZX22-179）;福建省大田縣 2022 年基礎教育教學研究課題“新課程背景下初高中數學課程、教學銜接研究”（課題編號：TKTZ-22003）

在2022年印發的《義務教育階段數學課程標準（2022版）》中延續了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》所倡導的數學學科核心素養^[1].數學運算作為核心素養的行為表現之一，具有整體性、一致性和階段性的特征^[2]，各個階段對運算能力的要求都有所不同，小學階段主要以數的運算為主，初中階段的運算還要求對數與式、方程與不等式、函數性質進行探討，而高中階段的運算對象具有多樣性的特征，應用的領域也更加廣泛，注重數學思維品質以及科學精神的培養.

數學運算是數學思維表現的基本形式之一，實數的運算和代數式、方程、函數中的各種運算為數學思維的運作提供了具體問題或思考素材，使初高中的數學學習可以融會貫通，都需要經歷觀察、猜想、歸納、實驗與類比等，逐步揭示出事物的本質^[3].如何將蘊含在初中數學知識中的數學思想方法提煉出來？如何在初中階段就開始培養學生適應高中數學教學的學習習慣和思維方式？高中階段又該如何將初中數學運算作為新知識教學的“生長點”？等等.關于初高中教學銜接的這些問題是值得我們深入思考和研究的.本文擬以“代數運算”為切入點，探究實現初高中數學銜接的有效教學途徑和方法.

1 關于初高中代數式結構識別的對比

數學的運算符號具有高度的抽象性，要能深刻理解它的內涵需要讓學生獲得足夠的數學活動體驗^[4].

在符號運算過程中，通過識別數學關系揭示符號運算的本質，并將發現的數學關系用符號表示出來，逐步形成歸納和演繹的數學思考方式.初中教材直觀性強，課后習題變化小，內容坡度緩，足夠多的例題有利于教師引導學生抽象出研究對象的關系，并用符號建立相應的數學模型^[5].高中階段的教材概念較多，使用的符號也多，有著嚴格的定義，又要求嚴格論證，之所以初高中脫節主要集中在數學學習過程中，學生只重視結論性知識的運用，而忽略結論推導中的過程性知識.

筆者在本縣縣域選取了多所初高中校，到各年級中抽取部分學生（生源分布在鄉鎮和城區，質量有高有低），以下是采用問卷調查的方式獲得關于符號理解的調查結果.

能夠準確知道“√?2”是2的平方根，初中為75.3%，高中為88.2%；

能夠準確知道“-√?2”是2的平方根，初中為52.8%，高中為79.1%；

能夠說出“sinθ、cosθ、tanθ”所表示的邊角關系，初中為43.5%，高中為56.7%；

從以上調查的部分結果可以看出：初高中生在理解運算符號的意義上存在一定的差距，初中的符號識別及運用法則進行計算相對較弱，高中生的相對較強.

2 關于初高中代數運算課程及教學的對比

高中階段的數學代數運算是初中數學代數運算的延續，雖然內容有所不同，但基本運算思想還是共通的^[6].

初中階段，學生在七年級有了整式的四則運算、多項式與多項式相乘的鋪墊，在八年級又經過將有理數系的擴充到實數系的準備，逐步過渡到九年級認知方程根與系數的關系，獲得對方程本質的感悟，最后在高中階段的函數與方程、解析幾何等問題的解決中領悟“代數方法解決幾何問題”的數學方法.

初中階段中對負數意義的感悟可以從這兩個角度：一是現實中具有相反意義的兩個量；二是數學加減運算的封閉性^[7].初中階段對整式的乘法法則的解釋是采用幾何直觀的方式，從觀察示圖、做一做、想一想逐步過渡到以演繹為主的推理，發現或構建數學符號結構中的幾何意義，初步感悟數形結合的思想.

初中階段是指數運算法則的推導及運用的準備和鋪墊.高中階段，在指對數運算的教學中，構建現實問題情境，從而引出對數運算的需求.這個過程突出了初高中數學代數運算的銜接關系，讓學生感悟兩種運算之間的可逆轉換關系，然后運用類比特定對象的教學方式得到了對數的運算法則.這是對初中數學代數運算的進一步深化，既體現了從問題情境中抽象出核心變量及變量間的關系，并要求能用數學符號予以表達，也體現了初高中課程、教學銜接的發展與變化.

3 核心素養落實貫穿于初高中數學教學的整個過程

數學學科核心素養的培養過程是一個持續不斷、前后聯系的過程^[8].初中階段的數學教學要為發展學生數學學科核心素養打下一定的基礎，儲備一定程度的數學知識，積累一定的數學活動經驗，創造有利于培養高中階段數學學科核心素養的條件.新課程標準中提到：“通過經歷獨立的數學思維過程，理解概念和法則的發生與發展，合乎邏輯地解釋或論證數學規律，經歷數學‘再發現’的過程”^[9].

3.1 在探究概念和法則的形成過程中落實邏輯推理、數學抽象素養

代數運算的主要內容是運算法則的形成與運用，為有效落實邏輯推理、數學抽象素養，可以采取歸納的教學方式.

3.2 在代數運算教學中發展數學抽象、數學運算和直觀想象素養

實踐表明，引導學生探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律，讓學生經歷逐級抽象的過程，可以發展數學抽象、數學運算和直觀想象素養.對于一元一次方程、一元一次不等式與一次函數的關系探究中，要著眼于對關系的理解，盡可能采用多種表達方式，比如圖象語言、符號語言或者自然語言，讓學生逐步認識到三者之間的內在聯系.

3.3 在代數運算的綜合運用的教學中培養學生初步的數學建模素養

初中階段“代數運算”中包含的幾個重要數學模型有：整式運算模型、分式運算模型、一元一次函數模型、拋物線模型等.高中階段“代數運算”中包含的幾個重要數學模型有：指數函數模型、對數函數模型、三角函數模型、數列模型等模型.教學中應讓學生經歷建模、求解、驗證、反思完整的數學建模過程，逐步培養學生的數學模型觀念^[10].

初高中的銜接，即將學生在初中階段已經積累的知識體系有機融入到高中階段新的知識體系中，銜接的內容應結合數學建模這一核心素養的發展性、持續性和階段性的特征.

4 寫在最后

通過比較初高中課程、教學中關于代數運算的內在聯系，初高中的數學知識之間有著逐級上升、由具體到抽象的變化過程.筆者認為，要有效實現初高中數學代數運算課程、教學的銜接應當注意以下幾點.

4.1 注重代數運算課程內容的整體性和一致性分析

初高中代數運算課程內容具有整體性和一致性的特征，應分析課程內容的本質特征、相關內容的內在聯系、關鍵概念及核心素養.算理是算法的理論依據，算法是算理的實踐策略，強化算法和算理的理解，掌握正確的算理，形成合理的算法.

4.2 重視代數運算教學目標中核心素養的達成

教學目標要特別重視核心素養的達成，運算法則是代數運算的核心內容，在知識形成的發生、發展過程中促進學生數學推理和數學抽象素養的發展.

4.3 突出代數運算核心概念的深度學習

2022年版新課標指出：“聚焦核心概念的關鍵內容的深度學習，深刻理解掌握所學內容，形成相關的核心素養，……”“位值制、計數單位、相加、相等、運算律……”等這些數學運算的核心概念是中學數學知識的重要基礎，是能將跨主題、跨學科內容聯系在一起的有利工具，核心概念的理解要貫穿初高中數學運算教學的始終.

4.4 關注學生獲得深度探究的代數運算活動經驗

通過選擇貼近學生生活實際的問題情境，幫助學生充分認識運算對象，提升轉化能力和意識，經歷觀察、猜想、歸納、實驗與類比等或者推理，將生活經驗轉化為數學活動經驗，逐步發展數學抽象、直觀想象、數學建模素養，提升抽象能力、建模能力和運算能力.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 中華人民共和國教育部.義務教育課程標準（2022年版）課例式解讀初中數學[M].北京：高等教育出版社，2022.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2020年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[4] 孔凡哲，史寧中.中國學生發展數學核心素養概論[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

[5] 章建躍，陶維林.注重學生思維參與和感悟的數學概念教學[J].數學通報，2009（6）：19-24，30.

[6] 章建躍.整體性、系統性思維與核心素養[J].中小學數學（高中版），2016（10）：65-66.

[7] 鄧勤.新課程背景下初高中數學教學的有效銜接[J]，數學通報，2011（2）：33-35.

[8] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[9] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2022.

[10] 李平香，林晴嵐.立足教材，落實核心素養[J].中國數學教育，2018（10）：32-37.

[責任編輯：李 璟]