頻域子結構方法再推導及環境預示應用研究

陳江攀

（北京電子工程總體研究所，北京 100854）

導彈裝備在飛行過程中將承受由發動機推力脈動、噴氣噪聲以及氣動噪聲等誘發的振動環境，由于該環境具有寬頻帶、高強度、隨機性大等特點，是導彈裝備壽命期內遇到的極為嚴酷的環境之一[1-2]。恰當制定隨機振動環境條件，對于導彈裝備的環境適應性設計和地面驗證至關重要，條件過低會導致裝備難以承受實際飛行環境，進而造成飛行失敗，條件過高會導致裝備研制難度、周期以及研制經費等增加[3-4]。對于新研型號，由于不確定的因素很多，而可參考的數據又相對匱乏，因此在設計階段基于仿真技術開展環境預示，以獲取彈上典型部位的隨機振動響應，對于導彈裝備隨機振動環境條件的合理制定具有一定的參考價值。

導彈裝備結構系統十分復雜，其離散后的有限元模型規模龐大，直接進行仿真分析的計算效率較低。頻域子結構方法（FRF-based Substructuring Method，FBSM）的提出與發展有效解決了復雜結構頻響函數的計算效率問題，該方法自經提出先后經歷了阻抗耦合方法[5]、導納耦合方法[6]、廣義導納耦合方法[7]和考慮彈性連接的廣義導納耦合方法[8-10]。FBSM 的方法原理為：首先，根據分析需求和結構特征，將整體結構劃分成若干子結構；然后，通過試驗測量或仿真計算，獲得各子結構的頻響函數；最后，通過引入界面力平衡和位移協調條件，將各子結構的頻響函數進行耦合，獲得整體結構的頻響函數。由于各子結構可忽略高階模態影響，利用模態疊加法計算帶內頻響函數，因此 FBSM 可在滿足實際工程應用精度需求的前提下，顯著提升計算效率[11]。此外，FBSM 還具有以下優點：1）若某子結構需進行結構優化，則只需獲得該子結構優化后的頻響函數，即可利用FBSM 與其他子結構重新耦合獲得優化后整體結構的頻響函數；2）各子結構可由不同單位分別進行設計、分析與測試，最后交由總體單位進行耦合分析，符合導彈裝備的研制特點；3）FBSM 的輸入為各子結構的頻響函數，對獲取頻響函數的試驗方法或仿真分析平臺等不作限制[11-12]。需要說明的是，利用FBSM 進行子結構耦合獲得的是位移頻響函數，而工程中隨機振動環境預示通常需要利用加速度傳遞函數[13]，故亟需開展位移頻響函數與加速度傳遞函數之間的轉換關系研究。

文中首先基于 SMW（Sherman-Morrison-Wood bury）公式對考慮彈性連接的FBSM 進行了重新推導，形成了適用范圍更廣的表達形式。然后，根據線性系統的振動方程推導獲得了復雜結構系統的位移頻響函數與加速度傳遞函數之間的轉換關系，并據此進一步研究形成了基于FBSM 的隨機振動環境預示方法。最后，通過設計仿真算例對文中研究方法進行了仿真驗證。論文所得結論可為復雜結構系統的隨機振動環境預示提供一定的幫助。

1 考慮彈性連接的FBSM 再推導

1.1 現有方法推導

考慮彈性連接的FBSM 要求將所有子結構和所有彈性連接分別當作一個子結構系統和一個彈性連接系統進行處理[11]，如圖1 所示。其中：w和分別為整體結構和子結構系統的內部自由度；u和v、分別為整體結構、子結構系統、彈性連接系統的界面自由度。

根據結構動力學原理，圖1 所示的子結構系統和彈性連接系統的位移頻響函數矩陣和位移阻抗矩陣分別為：

式中：x、f、H、Z分別為位移向量、力向量、位移頻響函數矩陣、位移阻抗矩陣。子結構系統耦合前后，其內部自由度保持不變，見式（3）。同時，引入界面自由度位移協調和力平衡條件，分別見式（4）和式（5）。

由此可得：

將式（7）代入式（6），并整理成矩陣形式可得：

進一步，將式（3）—（5）代入式（1），并整理可得：

此時，將式（8）代入式（9）并進行整理，即可獲得整體結構的位移頻響函數矩陣HX的表達式為：

上述即為現有考慮彈性連接的FBSM 的推導過程。由式（10）可知，該方法無法直接用于處理具有奇異性位移阻抗矩陣彈性連接系統的子結構耦合問題。

1.2 基于SMW 公式再推導

利用圖1 所示的示意圖，首先對式（2）中彈性連接系統的位移阻抗矩陣～Z作如下變換：

式中：ZB為變換后矩陣；P和Q均為變換矩陣；I為單位矩陣。將式（11）代入式（2）并整理可得：

又由式（1）、（3）—（5）可得：

進一步，將式（12）代入式（13）并整理可得：

此時，根據結構動力學原理，可得整體結構的位移頻響函數矩陣HZ：

觀察式（15），其右端與SMW 公式具有相同的表達形式。SMW 公式為[10]：

SMW 公式要求矩陣M和矩陣N均為矩形矩陣，矩陣B為非奇異矩陣[14-15]。由式（11）可知，式（15）中的矩陣P和Q均為矩形矩陣，但矩陣是否為奇異取決于彈性連接系統的動力學特性。為了滿足SMW 公式要求，對矩陣進行奇異值分解：

式中：矩陣Δ為矩陣的正奇異值對角陣，為非奇異矩陣；矩陣U和矩陣V均為正交矩陣。將式（17）代入式（15）并整理可得：

式中：矩陣PU和矩陣VTQ均為矩形矩陣，矩陣Δ為非奇異矩陣，滿足SMW 公式要求。因此，基于SMW 公式可得整體結構的位移頻響函數矩陣HZ的表達式：

上述即為基于SMW 公式考慮彈性連接的FBSM的再推導過程。雖然推導結果與式（10）所示現有方法具有相似的表達式，但通過對比不難看出，文中基于SMW 公式的再推導方法具有以下3 個方面的優勢：1）無論彈性連接系統的位移阻抗矩陣是否奇異，該方法均可直接用于處理子結構耦合問題；2）當彈性連接系統的位移阻抗矩陣奇異時，參與求逆運算的矩陣階數相對更低，具有更高的計算效率；3）推導過程更為簡潔，不涉及大量的矩陣運算。

2 隨機振動環境預示應用研究

對于線性系統的隨機振動，在基礎激勵作用下的加速度響應計算公式為[16-20]：

式中：下標a和b分別為激勵自由度和響應自由度；Sb（ω）為激勵自由度的加速度激勵功率譜密度；Sa（ω）為響應自由度的加速度響應功率譜密度；Gab（ω）為激勵自由度與響應自由度之間的加速度傳遞函數矩陣；ω為角頻率。加速度傳遞函數矩陣Gab（ω）可通過線性系統在加速度基礎激勵作用下的振動方程推導獲得：

式中：M、C、K分別為線性系統的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣分別為加速度向量、速度向量、位移向量。對式（21）進行展開并整理可得：

對式（22）兩端同時進行傅里葉變換[21]并整理可得：

根據結構動力學原理，線性系統的位移頻響函數矩陣和位移阻抗矩陣的計算公式為[21]：

將式（25）代入式（24）并整理可得：

式中：Hgz（ω）和Hzy（ω）分別為線性系統在激勵自由度為固支狀態和自由狀態下的位移頻響函數矩陣；Zab（ω）為線性系統在激勵自由度為自由狀態下的響應自由度與激勵自由度之間的位移阻抗矩陣。

對于復雜結構系統，為了提高計算效率，位移頻響函數矩陣Hgz（ω）和Hzy（ω）均可通過FBSM 計算處理獲得。綜上所述，基于FBSM 的隨機振動環境預示方法如圖2 所示。

圖2 基于FBSM 的隨機振動環境預示方法Fig.2 Environment prediction method for random vibration based on FBSM

3 算例仿真驗證

3.1 有限元建模

為了驗證基于FBSM 的隨機振動環境預示方法的可行性，設計了如圖3 所示的仿真算例。該算例由子結構A、子結構B 和子結構C 通過2 個完全相同的彈性連接裝配組成，3 個子結構均為空心圓柱體，除長度不同外，其他參數均相同。在子結構A、B 上沿X軸分別均布有3、5 個結點，在子結構C 的兩端各布置有1 個結點。模擬實驗室隨機振動試驗，振動工裝的裝卡位置為結點5 和結點7，激勵方向為Y軸，即振動臺的隨機振動激勵通過振動工裝作用于結點5和結點7 的Y軸平動自由度，邊界條件為結點5 和結點7 的其他自由度固支，振動譜型如圖4 所示。

圖3 仿真算例Fig.3 Simulation example

圖4 隨機振動激勵譜型Fig.4 Excitation spectrum of random vibration

利用有限元軟件MSC/Patran 對圖3 所示仿真算例模擬實驗室隨機振動試驗狀態進行有限元建模，其中，3 個子結構利用圓環截面梁單元建模；彈性連接利用無質量圓形截面梁單元等效模擬[22-24]；模型外建立1 個獨立結點，并在結點5 和結點7 與獨立結點之間分別設置MPC/Rigid 約束；隨機振動激勵沿獨立結點Y軸平動自由度施加，獨立結點的其他5 個自由度均設置為固支約束。具體有限元模型如圖5 所示，模型參數見表1。

表1 仿真算例有限元模型參數Tab.1 Finite element model parameters of simulation example

圖5 仿真算例有限元模型Fig.5 Finite element model of simulation example

3.2 隨機振動環境預示

分別利用有限元軟件MSC/Nastran 和基于FBSM的隨機振動環境預示方法對仿真算例模擬實驗室隨機振動試驗狀態下8 個結點（不包括激勵結點5 和激勵結點7）的Y軸平動自由度的隨機振動響應進行了仿真預示和計算預示。仿真預示直接利用有限元軟件對圖5 所示有限元模型進行計算。在利用FBSM 進行計算預示時，子結構系統和彈性連接系統的模態信息和物理參數均通過圖5 所示有限元模型計算獲取。其中，由于無質量圓形截面梁單元的剛度矩陣為奇異矩陣，故彈性連接系統的位移阻抗矩陣也具有奇異性[11]，但可利用文中基于SMW 公式再推導獲得的FBSM 直接進行耦合分析，體現了該方法的優越性。仿真預示和計算預示結果的對比情況如圖6 所示，實線為隨機振動激勵譜型，點劃線為有限元軟件仿真預示結果，虛線為基于FBSM 的計算預示結果。由圖6 可知，基于FBSM 的計算預示結果與有限元軟件的仿真預示結果一致，表明文中所提基于FBSM 的隨機振動環境預示方法正確可行。

圖6 隨機振動環境預示結果對比情況Fig.6 Comparison of prediction results of random vibration environment: a) node 1;b) node 2;c) node 3;d) node 4;e) node 6;f) node 8;g) node 9;h) node 10

4 結論

1）基于SMW 公式，對考慮彈性連接的FBSM進行了重新推導，解決了現有方法無法直接處理具有奇異性位移阻抗矩陣彈性連接系統的子結構耦合問題。

2）推導獲得了復雜結構系統的位移頻響函數與加速度傳遞函數之間的轉換關系，并據此形成了基于FBSM 的隨機振動環境高效預示方法。

3）設計了“模擬實驗室隨機振動試驗”的仿真算例，仿真驗證了文中方法的正確性，對于裝備的隨機振動環境預示具有參考意義。