低周疲勞下加筋板裂紋擴展行為有限元分析

金思遠，楊 平1,，胡 康，彭子牙

(1.高性能船舶技術教育部重點實驗室(武漢理工大學)，湖北武漢 430063；2.武漢理工大學船舶與能動學院，湖北武漢 430063)

0 概述

在生產加工過程及惡劣氣候的影響下，加筋板的局部難免會出現裂紋損傷，當循環載荷持續作用時，裂紋將會逐步發生擴展，從而造成結構的承載能力降低，最終結構發生整體失效。因此當加筋板出現裂紋損傷時，選擇一種合適的裂紋擴展方法來預測擴展行為及壽命在實際工程中具有重要意義。Feng 等[1]通過加筋板(板和加筋條上均有預制裂紋)疲勞試驗發現板上的裂紋擴展速率高于筋條的裂紋擴展速率，并且板與筋條上的裂紋擴展有很高的相關性。張濤等[2]進行了加筋板的止裂試驗，結果表明加強筋的合理布置能有效降低裂紋尖端應力強度因子，一定程度上阻止裂紋擴展。劉燕紅等[3]進行了拉伸載荷下的含邊裂紋的單加筋板的疲勞裂紋擴展試驗，裂紋在經過筋條及板時，裂紋擴展速率較低，當筋板啟裂后等應力狀態下，裂紋擴展速率加快。董琴等[4]對加筋板進行了理論與數值分析，分別研究了筋條剛度和筋條間距對裂紋尖端應力強度因子的影響。李恒等[5]采用擴展有限元方法模擬了骨材I型和I-II 型動態裂紋擴展，研究表明I型裂紋斷裂能減小，且擴展速度快。I-II 型開裂發現裂紋與骨材垂向中心線距離減小或初始長度增加，裂紋起裂時間變早且整體發展路徑偏離裂尖初始方向程度減小。姜薇等[6]基于VCCT 裂紋虛擬閉合技術并利用3d-VCCT疲勞單元對加筋板進行了裂紋擴展分析及壽命評估。該方法的運用對于評估大型結構疲勞壽命有一定指導作用。

低周疲勞循環載荷下，裂紋尖端會發生大規模的屈服，需要建立動態裂紋擴展有限元模型。因此采用節點釋放的方法模擬加筋板的裂紋擴展，并考察裂紋長度對應力應變場的影響，同時也考慮了累積塑性應變、裂紋閉合效應及裂紋張開位移的影響。節點釋放法能夠研究低周疲勞載荷下不同的裂紋長度所對應的裂尖應力和位移場、殘余應力分布、閉合參數等規律變化。在裂紋擴展中，節點釋放的時機也有許多研究，綜合考慮材料本構模型的特點以及收斂性，選擇在最小載荷處釋放節點，即裂紋向前擴展一個單元。通過對加筋板裂紋擴展系列行為的研究，為進一步的研究船體結構疲勞裂紋擴展機理提供一定指導作用。

1 理論分析

1.1 應力和位移場

為了研究加筋板的斷裂性能，加筋條的影響可以轉化為剪力的作用施加在平板上，基于此種假設其受力狀態可以簡化為承受均勻拉力和剪力，二者進行疊加即為加筋板的受力狀態，如圖1所示。為便于分析，加筋條與板相互作用的切向力Qj離散為有限數量的N個節點處，這樣只需要考慮這些節點處的剪力即可。

圖1 加筋板理論簡化模型Fig.1 Simplified theoretical model of stiffened plate

對于承受均勻拉力σ的板，加筋條作用位置處第i點引起的位移可以由Paris[6–7]公式表示為：

對于承受剪力Qj的板，其位移公式可表示為：

1.2 累積塑性應變理論

疲勞損傷破壞本質上與損傷力學的理論保持一致，是一種能量耗散的過程。其中基于累積損傷的損傷變量方程可以表示為[7]：

式中：b為材料特性參數；RV為三軸應力比；E為彈性模量；D為損傷變量；S0為材料特性參數，依賴于試驗溫度；σ為外載荷；為累積塑性應變率。

式中：K和m為 材料特性參數，由疲勞試驗確定。

加筋條的影響可以轉化成一種系數附加在板上，從而來研究加筋板的累積塑性損傷。Fujikubo[8]提出了加筋條影響系數ky的表達式：

式中：tw為加筋條厚度；t為帶板厚度；d的取值與加筋板的類型有關，其表達式為：

將式(2)代入式(1)中，然后再將式(3)并入式(1)中，則加筋板的累積塑性損傷模型可以表示為：

當低周疲勞循環次數為N時，低周疲勞損傷演化方程可表示為：

式中，NF為低周疲勞完全破壞的次數。

在一個周期的循環載荷作用下，軸向塑性應變可以認為是在一個周期的加載端所造成的(σmin →σmax)[9]，因此需對該加載階段塑性應變進行積分，結合式(6)和式(12)及邊界條件的影響，則加筋板的累積塑性應變可以表示為：

式中：σmin為最小載荷；σmax為最大載荷； ε0為加筋板的初始塑性應變； εF為加筋板發生累積破壞時的軸向塑性應變。

1.3 裂紋擴展及閉合效應

在循環載荷的作用下，裂紋會逐步發生擴展，裂紋的尾跡區會留下殘余塑性變形，當載荷卸載時，殘余塑性變形引起的殘余壓應力會使得裂紋提前發生閉合。裂紋面發生閉合從某種程度上可以看作是承擔了部分載荷，這將會導致裂紋尖端參數，比如應力強度因子K、裂紋尖端張開位移CTOD等發生一定程度的衰減，從而降低裂紋擴展速率。因此考慮裂紋閉合效應可以更加精確評估疲勞裂紋擴展壽命。

Elber 于1971年提出了裂紋閉合理論，采用裂紋閉合參數U表示裂紋閉合的水平，在一個載荷循環周期內，裂紋閉合參數U可以表示為：

式中：σop 為張開載荷，其大小表征裂紋擴展驅動力。U值越大，裂紋閉合效應越小，U值越小，裂紋閉合效應越大。

由于高應力循環載荷的影響，應力強度因子可能在預測擴展行為方面存在一定的缺陷，因此采用以裂紋張開位移COD為控制參量表達裂紋擴展速率，其表達式為[53]：

式中：b，p為材料參數，由試驗確定。而COD作為低周疲勞載荷下加筋板裂尖的非線性斷裂參數，與外載荷、筋條剛度β=EsAs/EBt0、裂紋長度2c/a存在一定的函數關系為：

因此確定了式(16)的函數關系，就可以推導出基于最大張開位移的加筋板裂紋擴展速率近似評估公式。

2 有限元分析

2.1 幾何模型

加筋板模型是由2根筋條與平板焊接而成，模型選取采用試驗模型，數據采集范圍選為試驗模型的有效試驗段，具體尺寸如圖2所示。為了研究不同類型的筋條對裂紋擴展過程的影響，設計筋高5～15 mm，雙筋間距70～90 mm 等幾種不同剛度的工況。

圖2 加筋板試驗件模型Fig.2 Stiffened plate test part model

2.2 有限元模型及邊界條件

加筋板有限元模型由板和加筋條組合而成，有限元模型采用四節點減縮積分單元進行模擬。由于模型具有對稱性，因此建立1/2加筋板模型。為了較為準確反映裂紋的擴展行為，比如應力應變場，裂紋閉合效應等，裂紋擴展區域采用細化網格，網格尺寸大小為0.05 mm。該細化網格采用python 程序進行劃分處理，而在遠離裂紋擴展區域的網格則采用逐步稀疏的網格模擬，提高計算效率。模型的邊界條件為：右端施加固定約束，約束x，y，z三個方向的線位移，模型的下端施加對稱邊界條件Uy=0，模型的左端施加力載荷F。有限元模型及邊界條件如圖3所示。

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

2.3 材料模型

材料模型以AH32高強度船用鋼作為分析對象，材料屈服強度為 σs=375 MPa，彈性模量E=206 GPa。因為研究的是低周疲勞裂紋擴展，裂紋附近處于高應力的狀態，線彈性模型已經無法滿足研究需求，故分析時采用Chaboche 組合模型。主要原因是該模型能較好模擬材料在循環加載時的Bauschinger 效應，描述裂紋尖端區域由于非對稱循環載荷引起的累積塑性現象及應力松弛效應。關于材料模型的參數確定，通過與試驗得到的曲線擬合，采用數值分析和最小二乘法相結合進行分析，從而近似得到相關參數。模型的具體參數如表1所示。

表1 Chaboche 組合模型材料參數Tab.1 Chaboche combination model material parameters

2.4 收斂性驗證

2.4.1 循環次數的影響

對于加筋板裂紋擴展模型而言，循環次數的大小對裂紋擴展有一定影響，在外載荷Fmax=130 k N，R=0.1，間距d=70 mm，筋高h=15 mm 的條件下，研究不同循環次數n=2,3,5時裂紋擴展行為的變化。

從圖4可知，隨著循環次數的增加，張開載荷會降低，閉合參數會增大，裂尖閉合效應降低。由于Chaboche組合模型的影響，在每一次循環載荷的作用下，裂尖尾跡區的殘余壓應力場都會被一定程度抵消釋放，這也就導致了裂紋面下一次張開的載荷減小，從而裂紋閉合效應減弱，裂紋擴展速率增大。總之，循環載荷對裂紋閉合效應存在某種消除作用。

圖4 循環次數的影響Fig.4 The impact of the number of cycles

2.4.2 裂紋擴展單元尺寸的影響

裂紋擴展單元對裂紋擴展也存在不可忽略的影響。在外載荷Fmax=130 kN，R=0.1，間距d=70 mm，筋高h=15 mm 的條件下，研究不同的裂紋擴展單元尺寸L0=0.025 mm，0.05 mm，0.075 mm 對裂紋擴展行為的影響。

從圖5可以看出，隨著擴展單元的增大，裂紋閉合參數減小，裂紋閉合效應增強。在相同的裂紋長度情況下，擴展單元越大，載荷循環的次數越小，對裂紋尖端尾跡區殘余壓應力場抵消能力減弱，而擴展單元越小，若要擴展到相同的裂紋長度，則需要更多的循環次數。這就導致尾跡區的殘余壓應力場被較大程度的抵消，從而減弱了裂紋效應，提高了裂紋擴展速率。

圖5 裂紋擴展單元的影響Fig.5 The impact of the crack expansion unit

此外，還可以看出，裂紋擴展單元的增大，張開載荷和閉合參數差距開始減小，結果開始趨于收斂。

2.5 結果分析

2.5.1 裂紋尖端尾跡區殘余壓應力場分析裂紋尖端的應力場是反映裂紋擴展行為的重要參量，其大小影響著裂紋的擴展速率。為了較好理解殘余壓應力場，選取不同時刻和裂紋擴展長度理解殘余壓應力場的演變過程。在演變過程中，尾跡區的殘余壓應力場大小可以看作是裂紋尖端尾部的裂紋面上的壓應力值之和。

從圖6可知，不同時刻的裂尖應力場不同。在最大載荷時刻處，裂尖后的壓應力場很小，裂尖前的正應力達到最大，此時裂紋面完全張開。隨著載荷卸載，裂尖前的應力逐漸減小，當載荷完全卸載到0時，裂紋尖端附近出現了較大的壓應力場，這直接導致裂紋面發生閉合現象。

圖6 不同時刻的裂尖附近應力場分布Fig.6 The distribution of Yinglifield near the tip of different moments

此外，對不同裂紋擴展長度下的殘余壓應力場也進行了探討。如圖7所示，裂紋擴展長度Δa=2.5 mm時的殘余壓應力場最大，Δa=1.5 mm 的殘余壓應力場次之，Δa=0.5 mm 的殘余壓應力場最小。可知，裂紋閉合效應的強弱與殘余壓應力場的規律基本一致，殘余壓應力場越大，U值越小，閉合效應越強。

圖7 不同裂紋擴展長度下的殘余壓應力場分布Fig.7 Different crack expansion length of residual pressurestress field distribution

2.5.2 裂紋尖端累積塑性應變分析

裂紋尖端累積塑性應變反映裂尖應變場的強弱，累積塑性應變越大，表明裂紋越易發生裂紋擴展。在低周疲勞載荷影響下，累積塑性應變的研究顯得十分重要。

由于Chaboche本構模型的作用，因此在應力卸載到0時，裂紋附近存在殘余應變。隨著殘余應變的不斷累積，最終導致裂紋發生擴展，裂紋尖端的累積塑性應變曲線如圖8(c)所示。為了進一步理解裂紋尖端塑性應變的分布，提取不同裂紋擴展長度的路徑上的塑性應變。如圖8(a)所示，當載荷卸載完成時，不同裂紋長度的裂尖尾部及前段存在一定的殘余塑性應變，且裂紋長度越長，其影響范圍也越廣。在最大載荷時刻，裂尖前端的塑性應變較大，影響程度與最小載荷時刻有明顯區別，如圖8(b)所示。與此同時可以發現，在靠近預制裂紋尖端附近，塑性應變較大，這主要與材料的硬化有關。為了理解裂紋擴展過程中，不同裂紋尖端的累積塑性應變的變化規律，本文提取了不同裂紋擴展長度下的累積塑性應變值，如圖8(d)所示。可以發現，隨著裂紋長度的增加，累積塑性應變值會先降低，然后趨于平緩，逐步上升。至于前期出現較大的累積塑性應變值，這可以用圖8(a)和圖8(b)出現的規律解釋。

圖8 累積塑性應變分布Fig.8 Cumulative plastic strain distribution

2.5.3 裂紋張開位移分析

裂紋張開位移的變化能比較直觀反映裂紋閉合的狀態。為了探究這種變化規律，在外載荷Fmax=130 kN，R=0.1，筋高h=15 mm，間距d=70 mm 的條件下，研究不同裂紋長度下的張開位移變化規律，如圖9為最小與最大載荷處的裂紋張開位移分布曲線。

圖9 裂紋張開位移分布Fig.9 Rapture Tienca Rotary Distribution

可以看出，當載荷卸載到0時，裂尖尾部發生了部分閉合，即裂紋面發生了部分接觸，其中裂紋擴展長度Δa=0.5 mm，1.5 mm，2.5 mm 對應的裂紋閉合長度分別為0.25 mm，0.55 mm，0.95 mm。可以看出裂紋閉合效應在逐漸增強，這種位移變化曲線能很好解釋裂紋擴展過程中的閉合行為。而在最大載荷處時，裂尖尾部的位移變化分布大致相同，但由于裂紋擴展長度的不同，僅靠近裂紋最大張開位移的區域有所不同。

2.5.4 加筋條剛度對加筋板裂紋擴展的影響

加筋條的剛度對加筋板的止裂性能有顯著影響，直接表現為對加筋板裂紋擴展中的系列裂尖非線性參數產生影響，從而影響裂紋擴展性能。保持加筋板外載荷條件不變的情況下(最大外載荷Fmax=130 kN，應力比R=0.2)，從加筋板的間距和筋高度兩方面展開探討，著重研究加筋條對張開載荷、閉合參數、殘余壓應力場等的影響。

2.5.4.1 加筋條高度的影響

為了研究加筋條高度的影響，在保持筋間距d=70 mm，筋厚度t0=3 mm 不變的條件下，探討不同筋高(h=10 mm，15 mm，20 mm)的影響。

1）筋條高度對加筋板張開載荷的影響圖10(a)為張開載荷的變化曲線。可以看出，隨著加筋條高度的增加，張開載荷增加，裂紋擴展速率降低，說明筋條高度的增加能有效增強加筋板的斷裂性能。

2)筋條高讀對加筋板裂紋閉合參數的影響圖10(b)為閉合參數的變化曲線。可以看出，隨著加筋條高度的增加，裂紋閉合參數降低，裂紋閉合效應增強，并且筋條高度越高，閉合參數后期越趨于平穩，這主要是由于裂紋區域的剛度增大導致的。

3)筋條高度對加筋板累計塑性應變以及殘余應力場的影響圖10(c)和圖10(d)表明，筋高的增加會使不同裂紋長度下的裂紋尖端累積塑性應變降低，同時殘余壓應力場也增強，閉合效應增強，這是導致裂紋擴展速率較低的主要原因。

圖10 筋條高度的影響Fig.10 The impact of height

2.5.4.2 加筋條間距的影響

加筋條間距對裂紋擴展也有一定的影響，為了探究這種影響，本文在保持筋高度h=15 mm，筋厚度t0=3 mm 不變的條件下，對3種不同的加筋條間距(d=70 mm，80 mm，90 mm)進行探討。

1）間距對加筋板張開載荷的影響圖11(a)為間距對張開載荷Pop的影響曲線。可以看出，間距越大，張開載荷越小。

2）間距對加筋板閉合效應的影響圖11(b)為間距對裂紋閉合參數U的影響曲線。間距越大，閉合參數越大，閉合效應越弱，裂紋擴展速率越大。

3）間距對累計塑性應變的影響從圖11(c)可以看出，間距的增大使得裂紋區域的結構剛度有一定程度的下降，這就導致了裂紋尖端累積塑性應變的增加。

4）間距對加筋板殘余應力場的影響圖11(d)表明，筋間距的增加使得殘余壓應力場有微弱的減小，但總體上并不明顯。

圖11 筋條間距的影響Fig.11 Impact of Bar Spacing

相對比與筋條高度，筋條間距的影響整體上相對較小，明顯低于筋高的影響。

3 結 語

對低周疲勞載荷下不同筋高度、筋間距的加筋板進行了裂紋擴展進行分析后，得到以下結論：

1）筋條在加筋板擴展過程中起到了很好的止裂作用。具體表現在同種載荷工況下，筋條的存在能一定程度增強裂紋尖端的殘余壓應力場，使得裂紋的閉合效應增強，從而降低裂紋擴展速率。同時由于筋條的影響，使得加筋板裂紋區域的剛度增加，導致其在循環載荷的作用下裂紋尖端的累積塑性應變相對于板的整體減小。

2）對于加筋條的剛度來講，筋條的高度越大，構件的整體剛度越大，斷裂性能越好。筋條的高度越高，可以增強殘余壓應力場，導致閉合效應增強，裂紋尖端的累積塑性應變也減小，從而降低裂紋擴展速率。

3）筋條的間距影響相對以上因素較小，間距的增大使得裂紋附近的結構剛度降低，閉合效應減弱，裂紋擴展速率增加。