讓數學課堂更多一些理性
——加強學生理性思維培養的幾點設想

江蘇省南通市通州區平潮初級中學 (226361) 陸春霞

理性思維是指以概念、判斷和推理為基本形式的思維,是建立在證據和邏輯推理基礎上的一種思維方式．初中階段數學課程從算術轉向代數、從常量走向變量、從直觀實驗過渡到嚴密抽象的邏輯推理,是培養學生思維從感性認知走向理性發展的關鍵時期．2022年版《義務教育數學課程標準》指出“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進人的智力發展中發揮著不可替代的作用”,并從“用數學的思維方式思考現實世界”的層面對初中學生理性思維的培養提出了具體要求．作為學生核心素養的重要組成部分,廣大一線初中數學教師必須對理性思維的培養引起足夠的重視．那么,落實到操作層面,如何在數學課堂教學中加強初中學生理性思維培養呢?筆者認為可以從以下幾個方面著手:

一、引導學生探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律,經歷“再發現”的思維過程

數學是對客觀世界(自然現象或現實情境)的抽象反映．抽象的過程是一個去偽存真、去粗存精的提煉過程,數學規律的發現本身就蘊含著理性的思考．因此,在教學中引導學生探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律,經歷“再發現”的思維過程是培養學生理性思維的極佳載體．

比如,在講授人教版《數學 七年級上》§1.3.2中“有理數的減法法則”時,可以先借助具體情境:北京某天的氣溫是4°C～10°C,這一天北京的溫差是多少?接著追問:若北京某天的氣溫是-2°C～4°C,這一天北京的溫差又是多少?學生潛意識中會很快地給出答案:溫差是6°C．再追問:為什么也是6°C?你是怎么得到的?學生會在數軸上畫出對應的點給“數”出來．這時,話鋒一轉,溫差就是最高氣溫減最低氣溫,即4-(-2),也就是正數與負數的減法問題,你能從運算的角度加以解釋嗎?引導學生發現:根據減法是加法的逆運算,計算4-(-2),就是要求出一個數x,使得x與-2相加得4,因為6與-2相加得4,所以x應該是6,即4-(-2)=6;另一方面,我們知道4+(+2)=6,所以就得出4-(-2)=4+(+2),即減-2相當于加2．然后教師和學生共同探究:①把4換成0,-1,-5,用上面的方法進一步考慮這些數減-2的結果與它們加+2的結果相同嗎?②計算9-8,9+(-8);15-7,15+(-7)．從中又有什么發現?通過以上探究,讓學生進一步發現,有理數的減法可以轉化為加法來進行,從而得出有理數的減法法則:減去一個數,等于加這個數的相反數．

二、引導學生理解數學新舊知識的內在本質與聯系,養成“刨根究底”的思維習慣

數學是由基本數學概念和法則架構而成的一個知識網絡系統．這些知識(概念、法則)間往往有著千絲萬縷的內在必然聯系．教學中,應通過引導學生理解新授概念(法則)與其認知結構中原有的數學概念(法則)內在本質與聯系,通過追問引導學生“刨根究底”,大膽質疑問難,進而把新授概念(法則)同化到已有的認知結構當中(或者改組擴大原有的認知結構,將新授概念(法則)納入進去),從而厘清新授概念的內涵與外延、明確法則的條件結論與來龍去脈,逐步領悟到新授概念(法則)的本質和規律．

比如,人教版教材《數學 九年級上》§21.1一元二次方程的教學．前面學生已經學習了一元一次方程的解法,對利用運算律和等式的基本性質通過去括號、移項、合并同類項求解已經得心應手;另外,學生業已掌握二元一次方程組和三元一次方程組的解法,知道可以通過“消元”轉化為一元一次方程．從數學知識內部發展來看,二元、三元一次方程組可以視為一元一次方程在“元”上的推廣．引導學生思考:一元二次方程可以視為一元一次方程在“次數”上的推廣．那么,可否將一元二次方程轉化為一元一次方程?學生自然想到“降次”,將“二次”降為“一次”．如何降次?通過具體實例引導學生從最簡單的二次方程x2=p(p>0)的情形入手,再拓展為(x+n)2=p(p>0)的情形,最后推廣為一般形式ax2+bx+c=0,讓學生從簡單的、特殊的入手,通過逐步推廣而獲得一般性問題的求解方法．引導學生將未知問題轉化化歸為熟悉的問題,在嘗試解決的過程中思維不斷地發生碰撞,并從中感悟二元一次方程與一元一次方程、平方根之間的內在聯系．學生在刨根究底中驀然發現二元一次方程求解實質上就是解決如何開平方!

三、引導學生合乎邏輯地解釋或論證數學的基本方法與結論,鑄成“推理有據”的思維品質

陳建功先生說過:“推理之成為說理的體系者,限于數學一科”,“忽視數學教育論理性的原則,無異于數學教育的自殺”．可以說,推理是數學的命根子．合乎邏輯的推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式,是數學嚴謹性的基本保證,也是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質,在形成人類的理性思維方面起著核心的作用．因此,在解釋或論證數學的基本方法與結論時,要盡可能地引導學生經歷問題求解的邏輯思路探索過程,通過歸納和概括方法引導學生經歷合情推理轉向邏輯推理,并在分析的基礎上通過演繹的方式,使解釋與論證思路具體化和規范化;使學生養成合乎邏輯地解釋與論證數學基本方法與結論的思維習慣,鑄成“推理有據”的思維品質．

比如,在講授人教版教材《數學 八年級上》§11.2.1中三角形內角和定理時,引導學生回憶:小學里通過度量或剪拼的方法可以驗證“三角形的內角和等于180°”．但是,由于測量常常有誤差,這種“驗證”不是“數學證明”,這樣得出的結論缺乏說服力,不能完全讓人信服;更何況形狀不同的三角形有無數個,我們不可能用度量或剪拼的方法一一加以驗證．因此,要確認“三角形的內角和等于180°”,就不能只依賴度量或剪拼的手段和觀察、試驗、驗證的方法,讓學生從心底里認同推理論證的必要性．那么,如何論證“任意一個三角形的內角和都等于180°”呢．我們的依據是前面學習過的概念、基本事實與定理．引導學生審視剪拼的過程(由圖1到圖2),發現只需過點A作邊BC的平行線EF(如圖3)即可．

圖1

圖2

圖3

師生共同完成證明過程的書寫．

已知△ABC,求證:∠A+∠B+∠C=180°．

證明:如圖3,過點A作直線EF,使EF//BC．

∵EF//BC,∴∠1=∠B(兩直線平行,內錯角相等).同理∠2=∠C.∵∠1,∠BAC,∠2組成平角,∴∠1+∠BAC+∠2=180°(平角定義)．∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代換)．即∠A+∠B+∠C=180°．

上述推理采用的是三段論的演繹方式,這也是演繹推理的一般模式,包含大前提(概念、基本事實或定理等一般原理)、小前提(所研究的特殊情形)和根據一般原理對特殊情形作出判斷所得的結論．大前提是顯然的可以省略,這樣每組“因為……,所以……”就構成了一個基本的推理單元．讓學生體悟到通過這樣的方式實現推理過程步步有據,因而結論是可信的．

總之,讓數學課堂更多一些理性,通過引導學生探究自然現象或現實情境所蘊含的數學規律,經歷“再發現”的思維過程;通過引導學生理解數學新舊知識內在本質與聯系,養成“刨根究底”的思維習慣;通過引導學生合乎邏輯地解釋或論證數學的基本方法與結論,鑄成“推理有據”的思維品質;培養學生崇尚真知,尊重事實和證據,形成嚴謹清晰的理性思維,從而運用理性思維方式去認識事物、解決問題、指導行為,形成嚴謹求是的科學態度與理性精神．這是培育學生數學核心素養的重要落腳點,也是落實數學學科育人的價值所在．