關注抽象函數 提升核心素養
——透視高考卷中的抽象函數問題

北京師范大學鹽城附屬學校 (224007) 郝文華

抽象函數問題是考查學生數學抽象素養的有效載體,近年來,高考數學試卷中頻繁出現抽象函數問題,題目常涉及到函數的基本性質(奇偶性、周期性、對稱性、單調性等)、函數圖像、不等式、復合函數、導函數等基本內容,同時還蘊含著數形結合、函數與方程、化歸等數學思想.由于抽象函數僅僅給出函數某種性質或滿足某種關系,學生在解決此類問題時,常常感到束手無策、不知所措.要解決此類問題,需要把握數學本質,整合題目條件,注重解題的整體性和融合性.本文以近年高考中出現的相關試題為例,分析抽象函數問題常見類型及解題思路,供參考.

類型一 常規賦值法與圖像法

例1 (2017新課標Ⅰ理)函數f(x)在(-∞,+∞)單調遞減,且為奇函數．若f(1)=-1,則滿足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范圍是( ).

A．[-2,2] B．[-1,1] C．[0,4] D．[1,3]

思路簡析：根據條件畫出草圖即可得出-1≤x-2≤1,繼而得到滿足-1≤f(x-2)≤1成立的x的取值范圍為[1,3].或作為非解答題,不需要展示解題過程,可根據條件找一個符合要求的函數,用以實現抽象與具體之間的相互轉換.例如,f(x)=-x滿足題設條件,則由-1≤f(x-2)≤1得,-1≤-(x-2)≤1,故滿足-1≤f(x-2)≤1成立的x的取值范圍為[1,3].

例2 (2020新高考卷)若定義在 R 上的奇函數f(x)在(-∞,0)單調遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( ) .

A. [-1,1]∪[3,+∞) B. [-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D. [-1,0]∪[1,3]

評注：此題也可利用例1中的解題思路進行解答.抽象函數問題盡管沒有具體的函數解析式,但往往會給出一個非常開放的賦值條件,而賦值對象的選取是靈活多變的,具有強烈的指向性,所賦數值的選取通常也決定著解題的成敗.

A. -3 B. -2 C. 0 D. 1

評注：在進行四次賦值的過程中,不僅實現了一些特殊函數值的求解,而且得出了函數的奇偶性和周期性,對于抽象函數基本性質的相互轉化與應用,是近年高考常考的基本內容.

類型二 函數的基本性質相互轉化

1.奇偶性與周期性問題

評注：如何理解f(x+1)、f(x+2)等復合函數的奇偶性呢?一般可從兩個角度分析:一是從“形”的角度來看,函數y=f(x+1)的圖象是由函數y=f(x)圖象左移1個單位而得到,左移1個單位后是奇函數(即關于原點(0,0)成中心對稱),因此,很容易得出函數y=f(x)的圖象關于點(1,0)成中心對稱.同理可得,由函數f(x+2)為偶函數(即關于y軸成軸對稱)可以得出函數y=f(x)的圖象關于直線x=2成軸對稱.二是從“量”的角度來看,函數h(x)=f(x+1)為奇函數,則有h(-x)=-h(x),即f(-x+1)=-f(x+1);同理,對偶函數g(x)=f(x+2),有f(-x+2)=f(x+2).本例還可以從條件入手,直接由等式的實質進行推導.因為一般有以下關系:

例5 (2021新高考Ⅱ卷)已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數,f(2x+1)為奇函數,則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

思路簡析：因為函數f(x+2)為偶函數,則f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因為函數f(2x+1)為奇函數,則f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函數f(x)是以4為周期的周期函數,因為函數F(x)=f(2x+1)為奇函數,則F(0)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,其它三個選項未知.故選B.

2.奇偶性與對稱性問題

A. -21 B. -22 C. -23 D. -24

評注：一般情況下,含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽,求解時需要根據已知條件進行恰當的轉化,然后再獲得所需的一些數值或關系式.

3.奇偶性、對稱性與周期性的綜合問題

例7 (2018全國Ⅱ理)已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數,滿足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A． B．0 C．2 D．50

思路簡析：因為f(x)是奇函數,且f(1-x)=f(1+x),所以f(1+x)=-f(x-1).∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),∴T=4,因此f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2),因為f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∵f(2)=f(-2)=-f(2)∴f(2)=0,從而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2.故選C.

評注：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行變換,將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.

類型三 抽象函數與導數、不等式的綜合性問題

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

評注：解決本題的關鍵是轉化題干條件為抽象函數的性質,準確把握原函數與導函數圖象間的關系,結合函數的性質(必要時結合圖象)即可得解.

函數是中學數學學習中最為重要的內容之一,教學中應注重知識的整體性、融合性及互通性,避免知識的碎片化、獨立化;引導學生從不同視角深入探究,找規律,充分挖掘問題背后隱性的價值和內涵,把握數學內容的本質.同時,還要研究新高考試題的考查方向和角度,為實施精準教學創設條件.