例說全概率公式與貝葉斯公式的運用

廣東省惠州市第一中學 (516007) 方志平

全概率公式在新版高中數學教材中具備“承上啟下”的過渡作用,是條件概率概念的延伸,應用的關鍵是對樣本空間做好劃分,在表現形式上拓展了條件概率,同時也作為貝葉斯公式成立的理論基礎．貝葉斯公式是概率論中極為重要的公式,它以其靈活的特性與簡潔的表達方式,受到了廣泛重視.貝葉斯公式的意義在于,根據事件的結果可以探尋引起該事件發生的原因,即“執果求因”.下面舉例說明全概率公式與貝葉斯公式的實際運用,供教與學參考.

1．全概率公式與貝葉斯公式的介紹

注意：①在對樣本空間Ω的劃分時,一定要把導致事件B(稱為目標事件)發生的所有可能性A1,A2,…,An全找出來,并保證A1,A2,…,An為兩兩互不相容的事件,做到“不重不漏”.在此基礎上,全概率公式的實質就是通過樣本空間的一個合適的劃分,將一個復雜事件的概率轉化為若干個簡單事件的概率之和,使復雜問題簡單化.這正是數學中常用的“化整為零”的思想.

②如果把A1,A2,…,An看作是引起事件B發生的所有可能“原因”,那么全概率公式表明,目標事件B發生的概率實際上就是該事件在這些“原因”下的條件概率的加權平均,其中權重分別為P(Ai).因此,全概率公式也稱為“由因導果”公式.

注意：貝葉斯公式不同于全概率公式的是兩個的側重點不同.貝葉斯公式主要作用是在事故產生后,對于事故責任的劃分,體現出的是一種“問責”,即“執果求因”.

2．全概率公式與貝葉斯公式的運用

概率是反映隨機事件出現的可能性大小的度量,而條件概率則是在給定某事件A的條件下,另一事件B發生的概率,事件A與事件B的關系會影響條件概率.全概率公式則是利用條件概率,將復雜的事件B分割為若干簡單事件概率的求和問題,而貝葉斯公式則是利用條件概率和全概率公式計算后驗概率.

例1 有兩只箱子,每只都有6個白球4個紅球,現從第一只箱中任取一球放入第二只箱,再從第二只箱中任取一球,求取到紅球的概率.

評注：由上述解法可以看出,應用的關鍵就是“執果索因”,即先找到事件A發生的原因,在尋找原因的時候,要把原因拆分成為互斥的事件B與C,掌握了這個原理,對全概率公式的理解就會有更深一步的認識,而不是僅僅停留在記憶公式的層面.

例2 兩箱產品,第一個箱子里面裝有10個合格品和40個次品,第二個箱子里面裝有18個合格品和12個次品,隨機挑中兩個箱子中的一個并隨機拿出兩個產品,如果第一次拿出的是合格產品,問抽到的是第一箱的概率為多少?

評注：本題的難點是將實際問題轉化為數學模型,需要我們讀懂題意,合理設出事件,用數學符號準確表示事件.要弄清第一次拿到的東西是合格品,可能是來自第一箱,也可能是來自第二箱,利用全概率公式求出P(A1).再用貝葉斯公式求出第一次拿出的是合格產品,是來自第一箱的概率P(B1|A1).

例3 某玩具制造廠所用的遙控飛機零件,是由5家不同的玩具零件制造廠提供的,我們根據以往的數據分析得以下數據:一廠的零件次品率為0.01,二廠的零件次品率為0.02,三廠的零件次品率為0.02,四廠的零件次品率為0.01,五廠的零件次品率為0.03.而它們所提供的零件份額:一廠的份額是0.2,二廠的份額是0.2,三廠的份額是0.3,四廠的份額是0.2,五廠的份額是0.1.已知在玩具廠的零件儲藏室里,由這四家玩具零件制造廠提供的飛機零件的離合器,是均勻的混在一起放置的,而且在外觀上看沒有任何區別.

(1)隨機在儲藏室里取一個離合器,求此離合器為次品的概率;

(2)隨機在儲藏室里取一個離合器,若取到的離合器是一件次品,請分析此次品出自何廠的幾率最大?

解：(1)設事件A=“取到的是次品”,事件B=“取到的產品是第i家玩具零件制造廠提供的”(i=1,2,3,4,5),則P(B1)=0.2,P(B,2)=0.2,P(B3)=0.3,P(B4)=0.2,P(B5)=0.1.P(A|B1)

=0.01,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.02,P(A|B4)=0.01,P(A|B5)=0.03.

(2)由貝葉斯公式得

故(1)隨機在儲藏室里取一個離合器,此離合器為次品的概率為0.017;(2)這個次品出自三廠的可能性最大.

例4 假定小明去參加數學夏令營,選擇乘火車、輪船、汽車、飛機的概率分別為0.3,0.2,0.1,0.4,若他乘火車、輪船、汽車遲到的概率分別為0.2,0.3和0.5,而乘飛機則不會遲到.結果他遲到了,那么他是乘火車去參加數學夏令營的概率是多少?

評注：本題實質上是利用全概率公式,先求小明遲到的概率P(B),在遲到的前提下由貝葉斯公式求小明因遲到而乘火車參加夏令營的概率P(A1|B).

例5 某廠有一、二、三共三個車間,生產同種產品,總產量中三個車間所占的比例分別是60%、25%及15%,三個車間所生產產品的次品率分別為6%、8%及12%,從該廠產品中任意抽取一件產品,取到的恰好是次品,視次品來自一或二或三車間,能被修復成正品的概率分別為0.8,0.5,0.3,求此次品能被修復成正品的概率是多少?

評注：首先要理解來自第i車間的次品被修復成正品的概率是P(C|AiB)(i=1,2,3),其次要結合貝葉斯公式及概率的加權平均,方可求出結果.

綜上,全概率公式包含了事件的并與互不相容的概念,還包括著加法、乘法公式,條件概率公式,而貝葉斯公式則是根據全概率公式推導演化而來的．全概率公式與貝葉斯公式是兩個相輔相成的互逆的運算公式,它對解決實際生活中的概率問題起著很重要的作用,在我們生活中的應用也相當廣泛,靈活掌握全概率公式與貝葉斯公式,可以幫助中學生拓寬視野,提高數學思維能力和探究未知世界的興趣.