具有4個(gè)相異指數(shù)隨機(jī)變量的串聯(lián)系統(tǒng)的條件樣本間隔

張正成， 鐘新澳

（海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158）

令Xi,n是獨(dú)立且非負(fù)的隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn中第i個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量。基于順序統(tǒng)計(jì)量的樣本間隔對(duì)應(yīng)于生存領(lǐng)域系統(tǒng)中元件連續(xù)失效時(shí)刻之間的差:其被分別稱(chēng)為樣本間隔和標(biāo)準(zhǔn)樣本間隔。過(guò)去許多學(xué)者研究了和之間的隨機(jī)性質(zhì)，例如，當(dāng)元件壽命是任意連續(xù)分布且具有遞減的失效率時(shí)，Pledger 和Proschan[1]得到了，i∈{1, 2, …,n- 1}，Kochar和Korwar[2]將此結(jié)論從普通的隨機(jī)序意義下加強(qiáng)到了似然比序意義下。關(guān)于更多它們的隨機(jī)性質(zhì)參考文獻(xiàn)[3-4]。

指數(shù)分布及其對(duì)應(yīng)的順序統(tǒng)計(jì)量以及樣本間隔在許多領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用，許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)獨(dú)立不同分布的指數(shù)變量的樣本間隔之間的隨機(jī)性質(zhì)進(jìn)行了研究，例如Kochar和Rojo[5]等。Bapat和Beg[6]研究了樣本中具有不同失效率參數(shù)的獨(dú)立指數(shù)隨機(jī)變量的順序統(tǒng)計(jì)量的分布理論及間隔性質(zhì)；最近Zhang等[7]指出，由n個(gè)元件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)在某時(shí)刻失效時(shí)系統(tǒng)中還剩余n- 1個(gè)沒(méi)有失效的元件，這些沒(méi)有失效的元件可以用來(lái)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，也可以用到其他系統(tǒng)中去。此外他們把這些沒(méi)有失效元件的壽命看作是一組新的樣本，這些新樣本構(gòu)成的樣本間隔被稱(chēng)為條件樣本間隔，即Xi,n|X1,n=t)，i∈{1, 2,…,n- 1}，t> 0，在給定的元件壽命是獨(dú)立同分布且為任意連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，Zhang 等[7]研究了條件樣本間隔的生存函數(shù)及其隨機(jī)性質(zhì)。

對(duì)于元件壽命是獨(dú)立不同分布的情況截至目前還沒(méi)有研究者給予關(guān)注。因此本文主要研究基于具有不同失效率參數(shù)的獨(dú)立指數(shù)隨機(jī)變量的串聯(lián)系統(tǒng)在某時(shí)刻失效時(shí)的條件樣本間隔及其各種性質(zhì)。

定義1假設(shè)X和Y是2個(gè)元件的壽命，其分別具有分布函數(shù)F(x)和G(x)，以及對(duì)應(yīng)的概率密度f(wàn)(x)和g(x)，分別用= 1 -F(x)和= 1 -G(x)來(lái)表示其各自的生存函數(shù)。如果對(duì)于所有的x，有≤，那么在普通隨機(jī)序意義下，隨機(jī)變量X比Y隨機(jī)小，記作：X≤stY，可參考文獻(xiàn)[8]。

定義2令x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)是兩個(gè)n維向量，并用x(1)≤x(2)≤…≤x(n)和y(1)≤y(2)≤…≤y(n)分別表示x和y的分量按遞增順序的重新排列。對(duì)于j∈{1, 2,…,n- 1}，如果，并且，則稱(chēng)x在占優(yōu)序意義下小于等于y，記作x≤my。一個(gè)定義在集合A ?Rn上的實(shí)值函數(shù)?如果滿足以下條件：

那么此函數(shù)在集合A上被稱(chēng)為是舒爾凸(凹)的，詳情請(qǐng)參考文獻(xiàn)[9]。

在本文中，我們使用“遞增”和“遞減”分別表示“不減”和“不增”的含義。

1 主要結(jié)論及證明

令Xi是獨(dú)立指數(shù)分布并且分別具有失效率參數(shù)λi(i= 1,2,3,4)，設(shè)s=λ1+λ2+λ3+λ4，那么對(duì)于i=1,2,3和固定的t> 0，令=(Xi+1,4-Xi,4|X1,4=t)和=(4 -i)(Xi+1,4-Xi,4|X1,4=t)分別表示基于具有4個(gè)獨(dú)立指數(shù)分布元件的串聯(lián)系統(tǒng)的條件樣本間隔和標(biāo)準(zhǔn)條件樣本間隔。

對(duì)于固定時(shí)刻t> 0，第一個(gè)條件樣本間隔(X2,4-X1,4|X1,4=t)的生存函數(shù)為

上述倒數(shù)第二個(gè)不等式成立是因?yàn)?/p>

其中{i,j,k,m}是{1, 2, 3, 4}的任意排列。

如上述第一個(gè)條件樣本間隔的生存函數(shù)所示，可以得到

定理1對(duì)于固定的t> 0，的生存函數(shù)關(guān)于(λ1,λ2,λ3,λ4)是舒爾凸的。

證明在每一個(gè)固定點(diǎn)x> 0，對(duì)于i= 1,2,3,4，顯然λieλix關(guān)于λi是凸的。因此由文獻(xiàn)[10]可知，對(duì)于x，間隔的生存函數(shù)關(guān)于失效率參數(shù)(λ1,λ2,λ3,λ4)是舒爾凸的，即結(jié)論成立。

對(duì)于固定時(shí)間t和任意的x> 0，條件樣本間隔(X3,4-X2,4|X1,4=t)的生存函數(shù)為

另外，在式（1）的最后一個(gè)等式中，對(duì)于固定的t> 0和任意的x> 0，條件概率P(X3,4-X2,4>x|X1,4=Xi=t)的計(jì)算過(guò)程如下:

綜上所述，由等式(2)可得第二個(gè)條件樣本間隔的生存函數(shù)為

注1 由式(3)可知，給定一個(gè)由4個(gè)獨(dú)立但不同指數(shù)分布的元件構(gòu)成的串聯(lián)系統(tǒng)壽命為Xi的元件在t時(shí)刻失效時(shí)，第二個(gè)條件樣本間隔的生存函數(shù)不依賴(lài)于其壽命。

此外，對(duì)于固定的時(shí)間t和任意的x> 0，第三個(gè)條件樣本間隔的生存函數(shù)為

根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的馬爾可夫性，我們計(jì)算上式中最后一個(gè)等式的條件概率P(X4,4-X3,4>x|X1,4=Xi=t)如下：

其中式（4）中第四個(gè)等式的成立基于以下事實(shí)：

并且式(4)中第三個(gè)等式的條件概率P(X2,4=Xj=y|X1,4=Xi=t)的計(jì)算如下：

綜上所述，由等式(4)可知第三個(gè)條件樣本間隔的生存函數(shù)如下：

對(duì)于任意的x> 0、y> 0、z> 0和固定的時(shí)間t> 0，前三個(gè)間隔的聯(lián)合生存函數(shù)為

我們注意到，對(duì)于固定的t> 0,式(5)的最后一個(gè)等式中的積分計(jì)算如下：

其中式(6)中的第四個(gè)等式成立基于下述事實(shí)：

所以，對(duì)于固定的t> 0,對(duì)上式求和如下：

因此，由式(5)和式(6)可知，對(duì)于任意的x> 0,y> 0,z> 0,

其中最后一個(gè)等式中的積分計(jì)算如下：

上式中第三個(gè)等式的成立基于下述式(9)和式(10)的計(jì)算結(jié)果：

因此，

又由于對(duì)于固定的t> 0且i≠j時(shí)，可以得到式(8)中第三個(gè)等式的條件概率P(X2,4=Xj=z|X1,4=Xi=t)的計(jì)算過(guò)程如下：

綜上所述，由式(7)、式(8)和式(11)可以得到

下面求條件樣本間隔的期望和方差：

定理2對(duì)于所有的x≥0，固定時(shí)刻t> 0，。

證明由上述結(jié)論可知，