類比歸納尋本質　通性通法助解題

封海波

教師如何在平時教學中幫助學生開辟思維路徑，樹立模型意識，掌握解題的通性通法呢？對此，筆者認為，教師關鍵要精選例題，然后進行適當變式、拓展（一題多變），展示數學問題表象的多樣性，凸顯問題本質的一致性，讓學生領悟數學可以由表及里、由此及彼，發現解題規律，類比歸納通性通法，構建思維路徑，從懂得一道題到掌握一類題，這才是基于數學本質問題的解題教學。

下面，筆者以蘇科版數學七（上）“數軸上動點問題”為例，談一談解決動點問題的相關教學策略。

一、例題呈現

引例 甲、乙兩船由相距200千米的兩地同時相向駛出，甲船每小時行駛50千米，乙船每小時行駛30千米，請問經過多長時間兩船相遇？

這個問題，學生很容易解出。教師可以引導學生把生活中的問題抽象為數軸上的動點問題，通過把引例數值等比縮小，不斷變式例題，在動點的變化中，找到不變的數學通法。

例1 如圖1，已知數軸上點A表示的數為8，B在A點左側，且AB=20。動點P從點A出發，沿數軸向左以每秒5個單位勻速運動，設運動時間為t（t＞0）秒。

學生通過閱讀例1，初步得到一些基本信息。在接下來的教學中，教師通過4個問題，從易到難，逐步幫助學生歸納解題思路，類比解題方法，以啟發學生思維，引領能力的發展，幫助學生找到適合的解題通性通法，為后期學習打下基礎。

二、例題延伸

問題1 現有一動點Q從點B處向右勻速運動，速度是每秒3個單位長度，若點P、Q同時出發，P、Q經過多長時間相遇？

生1：我可以直接列出算式20÷（5+3）=2.5（秒）。

生2：我們還可以利用方程解決。設相遇時間為t秒，可列方程5t+3t=20，解得t=2.5。

生3：我們還可以用數軸上的點對應的坐標來表示。其中，P點可表示為8-5t；Q點可表示為-12+3t。在數軸上，兩個點相遇，表示兩個點在同一位置，那么它們的坐標就相同。因此，我們可列方程為-12+3t=8-5t，解得t=2.5。

［設計意圖］教師引導學生從不同的角度，用不同的方法去解決問題，激發學生思維。

問題2 與問題1條件相同，若點P、Q同時出發，問點P運動多少秒時與點Q相距為2？

師：問題2有幾種可能？

生5：有兩種可能。一種是P、Q還沒相遇時，兩點相距為2；一種是P、Q兩點相遇后，兩點相距為2。

師：請你用坐標軸上的點來表示。

生6：P點可表示為8-5t；Q點可表示為-12+3t。當P、Q還沒相遇時相距2，可列方程為8-5t-（-12+3t）=2，解得t=[9/4]；同理，當P、Q相遇后相距2，解得t=[1/14]。

［設計意圖］通過類比，教師引導學生把動點運動后的位置用數軸上的點的坐標表示出來，然后把問題轉化為坐標之間的距離來解決，讓學生體會坐標化的優勢。

問題3 動點Q從點B出發，沿數軸向左勻速運動，速度為每秒3個單位長度，若點P、Q同時出發，問點P運動多少秒時追上點Q？

生7：我可以直接列出算式：20÷（5-3）=10（秒）。

生8：可以列方程解決。設相遇時間為t，列方程為5t-3t=20，解得t=10。

生9：在坐標軸中，P點可表示為-12-3t；Q點可表示為8-5t。P追上Q，即兩點坐標相同，可列方程為-12-3t=8-5t，解得t=10。

［設計意圖］把相遇問題改為追擊問題，繼續讓學生進行類比，體會三種解題方式的優劣性，強化學生的認知。

問題4 若AP的中點為點M，PB的中點為點N。點P在運動的過程中，線段MN的長度是否發生變化？并說明理由。

生10：此題依然有兩種情況，一種是點P在AB中間，一種是P點在B點的左側。解題思路如下……

［設計意圖］教師借助數軸把實際問題轉化為數學模型，利用這種模型思想研究問題，可以使問題化難為易，化繁為簡。反過來，當面對實際問題時，我們同樣可以通過建立數軸模型來解決。

三、教學反思

動點問題靜點化是本節課的主要思路。第一步，熟讀題目，畫出圖形；第二步，表示各點的坐標，厘清動點的速度、時間、路程；第三步，動點在數軸上所表示的數用字母表示；第四步，借助數軸上線段長度、線段中點的代數表示方法，根據題目列出方程，并解方程。這樣就歸納出數軸上的動點問題的“通性通法”，從而幫助學生化難為易，化動為靜，分類討論，抓住動點，代數表示，以不變應萬變，尋找破題點。

數軸上的動點問題是七年級一個難點，很多學生畏懼。在小學四年級時，學生開始學習相遇問題和追擊問題，教師通過引導學生畫線段圖，利用數形結合思想歸納出相遇問題的數量關系式；到了五年級，學生開始學習方程，教師引導學生利用數形結合，找到等量關系，再利用方程解決常見的相遇問題、追擊問題等，學生思維又一次飛躍；進入初中后，教師將小學方程問題中的兩個形象人物“小明與小紅”抽象為“A點與B點”，再逐步引導學生認識、理解并解決動點問題?？梢?，數軸是學生進入初中后有力的數形結合工具。

教師平時要多做題，整理和歸納同類型題，通過專題課型或者一題一課的形式，在課堂上循序漸進，引導學生用數學的眼光看待問題，用數學的語言構建模型，力求將解題后的反思歸納形成解題經驗，構成一個系統，一套思維路徑，以形成解決一類問題的通法。

（作者單位：江蘇省南京市中華中學上新河初級中學）