解直角三角形考題賞析

周貴勝

初中的三角函數知識是依托直角三角形呈現的，三角函數的實際應用題也是先抽象出符合題意的幾何圖形，再解直角三角形而解決的.本文以中考題為例與同學們一起體會這類題目的解題思路與方法.

[真題剖析]

例 （2022·遼寧·錦州）如圖1，一艘貨輪在海面上航行，準備要停靠到碼頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上. 為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調整航向，沿著北偏東30°方向繼續航行，當它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C. 求貨輪從A到B航行的距離.（結果精確到0.1海里. 參考數據：sin 50° ≈ 0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192.）

[思路分析]

抽象出數學模型：通過理解題意，容易認識出圖中△ABC具有的條件和要求的量：∠BAC = 30°，∠ABC = 100°，BC = 20海里，求邊AB的長.

此題是鈍角三角形問題，需要作輔助線，構造直角三角形解題.如圖2，已知∠BAC = 30°，∠ABC = 100°，BC = 20海里，過點B作BD⊥AC于D，構造兩個直角三角形△ABD和△BCD，在Rt△BCD中利用三角關系先求出BD，再通過Rt△ABD中的邊角關系求出AB.

[詳細解答]

解：如圖2，過B作BD⊥AC于D，

由題意可知∠ABC = 100°，∠BAC = 30°，

則∠C = 180° - 30° - 100° = 50°，

在Rt△BCD中，∠C = 50°，BC = 20海里，

∴BD = ?BCsin 50° ≈ 20 × 0.766 = 15.32海里，

在Rt△ABD中，∠BAD = 30°，BD = 15.32海里，

∴AB = 2BD = 30.64 ≈ 30.6（海里）.

答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．

[圖形歸納]

三角函數應用問題的實際背景是非常豐富的，如利用測量中常用的方位角、仰角、俯角、坡角、坡度等為呈現背景，來設計測高、測長度、速度等問題.

在這些問題中，通常能抽象出兩大類六個幾何圖形：

1.銳角三角形兩角一邊或兩邊一角

①如圖3，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，AB = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其夾邊.）

②如圖4，已知：在△ABC中，∠A = α，∠B = β，BC = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其一角的對邊.）

③如圖5，已知：在△ABC中，∠A = α，AB = m，AC = n.求△ABC的其他角或邊.（已知兩邊及其夾角.）

以上三種情況通常根據銳角三角形內角的度數，過三角形一個頂點在三角形內部作高構造直角三角形解題.

2.鈍角三角形兩角一邊或兩邊一角

①如圖6，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，AB = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其夾邊.）

②如圖7，已知：在△ABC中，∠BAC = α，∠B = β，BC = m.求△ABC的其他角或邊.（已知兩角及其一角的對邊.）

③如圖8，已知：在△ABC中，∠BAC = α，AB = m，AC = n.求△ABC的其他角或邊.（已知兩邊及其夾角.）

這三種情況通常根據鈍角三角形內角的度數，過三角形一個頂點在三角形內部作高或在三角形外部作高構造直角三角形解題.

三角函數實際應用題在各地中考中幾乎是必考的題目，需要同學們在平時的學習過程中形成抽象幾何圖形的能力，養成認識幾何圖形的視角，學會構造能解決問題的直角三角形.

（作者單位：東北育才學校）