模擬濾波器設計研究

喻鳴　趙建平　常博博

摘要：模擬濾波器是信號監(jiān)測、控制等領域不可或缺的前端去噪方法，一般用硬件電路實現(xiàn)，其中巴特沃茲型濾波器應用較為廣泛。現(xiàn)總結了設計和采用電路實現(xiàn)高階巴特沃茲型濾波器的方法，首先根據(jù)工程設計指標確定其階數(shù)，求取其傳遞函數(shù)，再將高階傳遞函數(shù)轉換為多個低階傳遞函數(shù)級聯(lián)，最后采用運放和阻容等器件實現(xiàn)其對應的濾波器。通過設計實例仿真及電路測試，證實了設計和實現(xiàn)方法的正確性與精準性，能夠為高性能復雜模擬濾波器設計提供參考。

關鍵詞：模擬濾波器；硬件電路實現(xiàn)；巴特沃茲型濾波器；傳遞函數(shù)

中圖分類號：TP29；TN713? 文獻標志碼：A? 文章編號：1671-0797（2023）09-0045-03

DOI：10.10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2023.09.013

0? ? 引言

濾波器按處理信號類型分為模擬濾波器（Analog Filter）和數(shù)字濾波器（Digital Filter）。模擬濾波器用模擬電路實現(xiàn)，數(shù)字濾波器用計算機、數(shù)字芯片進行相關數(shù)字處理，通過一定運算關系改變輸入信號的頻譜分布[1]。模擬濾波器由于處理信號范圍大，不需要運算資源，一般作為信號采集處理的前級，消除噪聲、干擾，為后級采集提供需要頻段的信號輸入，多采用硬件電路直接實現(xiàn)，是信號監(jiān)測、控制設備必需的硬件電路，應用極為廣泛。

對一些干擾嚴重或有用信號微弱的場合，需要高階模擬濾波器消除干擾，提高采集的信噪比，而高階濾波器參數(shù)很多，計算非常復雜，難以與設計指標要求精確對應。因此，本文主要研究設計一套簡便的計算方法，并能通過計算機自動計算，提高設計的自動化水平，以便快捷地設計出精準的高階模擬濾波器。

1? ? 模擬濾波器

1.1? ? 模擬濾波器分類

僅由無源器件（電容、電感、電阻）組成的濾波電路，稱為無源濾波器；由無源器件和有源器件（晶體管、MOS管、運算放大器等）組成的濾波電路，稱為有源濾波器。無源濾波器由于其通帶放大倍數(shù)和截止頻率隨負載變化，往往不符合信號處理要求[2]，為了精確進行信號濾波去噪，多采用有源濾波器。

1.2? ? 模擬濾波器的傳遞函數(shù)

要精確分析有源濾波器，需要通過“拉氏變換”求取輸出量Uo（s）與輸入量Ui（s）之比，即傳遞函數(shù)H（s），其形式如下：

中：s為拉氏變量；aj和bj為網(wǎng)絡結構參數(shù)確定的實常數(shù)。

線性網(wǎng)絡穩(wěn)定條件：bi＞0，n≥m。n為階數(shù)，階數(shù)越大，通帶外衰減越快。

根據(jù)傳遞函數(shù)理論，對于實系數(shù)的傳遞函數(shù)，式（1）可以改寫為：

式（2）中，M或N為奇數(shù)時，會出現(xiàn)其對應二次分式退化為一次分式的情況，即ai2或bj2為0。該式表明任何復雜的濾波網(wǎng)絡都可以等效為多個簡單的一階和二級濾波器級聯(lián)[3]。

根據(jù)傳遞函數(shù)不同，模擬濾波器常用的有巴特沃茲（Butterworth）型濾波器、切比雪夫（Chebyshev）型濾波器和橢圓型（Elliptic）濾波器[3]。巴特沃茲型濾波器由于其通帶內(nèi)比較平坦，不像其他濾波器通帶紋波起伏較大，且計算簡單，實現(xiàn)方便，因此應用最為廣泛。

巴特沃茲低通濾波器幅度平方函數(shù)如下：

式中：|H（jω）|為信號幅值；ω為角頻率；ωc為截止角頻率；n為濾波器階數(shù)。

巴特沃茲高通濾波器幅度平方函數(shù)如下：

1.3? ? 模擬濾波器的指標要求

模擬低通濾波器的工程技術指標如圖1所示，圖中ωp為通帶上限截止頻率，ωs為阻帶下限頻率。

設通帶最大允許衰減為ap，阻帶最小允許衰減為as，其定義如下：

2? ? 模擬濾波器設計

一個低通模擬濾波器就是根據(jù)ωp、ωs、ap、as確定濾波器的傳遞函數(shù)，然后根據(jù)傳遞函數(shù)分解為多個一階、二階濾波器的級聯(lián)。由于有源一階、二階濾波器形式比較固定，一般由運放和電阻、電容等器件組成，這些簡單的濾波器就可以根據(jù)確定的傳遞函數(shù)按圖索驥確定阻容參數(shù)，從而搭建出來。

高通濾波器類似，也是由ωp、ωs、ap、as確定濾波器的傳遞函數(shù)，并確定級聯(lián)低階濾波器的。而帶通濾波器則是由低通和高通濾波器級聯(lián)，只要分別設計低通和高通濾波器即可。

2.1? ? 歸一化設計思想

為簡化計算，需要用到歸一化設計的思想。頻率歸一化是指將所有頻率都除以基準頻率，即濾波器截止頻率，并將|H（j0）|歸一化到1，則得到Ha（*），即歸一化后的濾波器頻率響應函數(shù)：

計算實際電路參數(shù)時需要將歸一化頻率乘以截止頻率，進行反歸一化。

2.2? ? 確定濾波器階數(shù)和截止頻率

首先根據(jù)低通濾波器工程指標要求確定階數(shù)n，n滿足下式并需要向上取整：

如果要計算高通濾波器，式（9）中分母變?yōu)棣豴/ωs。

再求取截止頻率ωc，取下面兩個式子中計算的較小值：

如果要計算高通濾波器，上面兩式中的-1/2n應改寫為1/2n，同樣是取計算出的較小值作為截止頻率。

2.3? ? 求Ha（s）并反歸一化處理

將s=jω代入低通巴特沃茲型濾波器公式（3），求取歸一化極點sk，構造Ha（s）。

由于每次計算極點sk比較麻煩，一般根據(jù)階數(shù)n，Ha（s）的分母可以通過查詢巴特沃茲歸一化低通濾波器分母多項式系數(shù)表得到，并且分母多項式還可以通過查詢分母多項式因式分解表進行因式分解，從而將Ha（s）的低階級聯(lián)濾波器傳遞函數(shù)求出。

求出低通濾波器的Ha（s）后需要進行反歸一化，即將Ha（s）中的s用s/ωc代替，從而得到最終的低通濾波器傳遞函數(shù)。如果求取的是高通濾波器，則將Ha（s）中的s用ωc/s代替即可。

3? ? 模擬濾波器實現(xiàn)和仿真驗證

以某高通模擬濾波器為例，詳細描述其設計實現(xiàn)過程。該濾波器要求通帶下限為10 Hz，通帶內(nèi)幅值起伏不超過2%，阻帶上限3 Hz，阻帶內(nèi)需要將信號衰減到10%以內(nèi)。因此可以得到：ωp=10 Hz，ωs=3 Hz，ap=0.175 5 dB，as=20 dB。

代入公式（9），求得n=3.232 4，向上取整n=4，即需要4階高通濾波器才能滿足要求。

根據(jù)公式（10）和（11），求得ωc=33.477 7，注意計算時將公式中的-1/2n改寫為1/2n。

接著查表得到4階歸一化濾波器傳遞函數(shù)G，求出G后將G中的s用ωc/s代替，即可求出真正的高通濾波器傳遞函數(shù)G0。

利用Matlab可以快速有效地設計出所需的濾波器[4]。為了快速求取G，可以使用Matlab計算，代碼如下：

wph = 2 * pi * 10;

wsh = 2 * pi * 3;

Rph = 0.1755;

Ash = 20;

[N，wc] = buttord（wph， wsh， Rph， Ash， 's'）;

[B，A] = butter（N， wc，'high'，'s'）;

G=tf（B，A）

根據(jù)程序求出的G求出G0。為了能夠電路實現(xiàn)，還需要將G0因式分解為兩個二階濾波器級聯(lián)，最終結果如下：

由此可以設計出如圖2形式的兩個二階有源高通濾波器級聯(lián)，最終實現(xiàn)滿足工程指標要求的濾波器。

計算每個二階高通濾波器中阻容參數(shù)時，由于電容型號較少，可以先固定電容值并讓兩個電容值相等，再確定電阻值。計算得到的組成上面電路的一組阻容參數(shù)為：R11=11 427 Ω，R12=78 064 Ω，C11=1 μF，C12=1 μF；R21=27 591 Ω，R22=32 331 Ω，C21=1 μF，C22=1 μF。

在Matlab中對G0進行仿真，得到結果如圖3所示，可以看到在3 Hz已經(jīng)將信號衰減到-20 dB，在10 Hz以上通帶內(nèi)信號起伏不超過0.027 7 dB，滿足指標要求。

根據(jù)本設計選擇高精度阻容搭建電路，經(jīng)驗證濾波指標誤差不超過2%，滿足工程設計要求。

4? ? 結論

模擬濾波器是信號監(jiān)測、控制等領域不可或缺的前端去噪方法，一般用硬件電路實現(xiàn)，其中巴特沃茲型濾波器應用較為廣泛。本文總結了設計和采用電路實現(xiàn)高階巴特沃茲型濾波器的方法，首先根據(jù)工程設計指標確定其階數(shù)，并求取其傳遞函數(shù)，經(jīng)高階傳遞函數(shù)轉換為多個低階傳遞函數(shù)級聯(lián)，并分別選取合適的運放和阻容等器件實現(xiàn)。通過設計實例仿真和電路測試，證實了設計的正確性和精準性，能夠為高性能復雜模擬濾波器設計提供參考。

[參考文獻]

[1] 馬忠麗，周雪梅，蔡成濤.傳感器及信號檢測轉換技術[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2016.

[2] 童詩白，華成英.模擬電子技術基礎[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3] 史燕.用Matlab改進電子技術課程濾波器實驗[J].實驗技術與管理，2014，31（12）：107-109.

[4] 王大偉，賈榮叢，王劃一.基于Matlab的巴特沃斯濾波器設計[J].現(xiàn)代電子技術，2012，35（21）：71-72.

收稿日期：2023-02-06

作者簡介：喻鳴（1981—），男，陜西人，高級工程師，研究方向：航空嵌入式計算機。