基于事件觸發機制的神經網絡同步控制

葛 超，常晨蕾，姚 征，蘇 皓，2

（1.華北理工大學 電氣工程學院，河北 唐山 063210；2.華北理工大學 唐山市半導體集成電路重點實驗室，河北 唐山 063210）

0 引言

神經網絡（Neural Network，NN）是一種典型的神經元互連形成的復雜系統，表達一種類似于人腦的思維計算過程，因此，被廣泛用作計算工具。在過去的十幾年中，NN 已被應用于生物系統、化學反應、組合優化等領域［1-3］。但是在實際的應用中，不可避免地會出現時滯［4-6］、攻擊［7-9］等問題，導致系統性能惡化，不穩定的情況也時有發生。例如，文獻［10］中研究了一類具有離散時滯的神經網絡控制，構造了一個新穎的泛函，利用杰森不等式處理積分項，推導其穩定性條件，由于杰森不等式涉及的信息較少，結果保守性較大。文獻［11］中研究了在線性系統中控制器增益攝動存在的情況和離散時滯對線性系統性能的影響，利用杰森不等式來處理泛函求導過程中的積分不等式縮放問題，但該方法使系統過于理想化。

另外，大多數的系統都進行周期采樣，傳統的采樣會傳輸所有的采樣數據，導致資源浪費。為了解決資源浪費的問題，提出了一種新的觸發機制——事件觸發機制［12-14］，只有滿足設定的觸發條件，采樣數據才會被傳輸。因此，事件觸發機制的提出具有重大意義。文獻［15］中同時考慮了連續時間和離散時間事件檢測器，減少了資源的浪費，但是沒有考慮到非脆弱對控制器的影響。文獻［16］中考慮了離散和分布時滯對系統的影響，并且構造了一個新穎的李雅普諾夫泛函；但它采用周期采樣，沒有考慮事件觸發機制，因此仍會發生資源浪費的現象。

受上述工作的啟發，本文研究了一類在采樣控制下具有離散和分布時滯的神經網絡指數同步問題。使用一個具有伯努利分布的變量來描述控制器增益攝動的發生是隨機的。利用采樣時刻鋸齒波信息，提出了一個新穎的雙邊泛函，并利用改進的不等式和凸優化來處理積分問題，得到了保守性較低的穩定性準則。

1 問題描述和事件觸發機制

1.1 問題描述

考慮具有混合時滯神經網絡的系統模型：

將式（1）視為主系統，則它的從系統可以用式（2）表示：

在實際應用中，不能保證所有的狀態變量到控制器的信號都是連續的，所以本文考慮采樣控制系統，u(t)為控制輸入，采樣瞬間為0 ＜t1＜t2＜… ＜tk＜tk+1＜… ＜∞，在傳感器上成功傳輸的采樣序列表示為γ={0，t1h，t2h，…，tkh}，h為采樣周期，定義r(t)=y(t) -x(t)，進而得到主從同步誤差系統：

其中：f(r(t))=g(y(t)) -g(x(t))。

考慮到控制器參數攝動，本文構造如下非脆弱控制器：

其中：K為控制器增益矩陣；ΔK(t)為控制器增益攝動，滿足ΔK(t)=HF(t)B，H、B為常數矩陣，F(t)是未知矩陣，滿足FT(t)F(t) ＜I；φ(t)滿足伯努利分布，見式（5）。

當φ∈[0，1]，可以獲得：

1.2 事件觸發機制

本文引入事件觸發機制，確定采樣數據是否通過事件觸發傳輸方案在通信網絡上進行傳輸，通過事件發生器檢測采樣瞬間與最后觸發的時間之間的采樣數據誤差。

事件觸發條件定義為：

其中：e(ikh)=r(ikh) -r(tkh)，表示狀態誤差；ikh=tkh+?h(?∈N)表示當前采樣時刻；r(tkh) ?r(t-τ(t)) -e(ikh)，并且λ∈(0，1)為常數；ψ為正的加權矩陣。當滿足式（7）時，將生成一個傳輸事件。

將零階保持器中的保持間隔劃分為一個子集Mζ=[ikh+τk，ikh+h+τk+1]，M=∪Mζ(ζ=0，1，2，…)。其 中：τ(t)=t-ikh，t∈Mζ。則式（4）被改寫為：

當t∈Mζ，分段線性函數滿足以下條件：

事件觸發機制比傳統的時間觸發機制節省網絡資源，它不需要連續檢測。另外，最小傳輸間隔包含至少一個采樣周期，防止芝諾行為的發生。

將控制器式（4）代入系統式（3）中，可得到如下同步誤差系統模型：

本文的目的是考慮非脆弱的控制器參數攝動，設計非脆弱控制器，使誤差系統穩定，進而實現主從同步控制。

1.3 引理、定義及假設

引理1［17］存在對稱矩陣M和適當維數矩陣Y1、Y2，對于所有連續可微函數，滿足以下不等式條件：

引理3存在一個矩陣H滿足H=HT，具有相同維度的矩陣U1、U2，以下不等式成立：

對于所有滿足FT(t)F(t) ≤I，則存在一個標量ρ＞0，使以下不等式成立：

定義1如果誤差系統式（10）是指數穩定的，則主系統式（1）和從系統式（2）將實現指數同步。存在兩個常數α和β使

2 控制器設計

本章建立了與時滯相關的指數穩定條件。為了簡化書寫，定義了以下式子，其中：diag {…}為對角矩陣，I表示有適當維數的單位陣。

考慮控制器存在參數攝動的情況，通過以下定理得到控制器的設計方法。

定 理1給定標 量λ∈(0，1)，τM＞0，d＞0，α＞0，φ＞0，ω1和ω2，如果存在矩陣P＞0，Rm＞0(m=1，2)，ψ＞ 0，Sm＞0(m=3，4)，Zm＞0(m=1，2，3)，Vm＞0(m=1，2)，Q＞0，G、L、S1、S2、M1、M2、Y1、Y2是具有合適維度的矩陣，則在非脆弱控制器式（4）下，保證誤差系統的穩定，從而實現主系統式（1）和從系統式（2）的指數同步。

其中：定義Sym{A}=A+AT；row {…}為矩陣的行。

此外，本文設計的采樣控制器增益矩陣可以通過K=G-1L給出。

證明

對泛函進行求導，得到如下結果：

由引理2 可以得到：

根據假設1，對于任何合適的對角線矩陣V1、V2，都可以獲得如下不等式：

給定標量ω1、ω2和適當維數矩陣G，利用自由加權矩陣技術和式（6），很容易得到：

聯合式（11），得到：

由于定理1 和文獻［16］中的結論，可以很清楚地得到：

因此，給定正標量β，容易得到：

也可以等價為：

誤差系統式（10）隨衰減率α呈指數穩定，這表明主系統式（1）和從系統式（2）是呈指數同步的。

本文構造了一種新穎的泛函，不僅包括常規泛函，還包括雙邊泛函，S1、S2不一定是正定的，不僅考慮了區間[0，τ(t)]，還考慮了區間[τ(t)，τM]，推導出更嚴格的穩定性判據。

現在文獻的工作中，大多數考慮在混合時滯下的非脆弱控制器同步控制，事件觸發尚未在此領域得到充分發展，在定理1 中，提出了一種隨機發生參數攝動的非脆弱控制器，服從伯努利分布。本文應用事件觸發機制降低對網絡資源的浪費，節省帶寬，通過LMI 工具箱求得控制器增益矩陣K和觸發參數ψ。

當控制器參數攝動消失時，可以得到如下的誤差系統：

推 論1 給定標 量λ∈(0，1)，τM＞0，η＞0，d＞0，α＞0，ω1，ω2，存在矩 陣P＞0，Rm＞0(m=1，2)，ψ＞0，Sm＞0(m=3，4)，Zm＞0 (m=1，2，3)，Vm＞0 (m=1，2)，Q＞0；G，S1，S2，M1，M2，Y1，Y2是具有適當維數的矩陣，滿足以下LMI：

在無參數攝動的控制器下，保證誤差系統式（24）指數穩定從而實現主從同步。此外，采樣控制器增益矩陣K通過K=G-1L給出。

該推論的證明過程和定理1 類似，故省略。

當系統簡化為式（24）時，推論解決了文獻［16］包含的問題，并且得到了比文獻［16］更優的結果。它們的推論也很容易在本文中得到。

3 數值例子

例1 考慮以下參數時滯的神經網絡：

誤差狀態響應如圖1 所示，控制輸入如圖2 所示，可以看出誤差系統最終趨于穩定，所設計的帶有參數攝動的事件觸發控制器是有效的。從圖3 可以看出，當h=0.1，在8 s 內只需向控制器發送44 個采樣信號，傳輸速率為55%，很容易看出，并不是所有信號都被傳輸。事件觸發機制可以減少傳輸點的數量，以節省通信資源。

圖2 例1的控制輸入曲線Fig.2 Control input curve of example 1

圖3 例1的傳輸瞬間和釋放間隔Fig.3 Transmission instants and release interval of example 1

例2 使用時滯神經網絡系統的一個實際應用模型，稱為四罐系統，參數如下：

在本例中不考慮非脆弱性，利用推論，事件觸發機制被考慮為時間觸發機制，當W4=0 時，可以得到最大的α為2.37，與文獻［19］相比，指數衰減系數提升了0.16。控制器增益矩陣K為：

控制輸入信號和誤差狀態響應信號如圖4 和圖5 所示。在圖4 中，在控制器的作用下，誤差信號迅速趨近于零，這說明本文提出的方法是有效的。

圖4 例2的控制輸入曲線Fig.4 Control input curve of example 2

圖5 例2誤差系統狀態響應曲線Fig.5 Error system state response curve of example 2

4 結語

本文研究了一類具有離散和分布式時滯的神經網絡在非脆弱事件觸發控制下的指數同步問題，提出了一種新的雙邊泛函，考慮了更多關于神經網絡系統的狀態特征信息。此外，利用改進的不等式和凸組合，得到了較不保守的同步準則。目前，基于動態事件觸發的神經網絡同步控制的研究還不夠成熟，特別是動態事件觸發的切換神經網絡，是我們今后研究的主要內容。