三圓弧齒廓諧波齒輪的負載嚙合性能仿真

陳曉霞，劉軍波，邢靜忠，姚云鵬

（1.天津工業大學 天津市現代機電裝備技術重點實驗室，天津 300387；2.天津工業大學機械工程學院，天津 300387）

諧波齒輪具有傳動比大、傳動精度高等優點[1]，被廣泛應用于航空航天[2]、機器人[3]、精密儀表等領域。諧波齒輪作為機器人關節的核心部件，在高精度、高承載能力等方面有較高要求[4]。負載工況下輪齒的嚙合力分布及齒面接觸狀態對傳動性能有重要影響。

為提升傳動性能，姜歌東等[5]提出一種雙向共軛設計方法實現多點嚙合，提升嚙合性能。LI 等[6]建立波發生器優化模型，降低柔輪的最大周向應力，使應力分布更均勻。為研究負載工況的嚙合力分布，姜世平等[7]通過實驗測量切向力和徑向力，獲得載荷分布方程，證明嚙合區載荷為非線性分布。崔博文等[8]以有限元初始側隙和柔度矩陣為條件，建立接觸模型，獲得嚙合力分布。Ma 等[9]針對柔輪嚙合區受載變形，研究了不同扭矩下嚙合齒對數和嚙合線長度。鄒創等[10]將嚙合力加載到嚙合輪齒節點，求解分析了柔輪應力和變形與負載的關系。馬南飛[11]通過有限元和數學方法求得雙圓弧齒廓的齒面載荷分布。Wu 等[12]計算了不同工況下雙圓弧齒形柔輪齒間的嚙合力分布。Sahoo 等[13]考慮到載荷與齒體變形成正比的關系，計算了接觸齒對所分擔的載荷。陳曉霞等[14]基于初始側隙和線性嚙合剛度矩陣，構造了漸開線齒廓諧波齒輪傳動的嚙合力和側隙迭代算法。牛洪波[15]求解分析了漸開線齒廓諧波齒輪傳動的嚙合力沿軸向的分布，發現中截面嚙合力大，前截面和后截面的嚙合力小。通過徑向變位可以設置沿軸向的側隙分布，增大齒面接觸區[16-18]。三圓弧齒廓具有嚙合齒數多、嚙合側隙均勻和接觸面積大等優點[19-20]。但齒廓設計理念是否有利于負載工況下的嚙合性能提升，需要構建接觸分析模型，評估不同負載的嚙合狀態，驗證和改進齒廓設計方案及齒向修形措施，為齒廓設計和修形提供驗證手段。

為準確揭示三圓弧空間齒廓的多齒接觸狀態，本文建立實體單元三圓弧齒廓杯形柔輪有限元模型。定義齒面間的面-面接觸關系，對剛輪施加逐步增大的轉角位移來模擬不同負載。迭代求解不同負載下齒面間的嚙合狀態，提取接觸區大小及最高接觸壓力。通過沿輪齒周向、齒寬軸向和負載大小等3 個維度揭示三圓弧空間齒廓諧波齒輪的負載嚙合過程，為共軛齒廓設計、齒向修形及齒面磨損和效率分析提供依據。

1 諧波齒輪參數及建模

1.1 三圓弧空間齒廓柔輪參數及建模

1.1.1 柔輪結構

以25-120 型諧波齒輪減速器為例，速比為120，柔輪齒數z1=240、剛輪齒數z2=242。柔輪結構如圖1所示，主要包括變厚度齒圈、筒體和杯底。

圖1 柔輪齒圈及柔輪整體結構示意圖Fig.1 Overall structure diagram of tooth ring and flexspline

圖1 中：δf、δb分別為柔輪齒圈前后截面徑向修形量；b1為齒寬；齒體前倒角b2×45°；rb、rc分別為柔輪筒體內、外壁半徑；r1、r4分別為齒圈后倒圓、杯底倒圓半徑；rn為螺栓孔中心的半徑定位尺寸；l 為柔輪總長。參數值如表1 所示。

表1 柔輪筒體結構參數Tab.1 Structural parameters of flexspline cylinder

1.1.2 柔輪齒廓

柔輪齒廓如圖2 所示。

圖2 中：齒廓段AF 由AB、BC、CD、DF 4 段圓弧通過相切關系光滑連接而成；G 點為柔輪齒體對稱線與半徑為r0的分度圓的交點；R1、R2、R3、R4分別對應自上而下各齒廓段圓弧半徑；h1、h2分別對應B、C 兩點至分度圓的徑向高度；ra、rf分別為齒頂圓和齒根圓的半徑；s 為柔輪分度圓齒厚，分度圓壓力角η=9.9°。具體參數值如表2 所示。

表2 三圓弧柔輪齒廓參數Tab.2 Parameters of tooth profile of tri-arc flexspline

1.1.3 空間齒廓柔輪建模

根據表1 和表2 的柔輪筒體結構及齒廓參數，采用自下而上的建模方法。按照齒體-齒圈-筒體-柔輪整體的建模順序，定義齒廓關鍵點進行參數化建模，避免布爾操作，便于齒廓參數及修形方案的修改。在計算截面建立圖2 所示齒廓，按照徑向變位方案，沿軸向向前、向后分別拉伸生成整個齒體，對其進行映射網格剖分，如圖3 所示。柔輪材料的楊氏模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3。單元選用20 節點六面體單元SOLID186。周向陣列齒體z1份，形成柔輪齒圈結構。建立柔輪其他部分，與齒圈合并形成整體模型。

圖3 三維柔輪齒體建模Fig.3 3D modeling about tri-arc tooth of flexspline

1.2 剛輪圓弧齒廓及齒體模型

1.2.1 剛輪圓弧齒廓

剛輪齒廓是根據包絡理論求出的共軛齒形，如圖4 所示。

圖4 剛輪圓弧齒廓Fig.4 Circular-arc tooth profile of circular spline

圖4 中：坐標軸yg軸為剛輪齒槽對稱軸；剛輪齒廓段HN 由HI、IJ、KM、MN 4 段圓弧和公切線JK 通過相切關系連接而成；Rg1、Rg2、Rg3、Rg4為對應自下而上各齒廓段圓弧半徑；圓弧KM 和IJ 的圓心坐標分別為（xg2，yg2）和（xg3，yg3）；JK 段壓力角η2=16.86°；hg1和hg2分別為J、K 至H 點的徑向高度；rga和rgf分別為剛輪齒頂圓與齒根圓半徑。剛輪齒廓參數如表3 所示。

表3 剛輪圓弧齒廓參數Tab.3 Parameters of circular-arc tooth profile of circular spline

1.2.2 平面齒廓剛輪建模

基于表3 的剛輪齒廓參數，建立實體單元平面齒廓剛輪（齒槽）模型，如圖5 所示。沿周向陣列z2份形成剛輪整體模型。

圖5 剛輪建模Fig.5 Modeling of circular spline

1.3 接觸關系及求解設置

1.3.1 定義接觸關系

將橢圓波發生器模型簡化為與其外輪廓線相同的剛性橢圓柱面，其長軸最大變形量w0=0.264 mm。選用SHELL63 殼單元進行網格劃分。

裝配狀態下，波發生器迫使柔輪變形。定義波發生器與柔輪內壁接觸，波發生器設為剛體，柔輪內壁設為柔體。

由于剛輪齒體剛度遠大于柔輪齒體剛度，故選擇剛輪齒體接觸面為剛體目標單元TARGET170，柔輪齒體接觸面選用CONTACT174 柔性接觸單元。以不同實常數（R）建立各對嚙合齒面間的接觸關系，如圖6中R1（P-p）、R2（Q-q）、R3（U-u）……，以減少接觸分析時尋找目標面的迭代次數，同時便于后處理中的結果提取。

圖6 以實常數定義齒面接觸關系Fig.6 Defining tooth contact relationship with real constant

1.3.2 求解條件設置

柔輪杯底孔內側所有節點施加固定約束。波發生器不發生轉動和變形，對其所有節點施加全約束。

對剛輪加載不斷增大的轉角位移，進行迭代計算。首先確定額定轉矩下剛輪的轉動位移，而后采用多重負載文件方法進行負載迭代計算，保存各載荷步的計算結果。

剛輪逆時針旋轉，此時長軸左側為嚙出區，右側為嚙入區。

1.4 空載側隙的軸向分布及有限元驗證

空載側隙是影響齒面嚙合力分布和接觸狀態的重要指標。利用共軛齒廓設計理論，可得柔輪嚙合運動的剛輪齒廓離散點。擬合圓弧齒廓剛輪時可以選擇不同的擬合方案，得到不同的初始側隙。由于長軸區的齒面間相對滑動量最小，且該嚙合區的凸凹齒面接觸壓力更小，有助于提升整機效率并降低齒面接觸壓力。同時考慮到中截面有波發生器的徑向支撐，周向嚙合剛度和承載能力更強[14]。中截面設置最小的初始側隙，可以使更多嚙合力分布在中截面。軸向通過齒向修形得到立體齒廓，以避免中截面以外的齒廓干涉，同時使嚙合力沿軸向的分布范圍更寬。

圖7 所示為利用文獻[14]的理論側隙計算方法計算得到的前、中、后3 個截面的空載側隙曲線，圖7 中橫軸為嚙合齒位置，0°表示長軸。

圖7 嚙合區空載側隙Fig.7 No-load clearance in the meshing zone

由圖7 可知，空載側隙隨輪齒的嚙合位置先減小后增大；前、中、后截面分別在-5°、3°和35°處達到最小值。前截面-5°位置的初始側隙達到0，長軸附近的前、中截面側隙較小且變化平穩，保證了周向-5°至5°范圍內前截面至中截面的零側隙嚙合。長軸右側前截面側隙急劇增大，后截面逐漸減小，在46.5°后與不斷增大的中截面側隙逐漸接近，依然大于中截面側隙，避免后截面過早進入嚙合而出現負載工況下嚙入區齒頂干涉。

基于有限元裝配模型，提取空載狀態下柔輪齒圈前、中、后截面上的柔輪齒廓變形后位置，計算柔輪齒廓和剛輪齒廓間的周向側隙，與理論側隙比對如圖7所示。由圖7 可知，有限元模型側隙（FEA）與理論結果吻合良好。齒向修形形成的變厚度齒圈使得前、后截面周向剛度減小，導致理論結果偏離實際變形；后截面的有限元模型側隙小于理論結果；在大于10°的區域，前截面的有限元模型側隙小于理論結果。總體看有限元模型側隙與理論側隙在中截面吻合良好。

2 不同負載工況下的嚙合狀態分析

表4 為25-120 型諧波齒輪減速器的額定轉矩（RAT）、平均負載轉矩的容許最大值（AVT）、起動停止時的容許峰值轉矩（STT）及瞬間容許最大轉矩（MIT）的轉矩數值。

表4 25-120 型諧波齒輪的各工況負載轉矩Tab.4 Load torque of 25-120 harmonic drive under various working conditions

嚙合力是剛輪、柔輪在負載工況下齒面承受的總載荷。為模擬負載逐漸增大至瞬間容許最大轉矩時的齒面嚙合狀態隨負載變化的過程，進行負載迭代計算。圖8 所示為10%RAT、50%RAT、RAT 以及AVT、STT、MIT 共6 個負載工況下齒面嚙合力隨負載變化的分布。

圖8 負載工況下嚙合力分布Fig.8 Distribution of meshing forces under loads

2.1 嚙合齒數隨負載的變化規律

由圖8 可知，10%RAT 小負載時，只有長軸附近[-6°，13.5°]的齒參與嚙合；50%RAT 負載時[-12°，32°]的齒參與嚙合；至額載時[-16.5°，43.5°]的齒參與嚙合。隨負載的增加，嚙合齒數逐漸增加；相比于長軸左側，長軸右側參與嚙合的齒數增加更多。超過額定轉矩后，右側齒數增加明顯放緩，負載轉矩大于167 N·m（STT 負載，2.5RAT）后，右側嚙合齒數幾乎不再增多。

2.2 嚙合力隨負載的變化規律

由圖8 可知，在小于額定轉矩階段，嚙合力基本呈左右對稱的單峰分布，在3°最小側隙處嚙合力最大。隨負載增大，最大嚙合力位置向長軸右側偏移，右側24°～36°位置齒面的嚙合力增幅更快，長軸右側嚙合力大于左側嚙合力。結合圖5 側隙分布，極角大于24°后，后截面的空載側隙值逐漸接近中截面，負載時后截面逐漸參與嚙合。因后截面周向剛度大，至轉矩304 N·m（MIT 負載，4.5RAT）時，36°位置的嚙合力接近最大嚙合力。

3 接觸壓力分析

3.1 接觸壓力分布

齒面接觸壓力分布能反映齒面上嚙合力的分布區域及最大接觸壓力發生的位置，以及齒廓在負載工況下的嚙合狀態。為顯示諧波齒輪減速器齒面接觸壓力隨負載的變化規律，圖9 中從左至右分別列出了10%RAT、RAT、AVT、MIT 工況下部分齒面的接觸壓力分布。

圖9 不同負載工況下接觸壓力分布Fig.9 Distribution of contact pressure under different loads

圖9 中各列的每個小圖表示一個接觸齒面，每行小圖左側編號為該齒面所在的周向位置，負、正號分別表示長軸左、右側；各小圖自下而上為齒根至齒頂方向；圖中橫坐標表示齒面軸向位置，其中0、5、10 分別表示前、中、后截面；0-3、3-7 和7-10 為齒面前、中、后段；圖中數據表示接觸壓力，單位為MPa。

由圖9 可以看出，小負載至67 N·m（RAT）工況，長軸左側齒面前段最先參與嚙合，隨負載增大，接觸區從齒面前段延伸到中段。長軸區及其右側[0°，12°]為齒面中段參與嚙合，隨負載增大，齒面接觸區從齒面中段向齒面前、后段延伸，其中向齒面前段延伸更多。24°以右，隨負載增大，接觸區由齒面中段延伸至齒面后段。

沿齒高大多數柔輪齒面接觸區為中上區域，此時柔輪齒廓中圓弧BC 與剛輪IK 段齒廓嚙合，剛輪、柔輪齒體為凸對凹的嚙合狀態，接觸區域大，接觸壓力分布均勻，能夠以更低的接觸壓力承載更大的負載轉矩。大于24°后，齒面接觸區逐漸過渡至柔輪齒頂區域與剛輪齒廓KN 圓弧段嚙合，為凸對凸嚙合，造成接觸壓力隨負載更快地上升。

額載（67 N·m）工況，[-16.5°，43.5°]區間上齒參與嚙合，約30%的輪齒沿軸向從前截面到后截面、沿齒高的中至上區域齒面嚙合，單齒軸向1/2 以上的齒寬參與嚙合。最大接觸壓力分布在有波發生器徑向支撐的中截面，可有效增加負載齒面的耐磨性，提高負載工況下的傳動精度。

至108 N·m（AVT）工況，隨著負載的增大，嚙合區間增大，長軸左側更多的齒進入嚙合，長軸右側沒有變化；齒間接觸壓力和接觸面積均有不同程度的增大。304 N·m（MIT）工況下，約45%的齒在[-33°，48°]區間上參與嚙合。沿軸向齒面接觸區不斷增大，形成了穩定的面接觸區域；各齒的中截面附近接觸壓力最大，為主接觸區域。沿周向長軸左側[-33°，-4.5°]齒面前、中段為接觸區；長軸附近[-1.5°，7.5°]從前到后幾乎整個齒面都為接觸區；長軸右側[9°，40.5°]中、后段齒面接觸，接觸區沿軸向可達整個齒面的3/4。42°之后，后截面退出嚙合，接觸區為齒面中段，且最大接觸壓力發生在中截面處，還有繼續提升負載能力的潛力。

3.2 最大接觸壓力的周向分布

圖10 為不同負載工況下沿周向各齒面最大接觸壓力的分布。因長軸區凸-凹嚙合形成較低的接觸壓力，遠離長軸的凸-凸嚙合形成較高的接觸壓力，超過額定轉矩后的最大接觸壓力沿周向呈3 個峰值分布。

圖10 不同負載工況最大接觸壓力沿周向分布Fig.10 Circumferential distribution of maximum contact pressure under different loads

結合圖8，長軸附近的最大接觸壓力分布與嚙合力分布趨勢一致，這是因為負載時長軸附近的齒面中段具有穩定的凸凹面接觸。但長軸右側形成柔輪齒頂區與剛輪齒頂區的齒面嚙合，這樣的凸-凸接觸形成更大的接觸壓力。加之超載后剛度更高的后截面進入嚙合，形成長軸右側的接觸壓力超過中截面的結果。長軸左側齒面為前中段參與嚙合（圖9），遠離長軸的齒面僅前端嚙合，接觸區小，接觸壓力較大。接近長軸的齒面接觸區由齒面前段向中段過渡，接觸區變大，接觸壓力降低，形成長軸左側隨負載的增大逐漸向左偏移的接觸壓力峰值。

由圖10 可知，負載達到67 N·m（RAT）后，長軸附近齒面的最大接觸壓力隨負載的增大增速減緩，長軸左右兩側齒面的最大接觸壓力增速大于長軸處，且嚙入區30°～40°位置的增速更大。結合圖9 可知，長軸附近齒面具有較寬且穩定的面面接觸，能較好的平均齒面接觸壓力。遠離長軸的齒面因前端接觸和齒頂接觸形成的小接觸區，使得其最大接觸壓力隨負載的增大急劇增大。

3.3 最大接觸壓力隨負載的變化

圖11 為齒圈最大接觸壓力隨負載變化規律，其中橫坐標為負載轉矩，縱坐標為最大接觸壓力。

圖11 最大接觸壓力隨負載變化Fig.11 Variation of maximum contact pressure via loading

由圖11 可知：轉矩從0 增大到310 N·m 時，最大接觸壓力隨負載的增速呈現先快后緩再增快的趨勢。其中，從0 至9.4 N·m（14%RAT），最大接觸壓力增速最快；9.4 N·m 至195 N·m（291%RAT），增速放緩，之后增速再次增大。

在小負載時，前段齒面首次接觸，參與嚙合齒少，齒面間的接觸區域小，接觸壓力隨負載轉矩的增長快；而后，周向更多齒進入嚙合，齒體中、后段逐漸參與嚙合，接觸區增大，最大接觸壓力增速減緩。特別是額定轉矩67 N·m 至起動停止時的容許峰值轉矩167 N·m，接觸壓力變化最平緩。表明該方案的三圓弧齒廓設計在額定轉矩和起停工況下齒面承受荷載且分布均勻。

當轉矩增大至195 N·m 后，最大壓力出現位置從長軸區的凸-凹嚙合轉移至嚙入區的凸-凸嚙合，36°位置齒面的最大接觸壓力超過長軸區（圖10）。此后嚙入區齒面的最大接觸壓力迅速增大。

4 結論

建立三圓弧空間齒廓柔輪的實體單元諧波齒輪有限元模型，模擬不同負載工況時齒面嚙合狀態，獲得不同工況下嚙合力分布和接觸壓力的變化規律：

（1）在長軸區設置最小初始側隙，形成凸凹的嚙合狀態，接觸區域大，接觸壓力低且分布均勻，可以以更低的接觸壓力承載更大的負載轉矩；由中截面向后截面逐漸增大的初始側隙分布有利于形成軸向更寬的齒面接觸區，提升承載能力。

（2）額定轉矩時約30%的輪齒沿軸向從前截面到后截面、沿齒高的中至上區域齒面嚙合，單齒軸向1/2以上的齒寬參與嚙合；瞬間最大容許轉矩時約45%的齒參與嚙合，長軸處輪齒沿軸向全齒面和長軸左側前中段、右側中后段約3/4 寬度的齒面參與嚙合。

（3）隨負載轉矩增大，參與嚙合的齒數增多，嚙合力分布范圍向長軸兩側延伸；右側嚙入區齒面嚙合力增幅快于左側，最大嚙合力位置向長軸右側偏移，呈平臺分布。

（4）隨負載轉矩增大，最大接觸壓力沿周向呈3個峰值分布，長軸左側的齒面前端接觸、右側齒面凸凸齒頂接觸，頂端接觸使得接觸壓力較大。