等腰三角形模型構建及其應用

孫衛

等腰三角形是最常見的幾何圖形，有著許多特殊性質，在中考試題中應用比較廣泛. 有些問題中即使并不存在明顯的等腰三角形，我們經過運用角平分線、垂線、平行線、倍角等知識構建等腰三角形，都可順利求得相關結論.

模型構建

模型一 ?角平分線 + ?平行線

如圖1①，若AD平分∠BAC，AD[?]EC，則△ACE是等腰三角形；如圖1②，AD平分∠BAC，DE[?]AC，則△ADE是等腰三角形；如圖1③，AD平分∠BAC，CE[?]AB，則△ACE是等腰三角形；如圖1④，AD平分∠BAC，EF[?]AD，則△AGE是等腰三角形.

模型二 ?角平分線 + ?垂線

如圖2，若AD平分∠BAC，AD⊥DC于點D，則△AEC是等腰三角形.

這種構造模型的本質是以角平分線為對稱軸進行翻折，其原理是軸對稱性質.

模型三 ?倍角型

如圖3①，若∠ABC = 2∠C，作BD平分∠ABC，則△DBC是等腰三角形；如圖3②，若∠ABC = 2∠C，延長CB到D，使BD = BA，連接AD，則△ADC是等腰三角形；如圖3③，若∠B = 2∠ACB，以C為角的頂點，CA為角的一邊，在形外作∠ACD = ∠ACB，交BA的延長線于點D，則△DBC是等腰三角形；如圖3④，若∠B = 2∠ACB，作AD⊥BC于點D，在DC上截取DE = BD，連接AE，則△ABE和△ACE都是等腰三角形.

模型應用

例1 如圖4，在△ABC中，∠BAC = 90°，∠ABC的平分線交AC于點E，交BC邊上的高AG于點D，過點D作BC的平行線交AC于點F. 求證：AE = FC.

解析：由∠BAC = 90°，BE平分∠ABC，AG⊥BC，可得∠BAG = ∠C，∠AEB = 90° - ∠ABE = 90° - ∠CBE = ∠BDG = ∠ADE，所以AE = AD，要證明AE = CF，只要證明AD = CF即可.

過點B作BN[?]AC，交FD的延長線于點N，FN交AB于點M，則∠NBA = ∠BAC = 90°. 因為FN[?]BC，連接BF，可證△BFN ≌ △FBC，進而得到BN = FC，因此只要證明BN = AD即可.

事實上，由BD平分∠MBG，DM[?]BG，根據模型一可知BM = DM，由∠AMD = ∠NMB，∠NBM = ∠ADM，根據“ASA”證得Rt△ADM ≌ Rt△NBM，則BN = AD，從而可得AE = CF.

例2 如圖5，已知等腰直角三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF的延長線于D. 求證：BF = 2CD.

解析：由BF平分∠ABC，CD⊥BD，對照模型二可聯想到等腰三角形. 于是分別延長BA，CD交于點E，則△BCE是等腰三角形，并有ED = CD，只需再證明BF = CE即可. 事實上，由∠BAC = 90°，CD⊥BD，∠AFB = ∠DFC，得∠ABF = ∠DCF，而AB = AC，所以△ABF ≌△ACE，則BF = CE，從而問題獲解.

顯然，先構造等腰三角形，再運用其性質來解決問題是一種常用的解題策略，掌握上述常見模型有助于同學們巧構等腰三角形，妙解數學題.

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：5分鐘

在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC = 2∠C. 求證：CD = AB + BD.

（輔助線引法見第25頁）

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）