立足教材母題 突破模型思維

李銘輝 梁詩埼 蘇立鵬

試題的改編、創作離不開“題源”，而課本則是最好的“題源”地.下面舉例介紹以教材例題為“母題”的中考壓軸題.

一、真題再現

例（2022·四川·達州）某校一數學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如圖1的方式擺放，∠ACB=∠ECD=90°，隨后保持△ABC不動，將△CDE繞點C按逆時針方向旋轉α（0°＜α＜90°），連接AE，BD，延長BD交AE于點F，連接CF．該數學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：

（1）【初步探究】如圖2，當ED∥BC時，則α_____.

（2）【初步探究】如圖3，當點E，F重合時，請直接寫出AF，BF， 之間的數量關系：_________.

（3）【深入探究】如圖4，當點E，F不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．

（4）【拓展延伸】如圖5，在△ABC與就是△CDE中， ，若 ， （m為常數）．保持△ABC不動，將 繞點C按逆時針方向旋轉α（ ），連接 ， ，延長 交 于點F，連接 ，如圖6．試探究 ， ， 之間的數量關系，并說明理由．

二、溯本追源

北師大教學參考用書八年級下冊173頁例2的問題是這樣的：

（1）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將△PBC繞點B旋轉到△P′BA的位置，請確定△P′BA的形狀. 這一題把旋轉寓于等邊三角形這個特殊圖形之中，考查了旋轉的性質，同時運用等邊三角形的性質與判定進行推理論證.接下來的（2）問仿照（1）題，你還能編擬出怎樣的問題？

本題以此為基礎，提出了旋轉與其他特殊三角形的結合——等腰直角三角形、一般直角三角形，并在此基礎上從全等過渡到相似，利用對相似圖形比例關系的考查提出線段間數量關系的問題.

三、思路分析

（1）根據等腰直角三角形的性質，可得∠ACB=∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，根據題意 可得，∠CDE=∠BCD=45°，即根據旋轉的性質可知∠BCD=α=45°；

（2）證明△ACE △BCD，可得 ，根據等腰直角三角形可得 ，由 ，即可得出 ；

（3）同（2）可得△ACE △BCD，過點 ，作 ，交 于點 ，證明? ?，可得 ，△FCH是等腰直角三角形，即可得出 ；

（4）過點 作 ，交 于點 ，證明△AFC∽△BGC，可得 ， ，在Rt△FCG中，由勾股定理可得 ，即可得出 ．

四、過程精析

（1）∵等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，∴∠ACB=∠ECD=90°，

∠CDE=∠CED=45°， ，∴∠CDE=∠BCD=α=45°.

（2）? ， ，

在△ACE與 中， ，∴△ACE? ，

∴ ， ，

又∵ ，∴ ，∵E，F重合， .

（3）同（2）可得△ACE △BCD，∴ ， ，

過點 作 ，交BF于點H，

則∠FCA+∠ACH=∠ACH+∠HCB=90°，∴∠FCA=∠HCB，

在 與 中，

∴? ?， ，CF=CH，

∴△CFH是等腰直角三角形， ， ，即 .

（4）過點 作 ，交 于點 ，

， ， ， ，

， ，

，

，

，∴△AFC∽△BGC，

，

， ，

Rt△FCG中， ，

，

即 ．

五、總結反思

本文以中考壓軸題為例對比了“教材母題”與“中考真題”之間的關聯性.可以看到，經過多次的改編、反思、再改編，最后出來的成題已與課本題源有較大變化，但考查的核心點卻沒有多大改變，只是增加了多個知識要點的關聯性，更突出對探究能力的考查.要解答好這類題，不能依靠一味地操練模型，而是要在平時的訓練中能對典型模型、例題進行更多思考與總結，拓展數學思維加強知識點間的聯系.

（作者單位：沈陽市廣全學校）