立足教材母題 突破模型思維

李銘輝 梁詩(shī)埼 蘇立鵬

試題的改編、創(chuàng)作離不開(kāi)“題源”，而課本則是最好的“題源”地.下面舉例介紹以教材例題為“母題”的中考?jí)狠S題.

一、真題再現(xiàn)

例（2022·四川·達(dá)州）某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動(dòng)中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE，按如圖1的方式擺放，∠ACB=∠ECD=90°，隨后保持△ABC不動(dòng)，將△CDE繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），連接AE，BD，延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)F，連接CF．該數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究，請(qǐng)你幫忙解答：

（1）【初步探究】如圖2，當(dāng)ED∥BC時(shí)，則α_____.

（2）【初步探究】如圖3，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出AF，BF， 之間的數(shù)量關(guān)系：_________.

（3）【深入探究】如圖4，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)不重合時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出推理過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）【拓展延伸】如圖5，在△ABC與就是△CDE中， ，若 ， （m為常數(shù)）．保持△ABC不動(dòng)，將 繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（ ），連接 ， ，延長(zhǎng) 交 于點(diǎn)F，連接 ，如圖6．試探究 ， ， 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

二、溯本追源

北師大教學(xué)參考用書八年級(jí)下冊(cè)173頁(yè)例2的問(wèn)題是這樣的：

（1）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△PBC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△P′BA的位置，請(qǐng)確定△P′BA的形狀. 這一題把旋轉(zhuǎn)寓于等邊三角形這個(gè)特殊圖形之中，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同時(shí)運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行推理論證.接下來(lái)的（2）問(wèn)仿照（1）題，你還能編擬出怎樣的問(wèn)題？

本題以此為基礎(chǔ)，提出了旋轉(zhuǎn)與其他特殊三角形的結(jié)合——等腰直角三角形、一般直角三角形，并在此基礎(chǔ)上從全等過(guò)渡到相似，利用對(duì)相似圖形比例關(guān)系的考查提出線段間數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題.

三、思路分析

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得∠ACB=∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，根據(jù)題意 可得，∠CDE=∠BCD=45°，即根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠BCD=α=45°；

（2）證明△ACE △BCD，可得 ，根據(jù)等腰直角三角形可得 ，由 ，即可得出 ；

（3）同（2）可得△ACE △BCD，過(guò)點(diǎn) ，作 ，交 于點(diǎn) ，證明? ?，可得 ，△FCH是等腰直角三角形，即可得出 ；

（4）過(guò)點(diǎn) 作 ，交 于點(diǎn) ，證明△AFC∽△BGC，可得 ， ，在Rt△FCG中，由勾股定理可得 ，即可得出 ．

四、過(guò)程精析

（1）∵等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，∴∠ACB=∠ECD=90°，

∠CDE=∠CED=45°， ，∴∠CDE=∠BCD=α=45°.

（2）? ， ，

在△ACE與 中， ，∴△ACE? ，

∴ ， ，

又∵ ，∴ ，∵E，F(xiàn)重合， .

（3）同（2）可得△ACE △BCD，∴ ， ，

過(guò)點(diǎn) 作 ，交BF于點(diǎn)H，

則∠FCA+∠ACH=∠ACH+∠HCB=90°，∴∠FCA=∠HCB，

在 與 中，

∴? ?， ，CF=CH，

∴△CFH是等腰直角三角形， ， ，即 .

（4）過(guò)點(diǎn) 作 ，交 于點(diǎn) ，

， ， ， ，

， ，

，

，

，∴△AFC∽△BGC，

，

， ，

Rt△FCG中， ，

，

即 ．

五、總結(jié)反思

本文以中考?jí)狠S題為例對(duì)比了“教材母題”與“中考真題”之間的關(guān)聯(lián)性.可以看到，經(jīng)過(guò)多次的改編、反思、再改編，最后出來(lái)的成題已與課本題源有較大變化，但考查的核心點(diǎn)卻沒(méi)有多大改變，只是增加了多個(gè)知識(shí)要點(diǎn)的關(guān)聯(lián)性，更突出對(duì)探究能力的考查.要解答好這類題，不能依靠一味地操練模型，而是要在平時(shí)的訓(xùn)練中能對(duì)典型模型、例題進(jìn)行更多思考與總結(jié)，拓展數(shù)學(xué)思維加強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系.

（作者單位：沈陽(yáng)市廣全學(xué)校）