“有理　有序　有創”讓學生直面數學思維

林謝劍

一直以來，數學都以嚴謹的邏輯思維著稱。作為一門基礎性學科，數學教育不僅僅是要讓學生掌握必需的數學基礎知識與基本技能，更重要的是發展學生的抽象思維和推理能力。在課堂教學活動中，教師要融合新教學理念，優化教學設計，創新教學策略，讓學生在運用知識解決問題的過程中直面數學思維。接下來，筆者就教學中如何有效激發學生直面數學思維、提高課堂教學效率，談談具體做法。

一、以前置練習為鋪墊，直面數學思維的“有理性”

“理”即指理由、依據。如何讓學生認識推理是有跡可尋的？在教學中，教師應該充分把握知識本身的內在邏輯性，在新知教學前巧設前置練習，以前置練習為腳手架，引發勾連，激發學生獲取知識的內在需求。在數學教學活動中，只有讓學生親身嘗試，才能充分體悟其中的內涵，讓數學思維的生成實現“有理性”。

例如，在《表面涂色的正方體》一課教學中，旨在引導學生在通過觀察找到將表面涂色的大正方體每條棱平均分成3、4、5份后，切成的小正方體涂色面的情況的基礎上，比較不同涂色面的個數及位置特點，通過合情推理，進而得到將每條棱平均分成n份后，切成的小正方體不同涂色面的個數是本課的知識重點。筆者在認真研讀文本和教參的基礎上，結合學生的實際情況，設置了探索數字規律的前置練習：

通過這樣的環節設置，讓學生數形結合，在感受數字之間規律的同時正確表達規律，并能根據規律繼續填寫。這樣一來，規律的表達在此提前進行滲透，分散了教學難點，為新知教學中讓學生找準每條棱平均分成3/4/5份后不同涂色面小正方體的個數，并將之推廣到n份后的情況，做好鋪墊準備。

又如，在《圖形的平移》一課教學中，旨在引導學生觀察發現圖形在平移過程中，整個圖形的每一個部分都朝同一個方向移動，圖形的平移實際上可以分解為對應點或者對應線的平移，這是本節課的重點。而本課的難點在于數對應點（線）之間的距離，在這一過程中，學生往往容易將起始點、終止點納入思考范圍，得到的距離比實際平移的距離多“1”或少“1”的情況。基于上述認識，筆者在課前設置了在格子圖中數兩個“點”、兩條“線”之間距離的前置練習，讓學生聚焦數距離，明確兩點（線）之間的距離其實就是數它們之間的格子數。當從“點”的角度考慮，起始點表示還沒開始移動，可用“0”來表示移動的距離，而后繼續往下數。看似簡單單一的知識，卻很好地發展了學生的數學思維，起到了突破本課教學重點的作用，這樣一來，數學思維的“有理性”便落到了實處。

二、以問題設計為導向，直面數學思維的“有序性”

“序”指順序，萬物生長都講究循序漸進。在教學中，教師應當關注知識的內在生長，由易到難，層層推進，挖掘學生的最近發展區，引導學生拾階而上，不斷激發學生解決問題的熱情。在數學教學活動中，只有讓學生跳一跳摘蘋果，才能更好地增強學生學習的興趣，有利于學生獲得學習的成就感。

例如，在《表面涂色的正方體》一課教學中，筆者設計了如下教學環節：

（一）初探平均分成3份。在新知教授環節，筆者通過動態展示將表面涂色的大正方體每條棱平均分成2份后切成的小正方體涂色面的情況，引導學生明確切成的2×2×2=6個小正方體均為3面涂色。接著讓學生自主探究將大正方體每條棱平均分成3份的情況，并指出小正方體不同涂色面的位置特點。有了前面將表面涂色的大正方體每條棱平均分成2份后，切成的小正方體的涂色面情況的教學引導，這個過程的自主探究對學生而言是可實現的。學生通過觀察很容易就得出3面涂色的小正方體有8個；2面涂色的有12個；1面涂色的有6個。而對于位置特點，學生存在困惑，筆者在教學實際中暫且擱置該問題。

（二）再探平均分成4/5份。筆者繼續提問：如果將這個大正方體的每條棱平均分成4份、5份……切成的小正方體涂色面又會是什么結果呢？學生自主探究后再小組合作交流。由匯報結果看來，對于3面涂色的小正方體個數基本上每位同學都能清晰地得到正確的結果8個。但對于2面涂色和1面涂色的小正方體個數，多數學生無法正確表達。

（三）觀察推理，規律呼之欲出。《論語》有云：“不憤不啟，不悱不發。”說的是學生如果不是經過冥思苦想而又想不通時，就不去啟發他；如果不是經過思考并有所體會，想說卻說不出來時，就不去開導他。為此，在學生的困頓處，筆者通過課件分別呈現每條棱平均分成不同份數后的不同涂色面的圖形，啟發學生：不同涂色面的小正方體位置有什么特點？你能結合正方體的各部分組成要素說一說嗎？有了適時的提示引導，學生自覺將目光轉向正方體的組成要素：頂點、棱、面。很快就發現將大正方體每條棱平均分后，得到的小正方體3/2/1面涂色的位置分別在大正方體的頂點、棱的中間、面的中間。筆者提出問題：現在你能算出平均分成3/4/5份后3/2/1面涂色的小正方體個數了嗎？學生獨立計算后得到結果如下：平均分成3份時，3面涂色的小正方體有8個，2面涂色的有1×12=12個，1面涂色的有12×6=6個；平均分成4份時，3面涂色的小正方體有8個，2面涂色的有2×12=24個，1面涂色的有22×6=24個；平均分成5份時，3面涂色的小正方體有8個，2面涂色的有3×12=36個，1面涂色的有32×6=54個。

（四）歸納推理，規律始發成型。追問：如果將大正方體每條棱平均分成6份、10份、100份……你還能算出不同涂色面小正方體的個數嗎？學生自主探究、小組交流后明確平均分成n份，3面涂色的小正方體都是8個；2面涂色的有：（n-2）×12個；1面涂色的有：（n-2）2×6個。

這樣的教學過程，以問題設計為引領，讓學生明確探究方向，有助于捋清學生的思路。通過或啟發、或提問、或點撥、或追問等形式，將學生的思維一步步推向關鍵處，很好地激發了學生的探究意識。由此，數學思維的“有序性”得以實現。

三、以問題情境為抓手，直面數學思維的“創造性”

“創”作為一種思辨力，是在感知的基礎上形成的具有變通性，能舉一而反三的優良品質。在教學中，教師應當以問題情境為抓手，拓寬知識廣度，直指知識核心，讓學生不僅知其然更知其所以然。這樣才能進一步激發學生的探究欲望，拓展思維，發展智能，讓學生感受數學的內在魅力，進而培養創新意識。

例如：在《探索三角形三邊關系》一課教學中，學生通過動手圍、動筆算的方法初步感知到能圍成三角形的任意兩邊之和要大于第三條邊，對于這一陳述性的知識絕大多數的學生都會描述、能識記，但在解決問題中卻常常不如人意。為了讓學生在感知知識的基礎上進一步擴寬思維，筆者設計了如下問題情境：

將一根10cm長的小棒剪成三段，怎樣剪一定能圍成三角形？（要求：剪成的每一段都是整厘米數。）

（1）第一刀不能剪在哪里？為什么？

（2）第二刀不能剪哪一段？為什么？

（3）如果第一刀剪在“3”處，第二刀應在（? ? ）處剪，剪成的三段保證能圍成一個三角形。

由問題（1）指向兩邊之和等于第三邊則圍不成三角形，到問題（2）指向任意兩邊之和要大于第三條邊，因此不能剪短的那一段的粗略判斷，再到問題（3）第一刀剪在“3”，第二刀只能剪在“6”或“7”，得到三邊長度分別為3、3、4的具體剪法，讓學生再次經歷推理，使其思維進一步走向深刻，同時正、逆向思維的不同思考方式也有效激發了學生推理的創造性表達，再現了數學思維的嚴謹性。

又如，在《多邊形的內角和》一課的教學中，大多數教師設計如下教學環節：將四邊形、五邊形、六邊形從一個頂點出發，分割成2、3、4個三角形，再由三角形的內角和為180°，推理得到四、五、六邊形的內角和為180°×2，180°×3，180°×4，接著引導學生觀察發現多邊形的邊數與分割成的三角形的個數之間相差2的關系，由此推出當多邊形邊數為n時，分割成的三角形個數為（n-2），則其內角和為180°×（n-2）。乍一看，該教學環節思路清晰、條理清楚、推理也是毫無破綻，但仔細思考，我們不難發現，該教學環節從一開始就先入為主了，我們不免疑惑：為什么要“從一個頂點出發分割三角形”？如果不是，結論難道就不成立嗎？帶著這樣的思考，筆者設計了如下問題情境：

在探究五邊形的內角和時，笑笑、奇思和妙想三位同學分別從不同角度將五邊形分割成如下三角形，你贊同誰的做法？說說你的理由。

從學生的答題情況來看，近70%都贊同笑笑的做法，并且認為奇思和妙想的做法沒有“從五邊形的一個頂點出發分割三角形”，是錯誤的，其實不然。奇思從五邊形的內部找到一個點，將五邊形分成5個三角形，這一過程產生內部多出來的5個角（剛好圍成一個周角360°），由此得到五邊形的內角和為180°×5-360°；妙想從五邊形的邊上找到一個點，將五邊形分成4個三角形，這一過程產生內部多出來的4個角（剛好圍成一個平角180°），由此得到五邊形的內角和為180°×4-180°。因此三位同學的做法都是正確的。

這樣的問題情境不再局限于知識點本身，拓寬了思維廣度，直指知識核心，讓學生在思辨中習得知識，不僅有利于激發孩子的探究欲望，拓展思維，發展智能，更能讓學生感受數學的內在魅力，久而久之，數學思維的“創造性”就會得到進一步的培養。

總之，數學思維能力的培養需要教師的精心呵護，只有精準把握知識之間的前聯后結，巧設問題，依托情境才能更好地讓學生直面數學思維的“理”“序”“創”，從而有效助推學生的學習，讓學習變得輕松愉悅，讓學生會學、愛學、樂學。