HPM視角下的“公理化思想閱讀課”課例生成

劉志峰 胡永強 孫丹丹

【摘 要】文章以“公理化思想閱讀課”為載體，從選題與準備、研討與設計、實施與反饋、整理與寫作等環節再現了HPM課例的生成過程。這樣一方面反映了HPM課例生成過程中應該注意的問題，以期能夠為HPM課例的開發與教學提供參考，另一方面也體現了在教學中滲透數學公理化思想的方法及可能存在的問題，以期為數學公理化思想進課堂提供啟示。

【關鍵詞】HPM；公理化思想；數學閱讀課；課例生成

【作者簡介】劉志峰，華東師范大學HPM網絡研修班成員；胡永強，高級教師，華東師范大學HPM網絡研修班成員；孫丹丹，山東師范大學數學與統計學院講師，主要從事數學史與數學教育研究。

【基金項目】江蘇省中小學教學研究第十四期課題“初中數學課程德育內容設計與滲透策略研究”（2021JY14-L47）；江蘇省蘇州市高新區規劃課題“指向學科德育的初中數學教學課例研究”

一、引言

公理化思想是數學體系建構的基本思想方法，是數學研究的重要思考方式，有著重要的教學價值。公理化思想方法所體現的嚴謹邏輯體系與系統思考方法不僅促進了數學的發展，也深刻地影響了其他自然科學領域，甚至是人文社科領域［1］。作為一種重要的數學思想，公理化思想在培養學生數學抽象、邏輯推理和直觀想象等數學核心素養方面具有重要的意義［2-3］。如何更好地開展教學活動以促進學生深入理解數學公理化思想，發揮公理化思想的育人價值？針對這一問題，HPM網絡研修班開展了“公理化思想數學閱讀課”的課例研究，以期從數學史中汲取養料，將公理化思想滲透到數學課堂教學中。課例研究經歷了選題與準備、研討與設計、實施與反饋、整理與寫作四個環節，最終形成了公理化思想閱讀課HPM課例［4］。本文分析了課例研究的完整過程，以期為公理化思想的教學以及其他HPM課例研究提供參考。

二、HPM課例研究

（一）選題與準備

1.問題聚焦

根據主題特點及教學進度安排，HPM網絡研修班擬訂以“等腰三角形的性質”為研討主題。通過對蘇科版教材幾何體系的深入分析，研究者發現“等腰三角形的性質”這一內容位于蘇科版八年級上冊。而教材是在七年級下冊就引入了演繹證明的方法，介紹了一些定義、定理、命題等基本概念，并對之前探索過的一些結論進行了嚴格的說理證明。在學習了嚴格的說理證明后，學生本應具備初步的演繹推理能力，初步認識公理化思想。但在現實教學中，筆者發現很多學生并不了解幾何體系的構建路徑，也不理解什么是公理化思想，對于數學證明的信念與態度呈現消極狀態。因此，本研究以“等邊對等角”的證明為載體，設計一節閱讀課，以滲透公理化的數學思想。

2.歷史研究

（1）《幾何原本》第一卷命題I.5

等腰三角形的性質“等邊對等角”的證明方法，除了作頂角的角平分線、底邊上的中線和高構造全等三角形的證明，還可以從腰所在直線上構造全等，例如作兩腰的中線、高和底角平分線的證法、普羅克拉斯的兩腰任截等長線段構造全等的證法、帕普斯的將等腰三角形想象成兩個三角形的證法以及歐幾里得在《幾何原本》中給出的兩腰延長線上任截等長線段構造全等的證法［5］。在此用現代符號語言詳細介紹歐幾里得在《幾何原本》中命題I.5的證法。

命題I.5 如圖1，在△ABC中，已知AB=AC，求證：∠ABC=∠ACB。［6］

（2）公理化思想方法

公理化思想最初是由亞里士多德提出的，他從哲學的角度構建了論證的模式，闡述了兩個關鍵問題：一是論證開始的前提是不需要論證的；二是論證過程要遵循三段論的推理形式［7］。歐幾里得把亞里士多德初步總結出來的形式邏輯的演繹推理方法應用到幾何學中，把幾何學知識按照公理化的方式組織安排，系統化為一個合乎邏輯的有機整體，完成了數學史上的重要著作《幾何原本》［8］。

《幾何原本》被譽為是樸素公理化思想的代表作，其中給出了原始概念的描述性定義，并以5條公理、5條公設為基礎，用邏輯演繹的方法來展開推理，得到465個命題。隨著數學研究的不斷深入，人們發現雖然公理的選取方式不止一種，但從不同的公理系統出發推導出的理論都是自洽的。

在初中幾何教學中，我們仍然以《幾何原本》的邏輯體系為主要依據，根據樸素公理化思想，引導學生從原始概念出發，利用幾條不加證明的基本命題，通過嚴格的邏輯推理，運用演繹推理的方法得到整個幾何體系。

（二）研討與設計

1.初步設計

通過對教材與史料的分析，筆者發現教材用簡單的方法就證明了“等邊對等角”，但《幾何原本》卻選用了非常復雜的證法。教材將全等三角形的SAS、ASA、SSS判定都認定為基本事實。但在《幾何原本》中，這些都是作為須證的定理而存在的。基于此，筆者就考慮引導學生通過分析《幾何原本》和教材幾何體系之間的異同來滲透公理化思想。根據對教材和相關歷史素材的分析，結合實踐經驗，課例研究者擬訂了以下初步教學設計。

（1）教學目標

①初步理解數學證明的嚴密性，發展學生的初步演繹推理能力。

②通過分析《幾何原本》中命題I.5證法的復雜成因，感悟公理化思想。

（2）教學重難點

①教學重點：分析《幾何原本》中命題I.5證法的復雜成因

②教學難點：公理化思想的滲透

（3）教學過程

教師在課前印發閱讀材料，材料包括兩部分內容：一是歐幾里得和《幾何原本》的簡介。二是《幾何原本》第一卷的定義、公理、公設、命題1～4及命題5的證法。為方便閱讀，所有命題和證明過程均轉換成現代數學符號。

2.研討交流

為了進一步發揮研究共同體的力量，HPM網絡研修班專門組織了教學研討會。首先由課例研究者簡要介紹初步的教學設計、歷史素材的應用以及困惑，隨后大家針對教學目標、教學重難點、教學過程的設計進行討論。經過充分研討，大家達成以下共識：①《幾何原本》作為樸素公理化思想的經典代表，其教育價值十分豐富，如何讓學生深刻體會這種思想值得大家思考。②《幾何原本》命題I.5證法復雜正是其“極致”嚴謹所致，而這也正是《幾何原本》最經典之處。因此，“為什么命題I.5證法如此復雜？”這個問題應該貫穿探究始終。③《幾何原本》邏輯體系嚴謹、嚴密的表現是多方面的，可以引導學生從多角度進行探究。

3.改進設計

根據HPM研修班的交流與討論，公理化思想應強化問題的引領和注重多角度逐漸滲透。改進后的教學設計如下。

（1）教學目標（同教學設計I）

（2）教學重難點（同教學設計I）

（3）教學過程

課前印發的閱讀材料中，增添了３條命題及其證法：角平分線作法（命題I.9）、中點作法（命題I.10）、高的作法（命題I.12）。同時，還加入了一個思考問題：歐幾里得《幾何原本》命題I.5為何采用這種復雜的證法？

（三）實施與反饋

課例原定由研究者在初二進行教學，但受新冠肺炎疫情（2022年12月26日，國家衛生健康委員會發布公告，將新型冠狀病毒肺炎更名為新型冠狀病毒感染）影響錯過了教學進度。因此，研究者嘗試在初三復習課中實施該課例。該課例的實施共進行了兩輪，第一輪教學后發現，課堂上主要都是教師在講解，留給學生思考交流的機會較少。根據第一輪試教中發現的問題，研究者重新調整了課堂節奏并進行了第二輪試教，收到了較好的教學效果。

課后，研究者對全班學生進行了問卷調查。調查顯示，92%的學生能認識到基本事實的基礎性地位，98%的學生能理解演繹邏輯的論證方法，78%的學生能認識到幾何大廈就是以基本事實為根基，逐步完善，并形成體系的。此外，學生對幾何學的興趣變得更加濃厚，迫不及待地想了解幾何學的發展歷程。

（四）整理與寫作

教學實施之后，授課教師和研究者共同撰寫了課例論文。課例論文一共分為六個部分：一是引言，說明了公理化思想方法的重要性；二是歷史素材的選取，介紹了與公理化思想息息相關的歷史材料；三是教學設計與實施，呈現教學設計的實施情況；四是學生反饋，展示學生對公理化思想的理解；五是課例評析，從數學史的運用方式、數學史的價值兩個維度對本節課進行評析；六是結語，說明本節課的不足以及學生的收獲。

三、教學反思

“公理化思想數學閱讀課”經歷了選題與準備、研討與設計、實施與反饋、整理與寫作四個環節，最終形成了一份HPM課例。通過對HPM課例生成過程的研究，筆者對以下方面進行了反思。

（一）活化數學歷史材料

數學史蘊含了豐富的教學資源，展示出了知識發生發展的歷程，但是如何將沉寂千年的數學史融入數學課堂并促進課堂教學，這是一個值得深入探討的問題。在這節課例中，教師嘗試將數學史材料及核心問題整理成材料發給學生閱讀，學生先初步閱讀思考，課堂上圍繞公理化思想設置探究性問題串，深入討論幾何體系的構建根基與構建過程。這避免了簡單照搬歷史然后草草收尾的情況，使數學史在課堂中煥發了新的生命力。

（二）充分延展數學課堂

公理化思想有著深刻的內涵，要想讓學生理解領悟絕非一朝一夕之事。因此，在本節課中，教師嘗試整理部分閱讀材料，讓學生閱讀思考，但也只是起到一個引導作用而已。要深刻理解公理化思想，教師最好能夠帶領學生讀一讀《幾何原本》部分內容，讓學生身臨其境地感受公理化思想的嚴謹性。教師還可以給學生布置數學寫作任務，用任務驅動法閱讀《幾何原本》，延展數學課堂，讓課堂的45分鐘變成碰撞思想的起點。

（三）探索最佳教學時機

學生的思維發展具有一定的階段性，把握思維發展的最佳階段，尊重認知發展的規律，才能夠達成課堂教學效益的最大化。這節課例最初的設計想法是在初二實施，此時剛剛引入演繹證明，學生也初步積累了一些證明經驗，但此時學生的邏輯推理能力相對較弱。最后該課例選擇在初三復習課實施，此時的學生已經形成了較為完善的知識體系，積累了豐富的幾何證明經驗。從課后問卷調查來看，初三復習課進行實施或許也是一個不錯的選擇。至于這節閱讀課是選擇在學生剛剛接觸演繹證明，還是學生已經積累豐富的證明經驗后再實施，或許還值得深入探討。

參考文獻：

［1］周春荔.數學觀與方法論［M］.北京：首都師范大學出版社，1996.

［2］房得陽，楊宇瓊.公理化方法及其對中小學數學教學的啟示［J］.數學教學研究，2016（9）：16-22.

［3］溫建紅，劉曉靜.公理化方法對培養學生數學核心素養的意義及啟示［J］.數學教學研究，2020（1）：2-5，29.

［4］胡永強，劉志峰，孫丹丹.古今對照，發展學生數學公理化思想：以等腰三角形兩底角相等為例［J］.數學通報，2021（3）：38-42.

［5］汪曉勤，栗小妮.數學史與初中數學教學：理論、實踐與案例［M］.上海：華東師范大學出版社，2019.

［6］歐幾里得.幾何原本［M］.燕曉東，譯.北京：人民日報出版社，2005.

［7］史寧中.數學基本思想18講［M］.北京：北京師范大學出版社，2016.

［8］徐利治.數學方法論選講［M］.武漢：華中科技大學出版社，2000.

（責任編輯：陸順演）