逆行推導(dǎo)　以圖解圖

何康康

一、提出背景

立體幾何是研究空間圖形中點、線、面位置關(guān)系的學(xué)科，在中職數(shù)學(xué)中占據(jù)非常重要的教學(xué)地位，其中的二面角問題更是歷年浙江高職考試必出的考題。中職數(shù)學(xué)不含空間向量教學(xué)內(nèi)容，因此學(xué)生僅適用幾何法解決求解二面角問題，將立體問題轉(zhuǎn)化成平面問題，再結(jié)合直線與直線垂直、直線與平面垂直等公式定理，進行一系列推理與計算，最終解決問題。英國實證主義史學(xué)家H.T.巴克爾也曾說：“幾何是邏輯決策最完美的范例。”立體幾何真正的韻味，就在于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚@也是中職學(xué)生比較欠缺的數(shù)學(xué)能力。

現(xiàn)實教學(xué)中，絕大多數(shù)中職生對求解二面角問題望而生畏，即便將立體幾何中的定理性質(zhì)等熟記于心，也會常常找不到恰當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)過程，從而遇上解題瓶頸，產(chǎn)生厭學(xué)棄學(xué)心理。筆者利用UMU對本校三百多名高三學(xué)生展開“空間角問題求解能力”調(diào)查，結(jié)果顯示，面對2018年浙江省單考單招數(shù)學(xué)試卷第33題，僅7.7%的學(xué)生表示會解并能寫出相應(yīng)的解題思路，而70.5%的學(xué)生表示會放棄此題，因為不會寫具體解題過程。因此，找到問題根源，幫助學(xué)生克服困難，找到那條推理的路線，成了職教教師該思考的一個問題。

二、游戲啟發(fā)

走迷宮圖是老少皆宜的思維游戲，不僅趣味十足，還能鍛煉參與者的觀察能力、邏輯思維能力等，具有很高的思維訓(xùn)練價值。經(jīng)常玩的人會發(fā)現(xiàn)，想要在如此多而繁雜的路線中找到那條連接起點和終點的正確路線，從終點走向起點是最明智的選擇。稍一對比即可發(fā)現(xiàn)，起點到終點尋找路線，會有非常多的分叉口，稍有不慎就會走進絕路，而終點走向起點的位置正好避開了絕大部分的岔口，從而順利通關(guān)。這種現(xiàn)象，正好與學(xué)生在求解二面角等幾何問題時的思維模式不謀而合。受此啟發(fā)，在實際教學(xué)中筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試走“逆行路線”，從結(jié)論出發(fā)尋找“走向”題目條件的“路徑”，繪制出解題的“逆推導(dǎo)圖”，從而獲得證明思路，這種方法有效地提高了學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維能力，促進學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角去分析思考問題，準(zhǔn)確表達自己的思想和觀點，形成良好的邏輯思維品質(zhì)。

三、案例呈現(xiàn)

下文中，筆者選取2019年浙江省單考單招數(shù)學(xué)試卷第33題為例，在課堂上嘗試引導(dǎo)學(xué)生繪制逆推導(dǎo)圖，完善解題過程，具體情況如下：

第33題（本題滿分10分）如圖1，正三棱錐的側(cè)棱長為

2，底面邊長為4。

（1） 求正三棱錐的全面積；

（2） 線段的中點分別為D、E、F，

求二面角的余弦值.

師：三棱錐的全面積的計算公式是什么？

生：因為正三棱錐的底面是一個正三角形，各條側(cè)棱等長，所以我們只需要計算出△ABC和△PAB的面積，即有S全=

3S△PAB+S△ABC.

師：那么，請同學(xué)們根據(jù)題目條件完成第一小題吧！

生：S△ABC = absinC =? × 4 × 4sin60°=4（圖2）

∵PA=PB，E為AB的中點∴PE⊥AB，∵PA=2， BE=2，則PE=2

∴S△PAB =? × AB × PE =? × 4 × 2 = 4，（圖3）

∴S全 = 3S△PAB+S△ABC = 3 × 4 + 4 = 12+4

師：第（2）小題中，要求二面角D-EF-A的余弦值，先要找出二面角的平面角，如何做輔助線，才能找出這個平面角呢？

生：取線段EF的中點O，連接DO， AO，∠DOA即為二面角D-EF-A的平面角（圖4）。

師：你如何確定∠DOA即為二面角的平面角呢？

生：因為DO， AO都垂直于二面角∠DOA的公共棱EF。

師：那DO， AO都垂直于EF的依據(jù)又是什么呢？

生：因為在正三棱錐中，側(cè)棱PB=PC，而點D， E， F分別是PA， AB， AC的中點，根據(jù)中位線定理，DE=PB=PC=DF，所以△DEF是等腰三角形，所以有DO⊥EF；而AF=AC=AB=AE，所以AO⊥EF

師：那么要求∠DOA的余弦值，需要知道哪些條件呢？

生：需要知道三條邊DO， AO， AD的長，根據(jù)三角形相似，DO=PM=，AO=AM=，AD=PA=.

師：已知這三條邊后，需要什么知識點來求余弦值？

生：已知三邊求余弦，用余弦定理。

師：請同學(xué)們正確繪制出解題的逆推導(dǎo)圖（圖5），并完善解題過程。

結(jié)果顯示“逆推導(dǎo)圖”的繪制，有效幫助學(xué)生梳理了解決問題的邏輯線，清晰呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和題目條件之間的聯(lián)系與步驟細節(jié)，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)核心概念和問題相互之間的邏輯聯(lián)系。如同羅增儒教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實踐》一書中指出：盡管數(shù)學(xué)試題千變?nèi)f化，但深入研究還是具有一定規(guī)律，教師就是指引學(xué)生尋覓這些規(guī)律的“領(lǐng)路人”。在立體幾何中解決線面角、面面角等問題，只要能夠?qū)ふ业侥敲匆粭l“逆推”路線，解題思路便水到渠成了。

四、回顧反思

《課標(biāo)（2017年版）》在“課程性質(zhì)”部分提出數(shù)學(xué)教育要“引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界”。在立體幾何中求線面角或二面角的問題，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推能力和數(shù)學(xué)語言表達能力極好的載體。反思“逆推導(dǎo)圖”的繪制教學(xué)，筆者認為，有如下幾點作用：

（一）梳理思維路線，解題水到渠成

一個問題的解決，通常會遇到各種無關(guān)或類似有關(guān)的旁支因素干擾，從而使問題的解決之路迷霧重重。然而在數(shù)學(xué)情境中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過繪制“逆推導(dǎo)圖”，有效地避開旁支知識的思維干擾，借助正確抽象的數(shù)學(xué)概念和公式、定理等，進行形式化的邏輯推理、論證和分析，從而解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，最終幫助學(xué)生在知識技能形成和運用過程中養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維，實現(xiàn)自我完善的效果。“逆推導(dǎo)圖”的繪制不僅可以應(yīng)用于二面角問題的解決，也可以運用于其它問題情境。

（二）形成嚴(yán)謹(jǐn)思維，助力推理素養(yǎng)

蔡宏圣老師說過：“顯性的知識技能，終究會被慢慢淡忘；而隱性的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，教學(xué)方法思想，更易于促進終身受益的素養(yǎng)的形成。”對邏輯推理素養(yǎng)，強調(diào)“能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)”。立體幾何問題通常需要從二維角度去觀察并判斷三維問題，再結(jié)合想象并運用推理完成問題的論證和解決，非常考驗學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。“逆推導(dǎo)圖”以框圖的形式架構(gòu)空間想象和邏輯推理之間的橋梁，讓問題解決的思路可視化、形象化，更易于學(xué)生接受和把握。

（三）樹立自主意識，提高數(shù)學(xué)自信

學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心的原因之一，是他們沒有摸到那條隱藏在數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)問題之間的邏輯線，從而解決不了數(shù)學(xué)問題感受到挫敗，久而久之便失去了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主性。然而許多數(shù)學(xué)問題，從所需結(jié)論出發(fā)去尋找解題思路，要比從條件出發(fā)尋找思路來的簡潔和直接。學(xué)生在“逆推導(dǎo)圖”中獲得成功體驗后，將其嘗試運用于其他數(shù)學(xué)情境的問題求解，更容易走出一條屬于自己的解題之路，并在此過程中養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的邏輯思維，獲得成功體驗。在不斷的體驗成功后，學(xué)生自然便能重拾自信，自主參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)了。