如何求解函數零點問題

王亮亮

函數的零點是指函數 y = f （x） 與 x 軸交點的橫坐標，即 f （x） = 0 時 x 的取值.常見的函數零點問題有：（1）求函數零點的個數；（2）求零點的取值范圍；（3）證明零點的存在性；（4）由零點求參數的取值范圍.掌握不同類型零點問題的特點和求解的方法，有助于提升解答函數零點問題的效率.本文主要談一談下列兩類函數零點問題及其解法.

一、求零點的個數

求函數零點的個數問題，通常要求根據已知的函數解析式，求函數在定義域內零點的個數.解答這類問題，往往要先令函數 f （x） = 0 ，若函數式可分解為幾個因式的積，可通過解方程求得函數零點的值，進而確定函數零點的個數；若函數式不能進行因式分解，此時可利用導函數與函數單調性之間的關系，判斷出函數的單調性，并畫出函數的圖象，借助函數圖象和零點存在性定理來確定函數零點的個數.

例1

解：

解答本題，需根據函數零點的定義，將求函數零點的個數問題轉化為函數 y = a 和函數 y = e x - 2x - 1 圖象的交點的個數問題，通過研究導函數的性質，判斷出函數的單調性，即可畫出函數的大致圖象；通過數形結合，確定 a 取不同值時兩個函數圖象的交點的個數，進而確定函數零點的個數

例2

證明：

一般地，判斷連續函數在某個區間上是否有零點，要先用導函數的零點將定義域劃分為幾個單調區間；然后在每個單調區間上，利用函數的圖象和函數零點的存在性定理進行判斷：如果函數 y = f （x） 在區間 [a，b] 上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 f （a）· f （b）< 0 ，那么函數 y = f （x） 在區間 （a，b） 內有零點，即存在 c ∈（a，b） ，使得 f （c）= 0 ，這個 c 也就是方程 f （x）= 0 的根

二、由零點求參數的取值范圍

由已知的函數零點求參數的取值范圍問題一般具有較強的綜合性.如果函數式中的參數可分離出來，如 a = f （x） ，則可將問題轉化為求 f （x） 的最值問題，利用導數法、基本不等式、函數的單調性求出函數的最值，即可確定 a 的取值范圍.如果函數式中的參數不能分離出來，就需先討論參數對函數式、圖象的影響；然后對參數進行分類討論，根據函數的零點確定滿足題意的參數的取值范圍.

例3

解：

因為函數 f （x） 是分段函數，所以需對兩個區間段上的函數式分別進行討論.我們根據函數零點的定義，先將問題轉化為 f （x） 和 f （-x） 的交點的個數問題；然后判斷出函數 f （x） 和 f （-x） 的單調性；再結合圖象研究兩個函數有 5 個交點的情形，列出對應的不等式，進而求出參數的取值范圍.

例4

解：

我們先將問題轉化為 f （x） 和 y = x - 2 只有1個交點時，求參數的取值范圍問題；然后結合函數的圖象進行分析.借助函數的圖象來研究函數零點問題，可以快速確定零點的位置，有助于我們快速求得問題的答案.

函數零點問題側重于考查函數零點的定義、零點的存在性定理、導數的性質、基本函數的圖象和性質的應用.可見，熟練掌握并靈活運用函數基礎知識以及數形結合思想，是解答函數零點問題的關鍵.