例析軌跡方程的幾種求法

褚玉霞

求軌跡方程問題經常出現在解析幾何試題中.這類問題常與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識相結合，具有較強的綜合性，且解題過程中的運算量較大.解答這類問題的常用方法有直接法、定義法、相關點法、參數法等.下面重點談一談軌跡方程的三種求法.

一、直接法

直接法是指根據動點所滿足的幾何條件，直接列出等量關系式，化簡該式即可求得動點的軌跡方程.在解題時，要仔細審題，尋找一些點、線段、角之間的幾何關系或關系式，靈活運用點到直線的距離公式、直線的斜率公式、兩點間的距離公式、正余弦定理等建立關于動點的方程.

例1.

解：

本題較為簡單，可采用直接法求解.設出動點的坐標，根據? =0、 =-? 建立關于 x、y 的關系式，通過化簡即可求得 M 的軌跡方程.在運用直接法求得動點的軌跡方程后，還需考慮題中出現的一些約束條件，尤其要關注對 x 、y 的限制條件.

二、定義法

若動點所滿足的條件與一些曲線的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義相吻合，就可以運用定義法來求軌跡的方程.這就要求同學們要熟悉并靈活運用圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，將動點看作曲線上的點，將定點視為圓的圓心、橢圓的焦點、雙曲線的焦點、拋物線的焦點，求得圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程中的參數，即可求得動點的軌跡方程.

例2

解：

由動圓與圓 O1 、圓 O2 之間的關系便可建立關系式 |MO2| - |MO1| = 3 ，而 O1 、O2 為定點，由此可以聯想到雙曲線的定義：平面內與兩……