一種精確判斷閏年的算法探究

趙則名

張永強? 高級教師，湖南省十佳科技教師。科普中國2021年十大科普人物獎獲得者，全國校園發(fā)明創(chuàng)意大賽、湖南省青少年科技創(chuàng)新大賽、湖南省創(chuàng)新編程與智能設計大賽、湖南省科學調(diào)查體驗活動評審專家組成員。

親愛的讀者，在閱讀本文之前，請打開手機中的日歷，調(diào)到指定日期1582年10月，你會發(fā)現(xiàn)什么？

日歷上居然沒有10月5日—10月14日，少了10天時間！你一定會很驚訝。

其實，這并不是手機軟件出現(xiàn)了錯誤。這一切都要從閏年說起。

公歷年份中，平年有365天，閏年有366天。公歷年份是4的倍數(shù)的一般是閏年，但公歷年份是100的倍數(shù)時，必須是400的倍數(shù)才是閏年。《C語言程序設計》（第三版）中將這種描述邏輯化，給出的判斷閏年的算法為：1.能被4整除，但不能被100整除的年份；2.能被100整除，又能被400整除的年份。這就是我們常說的“4年1閏，100年不閏，400年補1閏”的現(xiàn)行歷法閏年規(guī)則（簡稱“400年97閏”）。

縱觀歷法發(fā)展史，閏年規(guī)則其實經(jīng)歷了多次演變。

一、閏年規(guī)則的演變

現(xiàn)行的公歷又叫格里歷，于公元1582年10月由羅馬教皇格里高利十三世頒布，其因內(nèi)容簡潔、精度較高，且便于記憶逐漸被各國采用，成為國際通用歷法。格里歷的前身是儒略歷，公元前45年就開始在西方推廣實施，由于當時的天文觀測手段還沒有那么發(fā)達，儒略歷的閏年規(guī)則是“4年1閏”（簡稱“400年100閏”）。隨著時間推移，人們逐漸發(fā)覺，儒略歷會引發(fā)“春分飄離”現(xiàn)象——即春分日期不斷提前。

16世紀末，天文學家發(fā)現(xiàn)儒略歷給出的日期與真實日期已有10天的誤差，春分甚至提前到3月11日。這引發(fā)了教皇格里高利十三世的歷法改革，其主要做法是：頒布法令，將公元1582年10月4日（星期四）后的一天直接改為10月15日（星期五）；在儒略歷的規(guī)則下新增一條規(guī)定——世紀年（年份為整百數(shù)）必須要被400整除才設為閏年，否則設為平年。該規(guī)定將儒略歷“400年100閏”修正成格里歷的“400年97閏”，提高了閏年規(guī)則的精度。

由于該法令直接刪除了儒略歷多閏的10天，導致1582年10月日歷上的10天“不翼而飛”。現(xiàn)行公歷閏年規(guī)則會不會再次發(fā)生“春分飄離”的現(xiàn)象呢？這需要從天文學中尋找答案。

二、閏年規(guī)則的本質(zhì)

地球在繞地軸自轉(zhuǎn)的同時圍繞太陽公轉(zhuǎn)，所以地球上有了晝夜更替、四季輪換。地球公轉(zhuǎn)一周為一年，天文學上有恒星年和回歸年之分。

恒星年是地球公轉(zhuǎn)的真正周期，采用的是鐘表時體系，多用于天文學計算。從太陽中心看，恒星年是地球中心從天空中的某一點出發(fā)，環(huán)繞太陽一周，又回到此點的時間。

回歸年是歷法年，又稱“太陽年”“季節(jié)年”，采用的是地球表面真太陽時體系。從地球中心看，回歸年是太陽中心在黃道上連續(xù)兩次經(jīng)過春分點的時間間隔，也是太陽連續(xù)兩次直射北回歸線的時間間隔。目前，用于歷法計算的回歸年周期為365日5時48分46秒。

歷法中一年的時間只取回歸年周期的整數(shù)日部分，那么閏年規(guī)則的本質(zhì)就是：補足回歸年周期中多出的5時48分46秒的誤差。4年后，回歸年中的零頭“5時48分46秒”會累計少計23時15分4秒。按儒略歷（400年100閏），每4年閏1天（補24時）后又會累計多計44分56秒，400年后，累計多計74時53分20秒。依據(jù)格里歷（400年97閏），每400年少閏3天（減72時）。這樣，還會存在每400年多計2時53分20秒的誤差，該誤差雖然很小，但經(jīng)過長時間累積，必然再次導致“春分飄離”現(xiàn)象。

三、閏年問題的數(shù)學建模

我通過數(shù)學模型進一步精確分析閏年規(guī)則，完善判斷閏年的算法。

分析漸近分數(shù)的歷法學含義可得：4年閏1天是對回歸年較好的逼近；29年閏7天更逼近些；33年閏8天再精密些；128年閏31天更加精密。400年中有3個128年，故31×3+? =97天，便是現(xiàn)行的閏年規(guī)則；……故知，每43 200年中閏10 463天能精確吻合回歸年周期。

由上可知，判斷閏年的算法可用回歸年分數(shù)部分表達，公式3為帶誤差的回歸年分數(shù)表達式：

公式4的含義為：每4年1閏，其中逢100年不閏，每400年補1閏；其中逢3200年不閏，每86 400年補1閏。每86 400年為一個完整循環(huán)，完全補齊回歸年分數(shù)部分帶來的誤差。

由此可得，精確判斷閏年算法為：1.能被4整除，但不能被100整除的年份；2.能被100整除，又能被400整除，但不能被3200整除的年份；3.能被3200整除，又能被86 400整除的年份。

四、閏年判斷算法的改進

根據(jù)公式4推導出的判斷條件，繪制精確判斷閏年算法流程圖。

五、總結(jié)

本文的數(shù)學模型是基于回歸年周期365日5時48分46秒推導演算的，這種精確判斷閏年的新算法是對現(xiàn)行算法的優(yōu)化補充。從理論上，對揭示閏年本質(zhì)和修正閏年誤差有著積極作用。

實際上，回歸年周期并非一成不變。根據(jù)天文觀測，20世紀70年代以來，地球自轉(zhuǎn)的時間平均在18個月左右會增加約1秒。這會導致在遙遠的將來，可能不再需要設置閏年，我們的歷法會迎來新的變化。總之，當3200年來臨時，到底該不該閏的問題，還是留給后人決定吧。

專家點評

這篇文章講解了歷法的發(fā)展和演變，介紹了公歷、儒略歷和格里歷的閏年規(guī)則以及其歷史背景和誤差問題，同時提到了天文學中恒星年和回歸年的概念。文章使用了多種資料和描述方式，簡單易懂，能吸引讀者的閱讀興趣。

文章的優(yōu)點在于深入淺出地解釋了歷法發(fā)展的歷史和規(guī)則，特別是詳細解釋了閏年規(guī)則，介紹了格里歷的修正及其歷史背景，讀者能通過文章了解歷法的演變和發(fā)展歷程。接著，作者提供了數(shù)學建模分析思路與閏年判斷算法的改進。

總的來說，這篇文章對歷法的介紹很有價值，讀者可以更全面地認識和理解歷法，了解歷史和天文學。

建議更加詳細地闡述一些概念和原理，如恒星年、回歸年等，適當增加對相關科學原理的解釋，增強文章的科普性。