高階災難保險的價格

VIX期權是芝加哥期權交易所2006年推出的基于波動率指數的期權。VIX看漲期權和標準普爾500指數（SPX）看跌期權對投資者來說都是“災難保險”，二者功能顯然高度重合。為什么在SPX期權已廣泛交易的情況下，投資者還對VIX期權有需求呢？本文介紹的作者與合作者撰寫的《高階災難保險的價格：VIX期權的例子》研究了該問題。

衍生品的一個重要作用是提供完全市場，即幫助投資者實現傳統資產無法實現的投資。投資者交易衍生品Z，說明衍生品Z能幫助他們實現傳統資產X和衍生品Y都無法實現的投資。芝加哥期權交易所（Chicago Board Options Exchange，簡稱CBOE）在1983年、2004年、2006年相繼推出標準普爾500指數（S&P 500 Index，簡稱SPX）期權、波動率指數（Volatility Index，簡稱VIX指數）期貨、VIX期權。每一個都大受追捧，說明這些衍生品分別起到不同的作用。VIX指數衡量的是SPX波動性，VIX期貨使投資者能直接投資股市波動性。VIX期權是基于VIX的衍生品，因此和VIX期貨功能部分重疊。“波動反饋效應”導致SPX和VIX強烈負相關，因此當股災發生時，VIX指數會猛烈上漲。VIX看漲期權和SPX看跌期權因此都是“股災保險”，功能再次高度重疊。因此，一個重要問題是：VIX期權到底有什么超越VIX期貨和SPX期權之處？

盡管原有文獻中已經有一些VIX期權定價模型，但關于上述經濟學問題沒有系統的回答。筆者和威斯康星大學比約恩·埃拉克（Bjorn Eraker）教授合作撰寫的2022年12月刊發于《金融學期刊》（Journal of Finance）的論文《高階災難保險的價格：VIX期權的例子》（The Price of Higher Order Catastrophe Insurance： The Case of VIX Options）（下簡稱“論文”）研究了這一問題。

論文實證部分通過三種方法來研究上述衍生品之間的關系。第一，對沖回歸（Hedge Regression）。假設現在我們要對沖SPX看跌期權，教科書的方法是德爾塔對沖（Delta hedge）［采用SPX指數交易基金（Exchange Traded Funds，簡稱ETFs）］和維加對沖（Vega hedge）（采用VIX期貨）。論文作者發問：當控制了這兩種傳統的對沖工具后，VIX看漲期權還能幫助對沖SPX看跌期權嗎？論文作者發現，該問題的答案顯著地隨經濟周期或市場環境的變化而變化。在“衰退（高股市波動）”時期，二者關系緊密，VIX期權能顯著地幫助對沖SPX期權。在“擴張（低股市波動）”時期，二者關系微弱，VIX期權幾乎不能幫助對沖SPX期權。第二，主成分分析（Principal Component Analysis，簡稱PCA）。不同于原有文獻中用PCA來分析股票或債券的橫截面數據，論文作者將SPX期權和VIX期權按虛實程度（moneyness）分類，然后使用PCA來研究“股災保險市場（SPX看跌和VIX看漲期權）”的因子結構。作者發現，前四個主成分，即SPX的水平（SPX level）、SPX的偏離度（SPX skewness）、SPX的尾部（SPX tail）、SPX的波動率（SPX volatility）能解釋絕大部分SPX和VIX期權的變動。但是不同虛實程度的SPX、VIX期權在四個主成分上的承載很不相同。這和之前的實證發現相符，都說明VIX期權和SPX期權的功能不完全重疊。第三，期權隱含波動率曲線。原有文獻發現SPX期權的隱含波動率曲線呈現“凸性微笑”（convex smile），且這一特征相當穩定，并不太隨市場環境的變化而變化。論文作者發現，VIX期權的隱含波動率曲線在“衰退”時期呈現“凸性微笑”，在“擴張”時期卻呈現“凹性皺眉” （concave frown）。這一原有文獻中沒有過的有趣發現，再次印證VIX期權的“事前定價”有獨特的、不同于SPX期權之處。

論文理論部分建立了一個基于稟賦的一般均衡模型來解釋上述發現。類似［班薩爾—亞倫2004（Bansal-Yaron 2004）］模型，消費稟賦有時變的波動率。波動率隨機地向上跳躍，跳躍有時變的發生概率。因此，此模型是一個雙因子模型——“波動率”和跳躍的“波動率的波動率”。在均衡中，消費稟賦的雙因子傳導成股票指數的雙因子，繼而傳導成VIX指數的雙因子。任一因子上升時，VIX指數上升，同時通過貼現率的上升使SPX下降。因此，論文作者把雙因子稱為“貼現率因子”。除此之外，論文作者把消費稟賦理解為第三個因子——“現金流因子”。

該模型內生了股票指數、VIX指數、SPX期權、VIX期貨和VIX期權的價格。該模型有“低波動率（擴張）”時期和“高波動率（衰退）”時期。擴張時期，現金流風險更重要。因為在均衡里VIX指數只反映了股票指數分布的高階矩，VIX不受現金流風險的影響。現金流風險因此只影響SPX期權而不影響VIX期貨或期權。因此，擴張時期，SPX期權和VIX期權之間關系微弱，VIX期權幾乎不能幫助對沖SPX期權。衰退時期（也即是波動率因而貼現率變動很大的時期），貼現率風險更重要。貼現率風險既影響VIX期貨和VIX期權，也影響SPX期權。因此，衰退時期，SPX期權和VIX期權之間關系緊密，VIX期權能很好地對沖SPX期權。即使論文作者在對沖回歸里控制了VIX期貨，這仍不足以消除VIX期權的作用。這是因為期權價格是波動率因子的“凸函數”，而VIX期貨幾乎是波動率因子的“線性函數”，控制VIX期貨不足以控制期權的“凸性”（convexity）。該模型因此解釋了對沖回歸的結果。

該模型還解釋了VIX期權隱含波動率曲線隨經濟周期的變化。低波動率時期，VIX的向上跳躍風險更重要，因此隱含波動率曲線向上傾斜，并且呈現“凹性皺眉”。高波動率時期，VIX的向下擴散（diffusion）風險更重要，因此隱含波動率曲線向下傾斜或比較平坦，并且呈現“凸性微笑”。這和論文作者在數據中觀察到的十分相似。

該模型在參數校準（將消費和股利數據進行了匹配）之后不僅能解釋VIX、SPX衍生品數據，還同時能解釋很多傳統的資產定價謎題，例如股權溢價、低無風險利率、方差風險溢價、短期股權回報可預測性等。原有文獻中現有的一般均衡資產定價模型（長期風險、罕見災難、習慣等）也能解決這些謎題，但不能解釋VIX期權的價格或VIX、SPX期權的關系。因此，論文作者的模型代表了這類一般均衡資產定價模型文獻的前沿。

該模型還有額外的技術貢獻。例如揭示了“遞歸偏好”和“雙因子”在解釋VIX衍生品價格時的必要性。前者是因為，在一般均衡里，VIX指數只能是消費稟賦分布高階矩的函數。要使VIX指數有非零的“風險價格”，消費稟賦的高階矩必須有非零的“風險價格”。其必要條件便是投資者有“遞歸偏好” （recursive preferences）。后者是因為，單因子模型必然導致VIX期權和VIX之間的相關性為100%，這與數據不符。也必然不能解釋VIX期權隱含波動率的時變。此外，在該模型和文獻中，方差（variance）都被假設遵循仿射過程。而VIX是衡量波動率的指標（volatility measure），從方差到波動率有一個平方根轉換，這給推導VIX期權的定價公式增添了額外困難，克服這一技術困難不僅是論文的貢獻，而且對于解釋VIX期權隱含波動率曲線大部分時間呈現“凹性皺眉”是必要的。

原有文獻里已經有一些VIX衍生品定價模型，但是這些模型幾乎全是簡化形式的模型，不能回答三個經濟學問題：第一，VIX期權為什么“不多余”？第二，VIX衍生品價格能揭示投資者的偏好嗎？第三，VIX衍生品價格和消費、股利數據存在內在沖突嗎？論文填補了這些文獻空缺。

（楊翱翔為北京大學匯豐商學院助理教授。原論文《高階災難保險的價格：VIX期權的例子》（The Price of Higher Order Catastrophe Insurance： The Case of VIX Options）2022年12月刊發于《金融學期刊》（Journal of Finance）。本文編輯/孫世選）