關注幾何圖形的確定性 提高試題命制的科學性

孔原平

[摘? 要] 科學性是試題命制最基本的準則. 本文提出在命制初中幾何試題時，要理清圖形結構特征，關注幾何圖形的確定性;合理呈現表達形式，提高試題命制的科學性;加強一題多解研究，破除慣性思維的局限性.

[關鍵詞] 幾何圖形;確定性;科學性;命題思考

試題命制是教師專業化道路上不可或缺的一項重要的基本技能，它是日常教學工作的延伸. 一套高質量的試題既能體現立德樹人的根本任務，又能發揮教育教學作用，對教育教學效果做出客觀、科學的評價. 然而，在初中數學試題命制的實踐過程中，題目設置不科學的現象時有發生，尤其是初中幾何中的計算題，在命題中稍有疏忽，就會出現問題. 文章中的例題是筆者在中考復習課堂上收集到的試題，試圖通過本文與初中數學教師進行溝通交流關于試題命制時應注意的問題.

真題再現

（2020年南充市第6題）如圖，在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（ ? ? ）

A.? ?B.

C. a-b ? ? ?D. b-a

試題分析

本題圖形簡潔，條件清晰，問題明確，是中考中一道非常普通和簡單的幾何題. 命題人把這道題放到選擇題的第6題，顯然是把它看作是一道容易題，學生得分率也應該較高.

試題是通過黃金三角形為背景，立足對三角形內角和，角平分線的定義，等腰三角形的性質與判定，以及線段的和差等知識點的考查. 雖然涉及的知識點較多，但都是較為容易掌握的基礎知識. 學生只需通過觀察、猜想、演繹推理，將等腰三角形的底邊轉化到腰上，再通過線段的加減即可解決問題. 本題考查了學生的識圖能力、分析問題、解決問題的能力，簡單中蘊含了豐富的幾何知識以及對基本技能的考查.

解法探究

解法一? 因為∠A=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°.

因為BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=36°，∠A=∠ABD=36°，∠BDC=∠C=72°.

所以AD=BD，BC=BD，AD=BC=b.

又因為AC=a，所以CD=a-b. 故選C.

解法一無懈可擊，命題人也應該是這樣設想的，肯定大多數學生也能得到正確選項C. 可是，一個城市的中考考場上少則幾萬，多則十多萬學生在考試，難道他們的想法都會按照命題人的設想去思考嗎？我們不能排除學生可能會有以下解法.

解法二? 由解法一可得∠DBC=∠A=36°.

又因為∠C=∠C，所以△BDC∽△ABC.

所以=，即=，所以CD=.

解法三? 利用角平分線和平行線組合，巧妙構建新的等腰三角形，再利用相似三角形的性質解答本題.

如圖2，過點D作DE∥/AB交BC于點E，所以△DEC∽△ABC，=.

由法一得∠ABC=∠C=72°，所以∠DEC=∠C=72°，所以DE=DC.

又因為∠ABD=∠DBC=36°，所以∠ABD=∠BDE=36°，∠DBC=∠BDE，所以BE=DE，BE=DC，所以EC=b-CD ，即=.

所以CD=.

解法四? 如圖3，過點D作DE∥CB交AB于點E，

所以∠DBC=∠EDB，=.

因為∠A=36°，AB=AC，所以∠ABC=∠C=72°，AE=AD，所以BE=DC.

又因為BD平分∠ABC，所以∠DBE=∠DBC，所以∠DBE=∠EDB，△EDB∽△DBA.

所以BE=ED，DC=ED，=，所以CD=.

解法二、解法三和解法四主要都是利用相似三角形的判定與性質求CD的長. 這種解法在幾何學習中，對圖形的相似變換掌握較好的學生，往往能夠根據題目條件自然聯想到的方法.

解法五? 如圖4，作AE⊥BC于點E，BF⊥DC于點F.

因為AB=AC，所以CE=BC.

由法一得BD=BC，所以CF=DC.

在Rt△BFC中， cosC=;在Rt△AEC中，cosC=.

所以=，即=，所以CF=;

所以CD=2CF=.

解法五利用同一個角的三角函數值是定值建立等量關系，巧妙的求出CD的值. 雖然該方法也需要證明△ABD與△BDC是等腰三角形，與解法一比較明顯復雜得多，但解法一與解法五是從兩種不同的角度思考解決問題的策略.

尋根解惑

五種解法得出三個不同的答案，筆者也感覺困惑，它們之間是否存在一定的內在聯系，是否可以統一為一個相同的結果？帶著這個疑問，筆者繼續探究發現將a-b，，這三個式子中任意兩個相等，化簡后均可得a2-ab-b2=0，解得a=b或b=a，將a=b或b=a分別代入三個不同的答案，最終都得到CD=b或CD=a這兩個相同的結果.

用正弦定理和倍角公式，也能說明a與b之間的確存在內在的關聯. 因為在△BDC中，=，即=，化簡得DC=①;在△ABC中，=，化簡得a=2bcos36°②.①÷②得DC=.

通過以上探究，說明該三角形中a與b之間的確存在內在的關系. 也正是這個原因，使我們在解答這個題時，由于解題路徑不同導致呈現的結果不相同. 這種題目設置不科學的現象，導致試題對教育教學效果不能給出客觀、科學的評價.

命題思考

1. 理清圖形結構特征，關注幾何圖形的確定性

為什么會有上述情況發生？這就不得不說到圖形的確定性——只要圖形的形狀確定了，那么該圖形的內角度數，各邊長度之間的比例關系就是確定的，由此得到的該幾何圖形的各種性質也是確定的. 該例題圖形中由∠A=36°，AB=AC，就說明△ABC的形狀已經確定，只是大小不確定，但其腰長與底邊的比==2cos36°是確定的值. 同樣根據題目條件可知△DBC與△ABD都是等腰三角形，他們的底角分別是72° 和36° ，它們的形狀也是確定的，那么它們腰長與底邊的比也應該是一個確定的值. 也正是這個原因，導致三種不同的計算結果，但經驗證它們都是正確的.

所以，編制一道幾何試題時，教師必須對問題本質、圖形結構、相互之間數量關系與位置關系有充分的認識，在給出數據時，要認真思考圖形中是否存在“量”之間的制約關系，充分考慮各個條件是否具有相容性，以免出現試題不科學的現象.

2. 合理呈現表達形式，提高試題命制的科學性

《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》要求依據課程標準科學命題，提高命題質量，明確指出客觀性試題要有確定的答案. 科學性、正確性、邏輯性、規范性、層次性、創新性等是試題命制中必須遵守的原則. 從專業化的眼光來看，命題必須首要注重科學性[1]. 科學性是任何考試都必須遵循的基礎性原則[2]. 命制試題的過程中命題人必須用心思考，規避因題目的敘述或呈現形式的不科學所帶來的偏差或風險，更不能因為題目設置不科學給考生帶來心理恐慌. 如果將題目中的“CD=（ ? ? ）”改為“CD的長可以表示為（? ?）” 這樣的敘述就比較科學. 因為這樣的描述表示下面有一個代數式是正確的，但并不排除還有別的表達形式. 試題中“D選項”是一個無效選項，因為“b-a”明顯是一個負數，就相當于自然去掉一個選項. 如果改為設置更科學，更能體現題目的思維含量和知識的覆蓋面.

3. 加強一題多解研究，破除慣性思維的局限性

作為一名數學教師，尤其是教學經驗教為豐富的教師，往往會憑經驗和直覺去思考問題，導致教學行為和解決問題方法單一化，模式化. 筆者在沒有任何暗示的情況下，讓八位數學教師各自做這道題，結果七位教師不到1分鐘都給出了答案C. 一位教師開始得出了CD=，但一看選項中沒有這個答案，略加思考，改成了選C. 可惜！他沒有對本題提出質疑. 8位教師給出了同一個答案，究其原因就是教師們有了固化的幾何模型或幾何自覺所導致. 所以，教師在日常教研中，要有意識地從多角度思考問題，透過現象看本質，通過一題多解探尋直達思維本質的自然解法[3]. 因此，破除慣性思維的局限性，加強一題多解研究，對試題命制的科學性和合理性有十分重要的作用.

中考是每個初中生學習生涯中重要的一次人生大考. 考場上任何情緒上的波動都可能給考生造成一定的心理壓力. 試卷中的考題設置不科學，會給考生帶來較大的心理壓力，甚至會造成較大的負面影響[4]. 再者，中考題對教師的教學也具有很強的導向作用. 所以中考命題，肩負著巨大的社會責任，容不得半點紕漏. 它既要關注知識、能力、素養的考查，又要注重適當難度、有效信度和恰當區分度的設置，還要關注試題的科學性、合理性和嚴謹性[5].

總之，中考試題的命制工作是一項復雜的系統工程，每一道中考試題都必須經命題專家組反復論證、精雕細琢，才算交付了一份滿意的答卷. 一線教師在平常的試題命制中，同樣應該加強研究，提升試題命制能力，在命題中提升自己的專業素養.

參考文獻：

[1]龐靈鋒. 從一道試題的改編談試題命制的科學性[J].? 數學教學通訊，2014（18）：53-55.

[2]張會杰. 試題命制的科學性：結構要素及其技術規范[J]. 考試研究，2019（01）：59-64.

[3]沈丹. 一道中考幾何題的解答探究與拓展思考[J]. 中學數學教學參考，2021（05）：25-27.

[4]張寧. 中考命題中存在的問題及建議——以2014年全國各地中考試題為例[J]. 中學數學雜志，2015（02）：60-63.

[5]劉成龍. 中考數學命題錯誤分析[J]. 中學數學，2020（14）：70-72.