基于整體觀念視域下的單元復習教學探索

牛德芳

【摘 要】“三位數乘兩位數”這個單元結束后，再無整數乘法的教學，所以在單元復習時，教師不能只定位于對此單元的知識復習和應用，而應以全局視角考慮整數乘法在小學數學學習中的作用。具體教學中，教師可以關注單元網絡結構，將所有整數乘法進行關聯，促進學生形成遷移類推的能力；結合多元表征的運用，讓學生深入理解整數乘法的意義，構建出乘法豎式計算的模式；找尋兩種數量關系的共通點，拓寬學生思路，架構乘法意義下的通用關系模型；將積的變化規律融合于計算和數量關系的運用中，深化學生對知識的理解；融合“口算、估算和筆算”形式，提升學生靈活計算的能力。

【關鍵詞】整數乘法 關注整體 單元復習

一、問題緣起：由一節課堂實踐引發的思考

一位教師執教了四年級下學期“三位數乘兩位數”的單元復習課，以下是這位教師的教學整體流程：

環節一：以復習單的形式，同伴交流，闡述“三位數乘兩位數”的單元學習內容。（教學目標：學生在相互補充中復述了本單元的知識點，包括“三位數乘兩位數”的筆算，積的變化規律，常見的數量關系。）

環節二：完成三道豎式題（其中一題為兩個乘數均末尾有0），核對答案，引導學生將三道題劃分成兩類。[教學目標：復習三位數乘兩位數的筆算方法，將豎式計算分類（乘數末尾有0和無0）]。

環節三：

題組訓練：

（1）250×8=2000，則25×8=？125×24=？

（2）☆×□=60，則☆×2×□=？☆×2×□×3=？（☆×3）÷（□÷10）=？

（3）根據長方形的寬與長的成倍變化，求長方形的面積。教學目標：積的變化規律的綜合應用。

環節四：復習數量關系，并通過學生自編的題目引導學生應用數量關系解決實際問題。

（“單價、數量、總價”的關系題目共3題，“速度、路程、時間”的關系題目共2題；教學目標：用常見的數量關系解決實際問題。）

“三位數乘兩位數”這個單元的內容主要有筆算三位數乘兩位數（乘數末尾有0和無0）、積的變化規律、常見的數量關系等。如果從教師的教學內容和達成的教學目標及本單元教材呈現的主要內容來看，此教師已經完成教學目標。但是，“三位數乘兩位數”是整數乘法的最后一個單元，在數與代數領域中有著重要作用，教師在單元復習課時若只是停留在回顧、鞏固和應用這三個環節上，那么價值和意義不大，而且只能讓學生的思維停留在低階層次。筆者認為應在整數乘法知識中尋找聯結點，構建知識脈絡，基于整體視角，注重體系的建構，重視拓展與應用，助力結構的完善和遷移。

二、叩問思考：對教材文本的解讀和對學情的把握

（一）弄清教材編排的特點，抓準知識邏輯序列

通過梳理不同版本教材（蘇教版、人教版、北師大版和滬教版），筆者發現各版本教材對于整數乘法的編排均有不少相同之處。縱向來看，各版本教材中乘法運算的知識布局（無論口算、筆算、估算的計算方式還是實際問題的解決等）具有基于原有經驗類比推理學習新知的意圖，而且是循序漸進、自然延伸的；橫向對比，“三位數乘兩位數”在各版本教材中均是整數乘法的最后一個階段。以蘇教版為例，小學階段整數乘法學習內容的具體分布：二年級上學期，內容為表內乘法；三年級上學期，內容為兩、三位數乘一位數；三年級下學期，內容為兩位數乘兩位數；四年級下學期，內容為三位數乘兩位數。

整數乘法的知識分散于二至四年級，并且緊密相連。到了五六年級，整數乘法的知識是學習其他數學知識的重要基礎，學生不僅要掌握整數乘法的知識內容，還要學會靈活運用這些知識解決問題。所以，對于“三位數乘兩位數”的復習課教學，教師不能只著眼于知識鞏固，而應貫穿知識的整體性，幫助學生構建系統的知識體系。

（二）了解學生現行認知起點，準確定位教學重點

為了充分了解學生的現有認知基礎，精準把握學生的學習需要，筆者對學校四年級4個班的所有學生進行了一個前測調研（有關“三位數乘兩位數”這個單元），發現學生的學情有如下特點：

1.知識梳理呈現單一，不成系統

學生對此單元的知識整理主要分為三類：第一類是對知識的再次摘抄型，即將所學知識進行搬運，重新摘抄；第二類是邏輯紊亂型，即將所學知識謄抄下來，沒有邏輯性；第三類是明晰個性型，即知識整理有獨特的方式，反映出個性化和創造性，但是缺乏關聯和融通。學生對此單元的知識認識是零散的、淺顯化的，尚未形成知識鏈。因此，“三位數乘兩位數”的復習課應該幫助學生深刻理解其本質內涵，梳理知識體系，動態理解知識的本質屬性。

2.知識應用能力較弱，不夠靈活

學生對此單元的基礎題目掌握較好，而且能夠關注易錯點；但是對于融合性和拓展性較強的題目，學生的靈活運用能力和分析問題的能力較低，綜合能力相對較弱。因此，復習課應該幫助學生打開思路，創設更多應用知識的學習機會，提高學生綜合運用知識的能力。

三、統整籌劃：重設“三位數乘兩位數”復習課的目標視角

面對教材文本和編排，是否應該關注相關知識的前沿后伸和類比遷移？面對學生的學情，教師教學時是否要在單元復習課上重拾這個單元每課時已經多次鞏固的知識點？這節復習課的教學目標視角應該落在何處呢？基于上述對教材的剖析和對學生學情的定位，筆者認為“三位數乘兩位數”復習課的目標視角應該重設，并思考如下：

（一）目標視角一：兩種模型的建構

1.整數乘法筆算模型的建構

從兩、三位數乘一位數，到兩位數乘兩位數，再到三位數乘兩位數的筆算學習，是類比推理的過程，是自然延伸的合理過程。在此基礎上，學生應該能夠抽象出三位數乘三位數、四位數乘四位數筆算的模型結構并能總結出算法，那么，多位數乘多位數的筆算方法也就明晰了。由此來看，整數乘法筆算模型的建構可以培養學生從整體上把握筆算乘法的內涵，提高學生的數學素養。

2.數量關系相關的通用模型建構

“單價、數量、總價”和“速度、路程、時間”兩個數量關系知識點是小學階段唯一被作為一個課時單獨教學的。兩個數量關系之間雖說沒有必然的聯系，但有共通之處：其一是兩個數量關系均隱含著函數關系，一個量不變，第二個量的變化會引起第三個量的變化；其二是這兩類數量關系是乘法意義下的常見數量關系，若拓展延伸，可以進一步豐富此類型的數量關系，構建成為“每份數×份數=總數”這樣的乘法意義下的數量關系的結構模型。

（二）目標視角二：多元表征對整數乘法筆算的關聯理解

在整數乘法筆算的學習過程中，雖然乘數的數位不一樣（兩、三位數乘一位數，兩位數乘兩位數或三位數乘兩位數等），但是，學生均可以結合直觀表征（如小棒圖、方格圖和長方形圖，以及點狀圖、面積圖和抽象圖等），借助乘法分配律來理解豎式意義，最后形成數學化的形式表示，達成從直觀運算向算法運算的過渡。復習課時，教師可以抓住多元表征在不同類型整數乘法筆算的使用，關聯共同點，提升學生的思維能力。

（三）目標視角三：計算形式的融合及靈活使用

正確運算、理解算理、方法合理是運算能力的核心要素。運算方式的學習是為了解決生活場景中遇到的不同問題，學生在碰到不同的情境時應該會選擇口算、估算、筆算等合理的計算方式進行計算。所以，本節復習課的站位不應該只處于筆算，而應該拓展至不同的計算形式，這樣才能讓學生在提升計算能力的同時，還能有直面思考和擇優的機會。

（四）目標視角四：“積的變化規律”融合于計算和應用

作為“三位數乘兩位數”這個單元中的一課時，“積的變化規律”在復習課中的目標應是關聯于本單元的其他知識點。筆者認為可以關注兩點：一是要緊扣豎式計算來總結積的變化規律；二是要將其滲透在數量關系的應用中。

四、重組實踐：“三位數乘兩位數”單元復習教學路徑

基于以上教學目標的重設，筆者從結構化的視角出發，對此單元復習教學進行復盤和重組，開展“三位數乘兩位數”的課堂實踐，形成了此類復習課教學的可行性路徑。

（一）縱向梳理：凸顯模型思想的生成，促進知識結構的重建

1.整數乘法筆算模型的建構

“豎式”算法是解決計算問題的方法，反映的是人們求簡的思路，以及對其具有的“規定”特征的理解。學生回顧兩、三位數乘一位數，兩位數乘兩位數和三位數乘兩位數的知識，打通其關聯性，抽象出三位數乘三位數和四位數乘三位數的模型圖，并梳理出算法。（如圖1）學生在類比中經歷了學習的過程，對于整數乘法的算法和算理會更加明朗，也能從整體上理解筆算的本質。

2.乘法意義下的通用模型建構

“三位數乘兩位數”這個單元中的兩個重要數量關系為“單價、數量和總價”“速度、時間和路程”，這兩個數量關系其實能夠構建出相同的結構體系。課上，教師可以讓學生在解決問題的過程中感受兩種數量之間的關系，并有層次地建構出乘法意義下的與數量關系相關的通用模型結構，將“速度”“單價”整合為“每份數”，將“數量”和“時間”整合為“份數”，將“總價”和“路程”整合為“總量”，那么，兩種數量關系其實就可以轉化為“每份數、份數和總量”之間的關系，學生在復習的過程中就有一個更深入的理解。

（二）聚焦重點：重視多元表征的關聯運用，加深對知識本質的理解

筆算屬于程序性知識，學生對筆算的學習是形成經驗的過程。為了讓學生理解筆算過程中每一步的意義，教師通常會采用直觀表征的形式強化學生對意義的理解。在小學階段每一次整數乘法筆算學習的過程中，教師均將多元表征融入其中，但是究其本質，每次學習中使用的多元表征都有相關聯的地方。如圖2所示（其實每種類型的筆算還可以用點子圖、小棒圖等來進行表征，本表格僅以長方形圖的面積來表征）：

（三）變式選擇：關注計算形式的融合，提升學生運算能力

運算能力是構成小學數學素養的重要成分之一，也是學生理解和應用數學過程中不可或缺的關鍵能力之一。培養學生運算能力的重點在于理解算理，核心在于根據不同的問題情境靈活地選擇不同的計算方式。“三位數乘兩位數”這個單元的重點內容雖然為筆算，但是，如果把這節復習課提升為整數乘法復習的階層，教學內容就不能局限于筆算了，而是應該將其與口算和估算相結合，為學生創設運算的不同視域，讓學生在思辨中選擇合適的運算方式。舉個簡單的例子，如圖3所示：

此題不需要豎式計算算出答案，可以通過估算（判斷積的末尾和根據積的范圍進行判斷），得出正確答案是中間的豎式。

（四）綜合應用：完善積的變化規律認識，實現從聯結到拓展的思維結構化

積的變化規律需要合理而有效地使用，才能發揮其作用。筆者認為可以將其歸結為兩大部分來使用：一種是計算；一種是在解決問題中找尋變量和不變量的函數關系。復習課時，教師可以幫助學生提煉出不同的筆算模型，讓學生加深積的變化規律在此種情況下使用的印象。

另外，在本單元乘法意義模型下兩種數量關系的使用中，若把這種類型的數量關系變換成函數關系，那么，當第一個量不變、第二個量成倍變化時，第三個量也隨之成倍變化，其實，這種變化就可以用積的變化規律來解釋。由此來看，積的變化規律除了在常見的運算中使用外，在乘法意義下的數量關系中也經常被靈活使用。

總的來說，基于整體的“三位數乘兩位數”單元復習課，應該由點到面、由面到體，給予學生知識學習的立體高位，整體把握整數乘法（包括筆算、口算和估算）的靈活使用；強化整數乘法筆算的知識屬性以及關聯，形成乘法豎式的模型；找尋數量關系中的融通之處，建構出乘法意義下的數量關系模型；探索積的變化規律的使用范圍，重視在“算”中的使用，也在數量關系中尋找變與不變之處，提升學生的函數思想意識。