思維生長：數(shù)學“板塊題組”設計策略探究

金建忠 吳秋霞

【摘 要】習題練習在數(shù)學教學中起著至關(guān)重要的作用，但習題內(nèi)容單一、形式單調(diào)、練習單向等問題制約了學生數(shù)學思維的發(fā)展。為此，本文論述在數(shù)學教學中，利用“板塊題組”通過“內(nèi)容交織”“方法適切”“練習啟迪”三個設計策略實現(xiàn)在解決問題的過程中促進學生思維生長的目標。

【關(guān)鍵詞】“板塊題組” 思維生長 設計策略

在數(shù)學教學中，如果說例題是學生學習知識的紐帶，那么習題練習就是學生形成技能的盤石。在教學實踐中，筆者發(fā)現(xiàn)，很多學生對于數(shù)學基礎(chǔ)題的解決比較順利，但當題目出現(xiàn)變式、程度加深時卻一籌莫展，這在一定程度上影響了學習思維的發(fā)展。分析后主要原因有：一是數(shù)學習題設計內(nèi)容單一，缺少思維訓練；二是數(shù)學習題設計形式單調(diào)，缺少變式訓練；三是數(shù)學習題設計練習單向，缺少深度思考。

而“板塊題組”可以很好地解決上述問題，讓學生學會遷移，實現(xiàn)學習進階。那么，如何設計“板塊題組”至關(guān)重要。我們可以從“內(nèi)容交織”“方法適切”“練習啟迪”三個策略去設計“板塊題組”，實現(xiàn)在解決問題的過程中促進學生思維生長。

一、思維“由淺入深”伸展：“板塊題組”“內(nèi)容交織”設計策略

（一）“交匯”——層次與坡度共推

在教學中，教師可以把練習題按內(nèi)容分為三個層次：第一個層次是基礎(chǔ)練習，使學生初步形成技能；第二個層次是拓展練習，使學生鞏固技能；第三個層次是思維訓練，使學生發(fā)展技能。這樣能使練習適應學生的個別差異，使每一個學生都能得到發(fā)展。如在“分數(shù)乘除法”練習中，教師可設計以下題組（見圖1）：

第一組是基礎(chǔ)訓練題，使學生形成基本的分數(shù)（小數(shù)）乘除計算技能；第二組是拓展訓練題，使學生通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再運用得到的規(guī)律編題，計算即鞏固技能，編題即拓展技能；第三組是思維訓練題，使學生通過觀察數(shù)據(jù)特點、符號特點和乘法分配律的數(shù)學模型合理選擇數(shù)據(jù)，組成多個符合要求的算式，在解題過程中既鞏固技能又訓練思維。

（二）“交融”——形式與思辨并行

學生對于練習題的接受度還在于練習形式的變化上，因此，教師在設計練習題組時要注意對同一項知識或技能的訓練，設計形式多種多樣的練習，這樣就能激發(fā)學生的學習興趣，更能從不同的角度培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。如在學習“百分數(shù)的意義”時，教師可以設計這樣的題組：（1）首飾的含金量一般用“12K”“18K”“20K”“24K”等表示，24K表示足金，12K表示含金量50%。如果一件質(zhì)量為60克的首飾中，金的含量大約有51克，你認為這件首飾的含金量用多少K表示比較合理？（2）一件質(zhì)量為60克的20K的首飾中，金的含量大約是多少克？題目創(chuàng)設了一個非常真實的情境，形式新穎，但又非形式化，此題對學生提高解決問題的能力非常有益，是“百分數(shù)意義”在新的情境中的應用，關(guān)注的是綜合運用知識解決實際問題，知識的核心是百分數(shù)的意義，能力的核心是數(shù)量關(guān)系的分析，核心價值在于思考與辨析能力的提升。

（三）“交互”——開放與探究共存

所謂“開放型練習”，其實是相對于條件完備、結(jié)論確定的封閉性的問題而言的，它的特征是一般沒有現(xiàn)成的算法與確定的答案，要求學生善于聯(lián)想、敢于創(chuàng)新，具備靈活運用知識的能力，能使思維輻射到與問題相關(guān)的一些知識點上。如在“比例”的教學中，教師可以設計這樣的題組：下面兩個圓柱的體積相等，請你根據(jù)題中提供的信息解決兩個問題，一是求比值S：h;二是寫出兩個比例。（見圖2）

本題表面上看似乎是在考查學生圖形與幾何的體積計算知識，實質(zhì)是借用體積計算的方法指向比例的基本性質(zhì)，需要學生有較高的思維靈活性和知識變通、創(chuàng)新應用的能力。題目要求寫出兩個比例，顯然只能用題目給出的四個數(shù)據(jù)，根據(jù)比例的意義，必須是兩個比的比值相等才能組成比例，但題目中給出的四個數(shù)據(jù)中有兩個是字母，無法得到明確的比值。所以，我們必須改變思路，根據(jù)兩個圓柱的體積相等，可以得到等式：12S=32h，于是，我們可以根據(jù)這個等式寫出8個比例，選擇其中任何兩個都是正確的，S與h比值問題也就迎刃而解。

二、思維“由點到面”卷入：“板塊題組”“方法適切”設計策略

（一）“串聯(lián)”——融會知識脈絡

在數(shù)學練習中，其實很多習題存在著相似或是相近的現(xiàn)象，有些甚至可以用同一個“模型”表示，以這些知識點為載體進行題組設計，把相似的習題編排在一起，就能將若干知識點串聯(lián)起來，化零散為整體，使之系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。教師把一些形同質(zhì)異、形異質(zhì)同等系列題組“串聯(lián)”在一起，可以使學生對知識的理解由淺入深、由表及里，也可以很好地訓練學生的審題能力，使學生逐漸把握知識，培養(yǎng)較強的思維能力和形成良好的思維品質(zhì)。教師可以在知識關(guān)鍵處設計，可以在知識易混處設計，也可以在知識的重難點處設計等。

（二）“變換”——探究深層紋理

我們所說的變式，其實就是創(chuàng)新，通過變換條件或形式多角度設計題組，使學生多一些比較和甄別的歷練，可以有效地突出知識的核心及外延。當然，變式不是盲目地變，應遵循學生認知規(guī)律，根據(jù)實際需要進行變式。在設計變式題組時，教師應抓住思維訓練這條主線，恰當?shù)刈兏鼏栴}情境或改變思維角度，培養(yǎng)學生的應變能力。如教學“點到直線的距離”時，對于課堂中的例題，學生能很好地理解；對于一般的習題，學生也能很好地掌握。但畫圖本來就是數(shù)學學習中的一大難點，稍有變化，學生就會無從下手，原因就是學生所學、所練、所畫形式單一，缺少變化，多為機械操練。因此，教師可以增設以下題組（見圖3）：

（三）“挖掘”——發(fā)現(xiàn)潛在價值

教材是眾多專家學者以及一線教師集體智慧的結(jié)晶，而數(shù)學習題又是數(shù)學教材的重要組成部分，每一道習題都有著它本身特有的價值。作為教師，我們要認真研讀教材，充分理解教材意圖，合理定位教學目標，認真界定內(nèi)涵與外延，仔細研究，大膽“挖掘”，善于發(fā)現(xiàn)這些習題的訓練價值，進行拓展與延伸性設計題組。如教材中有這樣一題（見圖4）：

（1）王叔叔開車從甲地到乙地，前2小時行了100 km，照這樣的速度，從甲地到乙地一共要用3小時。甲、乙兩地相距多遠？

（2）王叔叔開車從甲地到乙地一共用了3小時，每小時行50 km。原路返回時每小時行60 km，返回時用了多長時間？

顯然，這是一組正、反比例的解決問題題組，教材通過對比的方式用相同素材和相近信息，編出一組正、反比例的題，這樣的編排更有利于學生對比、判斷并正確解答，從而提高判斷能力和解決問題的能力。據(jù)此，教師可以讓學生自己適當改變題中信息進行改編，如王叔叔前2小時行了100千米，后來又行了3小時，照這樣計算，一共行了多遠？……也可以啟發(fā)學生編寫對比題組，如：（1）用邊長2分米的方磚鋪一間會議室，則需要450塊，如果用邊長3分米的方磚來鋪，需要多少塊？（2）用同一種方磚鋪地，30平方米的會議室鋪了60塊，那么100平方米的閱覽室要鋪多少塊？這樣的“挖掘”、拓展和延伸意義非同尋常，價值不可小覷，效果不言而喻。

三、思維“由靜變動”躍遷：“板塊題組”“練習啟迪”設計策略

（一）“變式”——叩啟求異思維

在數(shù)學學習中，學生常常會出現(xiàn)思維定式，即總是按照某種習慣的思路去思考問題，這樣不利于問題的解決，更不利于思維靈活性的提升。在數(shù)學教學中，教師可以用對比性的題組叩啟學生的求異思維。例如，請你用合理的方法計算“350×18”和“600÷25”，本題組通過“一乘一除”一組對比題，考查學生的多位數(shù)乘除法計算，命題立意指向能力，即思維與方法的靈活多樣及運用運算定律和性質(zhì)進行計算的能力，既可以考查學生基本計算方法的掌握情況，又可以考查學生靈活運用計算知識，追求計算方法合理、簡便的意識與能力，給不同水平學生創(chuàng)設了很大的思維空間。這兩道題都可以用不同的方法計算出結(jié)果，并且不同水平的學生可以有不同的方法。方法雖有許多種，但思考、甄別、判斷和選擇的過程才是題組的精髓和價值所在。

（二）“再造”——叩建思維體系

以生為本再造數(shù)學練習，讓學生盡可能多地自主學習，感悟、交流、發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑，主要依靠學生自己生成知識和能力。教師進行習題再造，設計“板塊題組”，引導學生在練習過程中溝通知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)思維體系。例如，在學生初步認識圓柱后，他們已經(jīng)知道圓柱由兩個圓和一個側(cè)面（長方形或平行四邊形）組成，教師提問學生，除了兩個圓配以合適的長方形或平行四邊形之外，還有其他方法可得到圓柱嗎？學生通過討論想到長方形旋轉(zhuǎn)也可以得到圓柱。于是，教師出示題組（見圖5）：

（1）長12厘米、寬5厘米的長方形分別以長邊和寬邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱的尺寸分別是怎樣的？請你分別寫一寫，再想一想，兩個圓柱大小一樣嗎？（2）這里有一個三角形和一個梯形，你想象下它們旋轉(zhuǎn)后又會變成怎樣的立體圖形，請你畫一畫。

這樣的題組設計，打破了學生認識圓柱的局限，對于學生空間觀念的發(fā)展尤為重要，但如果僅僅滿足長方形旋轉(zhuǎn)形成圓柱，定位太低；緊跟著，“分別以長邊和寬邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的圓柱的尺寸分別是怎樣的？”“兩個圓柱大小一樣嗎？”兩問提升了觀察、比較、空間想象等能力；最后，教師讓學生想象并畫三角形和梯形旋轉(zhuǎn)后的圖形，顯然讓學生對知識的理解、對空間的感悟達到了新的高度。當然，最有價值的是，學生對于圓柱的認識更為全面，對于立體圖形的認識更為深刻，由點到面，形成知識體系。

（三）“散聚”——叩響思維跳躍

設計題組應當事理相同，思路相通。在學生做完題目后，教師應該引導學生從發(fā)散的題型中聚攏知識的本質(zhì)屬性，進一步抽象概括出這類題目的特點和解題思路，揭示出其內(nèi)在規(guī)律，提升思維。（百）分數(shù)應用題題型千變?nèi)f化，錯綜復雜，一些學生對其無所適從、無從下手。其實，這類題目也是有章可循、有法可依的。教師在教學中可設計如下題組：

（1）一本書共90頁，小可已經(jīng)看了1—5，已經(jīng)看了多少頁？

（2）小可看一本書，已經(jīng)看了1—5，正好看了90頁，這本書有多少頁？

（3）小可看一本書，已經(jīng)看了1—5，還剩90頁，這本書有多少頁？

（4）小可看了90頁，比小愛多看了1—5，小愛看了多少頁？

（5）小可看了90頁，小可與小愛看書的頁數(shù)比是3：2，小愛比小可少看百分之幾？

（6）小可3小時看了90頁，這時已讀頁數(shù)比剩下頁數(shù)多1—5，照這樣的速度，小可還要幾小時才能讀完這本書？

設計這一題組，其出發(fā)點是讓學生在練習過程中進行滲透、對比和概括，引導學生抓住特征，理解本質(zhì)，提煉方法——找相等關(guān)系，實現(xiàn)“練一組，通一類，增智提能”的初心。

【參考文獻】

[1]巴黎.如何實現(xiàn)小學數(shù)學的深度教學[J].教育，2019（18）.

[2]吳烈.核心問題來引領(lǐng) 題組練習顯“神威”——淺談小學數(shù)學題組練習的設計與思考[J].小學教學研究，2017（16）.