課本習題 多維拓展 提升能力

曹猛

［摘 要］電磁感應現象及其綜合問題是高考重點考查的內容之一，也是高中學生學習的難點，電磁感應綜合問題中不僅蘊含了電磁學的諸多知識，而且包含了許多力學知識。文章主要以課本習題為母題進行多維拓展，提升學生運用牛頓運動定律、功能關系、動量定理、動量守恒定律以及能量守恒定律等物理基本規律解決電磁感應綜合問題的能力。

［關鍵詞］課本習題；電磁感應；框架模型；動力學綜合

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0053-05

電磁感應是中學物理主干知識之一，也是歷年高考的必考內容。在高考物理試題中，電磁感應力電綜合題是?？疾凰サ慕浀漕}型，這類題型經常涉及力（安培力動態變化）、運動（速度和加速度的計算）、能量（電能和其他形式能之間的轉化）、動量（安培力沖量的計算）、電路（電荷量和電功、電熱的計算）等知識。如此龐大的知識體系，學生在處理該題型時往往心有余而力不足。

本文以電磁感應中“導體棒切割”模型的復習為例，以教材習題為母題，進行多維拓展，并進行知識整合，進而提升學生解決電磁感應綜合問題的能力。

一、母題呈現

（新人教版高中物理教材選擇性必修第二冊第46頁第6題，已用代數運算替換數據運算）如圖1所示，阻值為r的導體棒ab沿固定的光滑導線框向右做勻速運動，線框中接有阻值為R的電阻。線框放在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于線框平面。導體棒ab的長度為L，運動的速度為v，線框的電阻不計。

（1）電路abcd中哪部分相當于電源？電動勢多大？內阻多大？哪個位置相當于電源的正極？哪一部分相當于閉合電路中的外電路？

（2）ab棒向右運動時所受的安培力有多大？

（3）ab棒所受安培力的功率有多大？電阻R的發熱功率有多大？導體棒ab的發熱功率有多大？從能的轉化和守恒角度說一說這三個功率關系的含義。

問題（1）要求學生能將具體問題轉化為常見的電路模型，并運用電路的相關知識解決相應問題。根據法拉第電磁感應定律可知，切割磁感線的導體棒ab相當于電源，且電源的電動勢為[E=BLv]，其等效電路如圖2所示，r為電源內阻；由楞次定律（或右手定則）可知，a端為電源的正極，adcb為閉合電路中的外電路，電阻R為外電阻。

問題（2）以相互作用觀念為載體，分析具體的安培力。由閉合電路歐姆定律可知，閉合回路中的電流[I=ER+r=BLvR+r]，方向為逆時針。根據安培力的公式[F安=BIL]得ab棒向右勻速運動時所受的安培力大小為[F安=B2L2vR+r]。

問題（3）以能量觀為契機，解決具體的實際問題。ab棒所受安培力的功率[P=F安v=B2L2v2R+r]，電阻R的發熱功率[PR=I2R=B2L2v2（R+r）2R]，導體棒ab的發熱功率[Pr=I2r=B2L2v2（R+r）2r]，顯然三者之間滿足[P=PR+Pr]。

《普通高中物理課程標準（2017年版2020修訂）》中指出，物理學科核心素養主要包括物理觀念、科學思維、科學探究、科學態度與責任四個方面［1］。本題的三個問題全方位地體現了相應的物理觀念（包括物質觀、運動觀、能量觀、相互作用觀等重要觀點、概念、規律），又涵蓋了建模思想、理想化方法、分析綜合等科學思維。

教材既是考試內容的載體，也是高考命題的依據，是由學科教育教學專家精心編制而成的，具有指導和統領教育教學的功能。教材上的例題、習題也是專家周密設計、精心構思、反復推敲后選定的，具有典型性和示范性。多數題目具有較強的基礎性，入口較淺，有利于學生夯實基礎知識；同時教材中的例題、習題更是經得起千錘百煉的，是可以挖掘提煉、拓展深化的。高三物理一線教師要把握好復習的方向，對教材習題進行深入挖掘，以拓展演變和聯系真實情境為策略，提升學生的綜合能力和物理學科核心素養［2］。

二、母題拓展

（一）問題拓展

拓展1.若保持導體棒ab以速度v向右勻速運動，現施加一水平方向的外力，問該外力的大小如何？方向如何？外力F做功跟回路中的能量轉化有何聯系？

解析：導體棒ab向右勻速運動，則外力F與安培力為一對平衡力，即[F=F安=B2L2vR+r]，方向水平向右。外力F做的功全部轉化為內外電路產生的焦耳熱。

隨著新課標和新高考的實施，動量定理、動量守恒定律由原先的選考知識變為必考知識，使動力學綜合問題的考查拓寬了思路，同時也為電磁感應知識的考查注入了新的生機。

拓展2.若已知導體棒ab的質量為m，當導體棒ab的速度為v時，撤去外力F，回路中還能產生多少焦耳熱？分析導體棒ab撤去外力F后的運動過程并計算導體棒ab還能滑行的距離。

解析：根據能量轉化及守恒定律可知，導體棒ab的動能最終全部轉化為回路的焦耳熱，即[Q=12mv2]。

撤去外力F后，導體棒ab在安培力的作用下做減速運動直至靜止，該過程中任一時刻根據牛頓運動定律有[BiL=ma]，即[B2L2vR+r=ma]，整理得[a=B2L2vm（R+r）]，導體棒在安培力的作用下減速，且加速度逐漸減小。

（二）情境拓展

如圖3所示，質量為m、阻值為r的導體棒靜止在固定的光滑且足夠長的導線框上，線框中接有阻值為R的電阻。線框放在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于線框平面。導體棒的長度為L，線框的電阻不計。

拓展1.若導體棒在水平向右的恒力F（已知）的作用下開始運動，分析導體棒運動過程中的速度、加速度如何變化。若經過一段時間[t]，導體棒的速度達到v，求該過程中導體棒運動的位移及電阻R產生的焦耳熱。

解析：導體棒由靜止開始，在恒力F的作用下向右加速運動，根據牛頓運動定律可得[F-F安=ma]，即[F-B2L2R+rv=ma]，速度[v]增加的過程中加速度[a]逐漸減小，最終[a=0]，此時速度達到最大值[vmax]，且[vmax=F（R+r）B2L2]。

經過一段時間[t]，導體棒的速度達到v的過程中導體棒并非勻加速運動，根據動量定理得[IF+I安=mv-0]，其中F為恒力，則[IF=F?t]，而[I安=-B2L2R+rx]，聯立得[x=（Ft-mv）（R+r）B2L2]。

根據能量守恒可知，[WF=12mv2+Q]，其中[WF=Fx=F?（Ft-mv）（R+r）B2L2]，[Q]為內外電路產生的總焦耳熱，且[QR]∶[Qr]=[R]∶[r]，聯立得[QR=RR+rF（Ft-mv）（R+r）B2L2-12mv2]。

拓展2.若導體棒在水平向右的外力F（未知）的作用下以加速度[a]向右做勻加速運動，從施加外力開始計時，分析外力隨時間變化的關系，并求出當導體棒的速度達到v的過程中，外力F的沖量。

解析：根據牛頓第二定律可得[F-F安=ma]，即[F-B2L2R+rv=ma]，又因為導體棒向右做勻加速運動，有[v=at]，代入得[F=ma+B2L2R+rat]。

計算外力F的沖量時由于外力F為變力，可以采用動量定理求解。

取導體棒的運動方向為正方向，導體棒m在勻加速運動到速度達到v的過程中，由動量定理可知[IF+I安=mv-0]，又因為[I安=-B2L2R+rx]，且[x=v22a]，聯立可得[IF=mv+B2L2v22a（R+r）]。

計算外力F的沖量時，也可根據上述F的表達式，作出F隨時間t的函數關系圖線，如圖4所示，圖中[t0=va]，[F0=ma+B2L2R+rat0=ma+B2L2R+rv]，圖線與坐標軸之間圍成的梯形面積即為外力F的沖量，亦可得[IF=mv+B2L2v22a（R+r）]。

以上拓展是從問題和情境兩個方面進行的，其實本題還可以進行更深層次的挖掘。倘若線框不是固定的，也可以在平面上運動？這就衍生出了雙棒切割模型。

（三）深度拓展

1.雙棒切割

如圖5所示，已知導體棒ab、cd的質量分別為m和M，有效電阻分別為r和R，靜置于固定在水平面的光滑且足夠長的導軌上。導軌處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面，磁場區域足夠大。導軌間距為L，電阻不計。

拓展1.若某時刻導體棒ab有向右的速度[v0]，導體棒cd沒有初速度，求此時導體棒ab兩端的電勢差[Uab]，以及回路能夠產生的總焦耳熱。

拓展2.若某時刻對導體棒ab施加一向右的恒力F，分析此后兩根導體棒的運動情況。

解析：在恒力F的作用下，導體棒ab立即向右加速，與此同時導體棒cd則會在安培力的作用下向右加速，設任意時刻ab棒的速度為[v1]，cd棒的速度為[v2]，等效電路仍如圖6所示?；芈分懈袘娏鳛閇I=BL（v1-v2）R+r]，可知兩者的速度差越大，產生的感應電流越大，由牛頓運動定律可得，ab棒的加速度為[a1=F-BILm]，且[a1]隨著感應電流的增大而減小；cd棒的加速度為[a2=BILM]，且隨著感應電流的增大而增大。最終兩導體棒以共同的加速度[a=FM+m]一起勻加速直線運動，速度差恒定為[v1-v2=MF（R+r）（M+m）B2L2]。

上述拓展在計算電流時可依據閉合電路歐姆定律進行，而含電容器的電路在電容器充、放電過程中電流是不可以用閉合電路歐姆定律列式求解的，只能用電流的定義式求解。

2.含電容器的導體棒切割

如圖7所示，已知導體棒ab的質量為m，有效電阻為r，靜置于固定在水平面的光滑且足夠長的導軌上，導軌的左端連接一電容為C的電容器。導軌處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面，磁場區域足夠大。導軌間距為L，電阻不計。

拓展1.電容器原先不帶電，某時刻給導體棒ab一向右的初速度[v0]，使其沿導軌向右運動，分析開關S閉合后導體棒ab的運動情況。

解析：給導體棒ab初速度[v0]，導體棒ab相當于電源，電容器瞬間充電，導體棒ab的一部分動能轉化為電能，導體棒ab的速度減小為[v1]。由動量定理得[-BIL?Δt=mv1-mv0]，其中[I?Δt]為流過導體棒ab的電量[q]，即電容器所獲得的電量，此時電容器兩端的電壓為[u=BLv1]，電容器所帶的電量[q=CBLv1]，聯立求解可得[v1=mv0m+CB2L2]，導體棒ab最終做勻速直線運動。

拓展2.原先電容器帶電量[Q]，且上極板帶正電，導體棒ab靜止，分析開關S閉合后導體棒ab的運動情況。

解析：開關S閉合，電容器放電，電容器相當于電源，導體棒ab受安培力的作用向右加速運動，加速度[a=BILm]，同時導體棒產生阻礙放電的反電動勢[E=BLv]，導致電流減小，則安培力及加速度均減小，直至為0，此后導體棒ab以最大速度[vm]勻速直線運動。

根據動量定理可得[BIL?Δt=mvm]，其中[I?Δt]為流過導體棒ab的電量，亦為電容器極板電量的變化量，[q=Q-CBLvm]，聯立求解可得[vm=BLQm+CB2L2]。

拓展3.若原先電容器不帶電，導體棒ab靜止，保持開關S閉合，對導體棒ab施加一水平向右的恒力[F]，分析此后導體棒ab的運動情況。

解析：導體棒ab在恒力F的作用下必向右運動，導體棒ab運動必產生感應電動勢，對電容器瞬間充電，設任意時刻充電電流為[i]，導體棒ab的速度為[v]，根據楞次定律和左手定則可以判斷，導體棒ab受到向左的安培力，由動量定理得[F?t-BiL?t=mv]，其中[i?t]為流過導體棒ab的電量，亦為電容器極板增加的電量，即[i?t=CBLv]，聯立求解可得[v=Fm+CB2L2t]，顯然導體棒ab做勻加速直線運動，加速度[a=Fm+CB2L2]。

高三物理復習教學要著眼于引導學生從新的視角去審視高中學過的物理知識，要引導學生把不同階段所學的不同內容進行適當整合，這對學生形成較為全面的物理觀念，培養高階思維品質是非常必要的［3］。上述拓展是在問題、情境上進行有限的拓展衍生，在平時的教學過程中還可以對線框進行拓展，如豎直平面的線框、斜面上的線框；導軌是否平行；線框的電阻是否考慮；磁場區域是否足夠大；磁感應強度的大小及方向是否變化；等等。

高三物理復習教學必須重視教材，尤其是理科的解題教學，倘若能將“教材習題”通過層層推進的方式和“高考試題”實施無縫對接，可以激發學生的學習熱情，提升教學效果。

三、試題再現

電磁感應綜合問題大多會涉及電磁感應、磁場、電路、動力學、能量、動量等知識。在注重對學生基本知識、基本技能進行考查的同時，又注重對學生的物理觀念（物質觀、運動觀、動力學觀、動量觀與能量觀）、科學思維（物理模型建構、分析推理能力）等核心素養的考查。鑒于篇幅限制，試題僅以圖片呈現。

2022年全國各地高考相關試題如圖8所示。

2021年全國各地高考相關試題如圖9所示。

縱觀近幾年全國各地高考試卷及模擬試卷，電磁感應“導體棒切割”模型類試題的綜合性強，物理情境變化空間大。這就要求一線教師在教學中緊跟核心素養的教育理念，盡早轉變“題海戰”的教學行為，引導學生在思維能力層面拾級而上，使學生的能力不斷提升，學生的認識由表及里，不斷加深，做好從“教材”到“高考”的跨越［4］，上出有“深度”的高三物理復習課；一線教師應學會從核心素養出發，精準把握復習教學方向，以聯系真實情境的拓展為策略，提升學生的綜合能力和物理學科核心素養，這也是新時代、新課標、新高考對我們提出的新的要求。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準：2017年版2020修訂［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 陳林芳，張新華.把握素養要素 精準復習教學：2021年浙江物理選考21題賞析與教學啟示［J］.中學物理教學參考，2021（13）：67-70.

［3］? 張紅明.高考物理備考中的整合教學實踐研究：以勢能專題復習為例［J］.物理通報，2020（10）：35-38.

［4］? 徐愛勇.如何實現解題教學從“課本”向“高考”的跨越：從教材一道數列習題談起［J］.中學數學研究，2018（2）：7-9.

（責任編輯 易志毅）