在“三角形的面積”課堂探究活動中滲透轉化思想的思考

【摘要】本文圍繞“三角形的面積”一課三角形面積公式推導過程中轉化思想的滲透展開教學思考與實踐探索：通過課前診斷了解學情，設計層次遞進的課堂探究活動；通過提供方格圖、箭頭圖等學習材料，引導學生對三類三角形面積推導過程展開實踐探索，在剪拼、倍拼活動中滲透轉化思想和推理意識；最終圍繞課堂有效探究提煉出探究活動設計應扶放結合、學習材料選用應適切有度、對學生的探究表現應做出積極回應三點體會。

【關鍵詞】三角形的面積 轉化思想 探究活動

【中圖分類號】G62 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）01-0065-03

在小學數學教學中，數學思想方法的滲透是重要的教學內容。轉化是面積計算公式推導過程中至關重要的思想方法。“三角形的面積”一課出自人教版教材五年級上冊第六單元“多邊形的面積”，屬于《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）所規定的第三學段的學習內容。《2022年版數學課標》在第三學段“學段目標”中明確提出要讓學生“探索幾何圖形面積和體積的計算方法”，在“內容要求”中明確提出要讓學生“探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式”“會估計不規則圖形的面積”，在學業要求中明確提出要讓學生“在解決圖形周長、面積的實際問題過程中，逐步積累操作的經驗，形成量感和初步的幾何直觀”等。事實上，在整個小學階段，平面圖形面積公式的探索一直貫穿著轉化思想的滲透和發展，其中平行四邊形的面積公式推導是轉化思想的啟蒙，三角形的面積公式推導則是轉化思想的深化。那么，如何在三角形的面積公式推導過程中全面滲透轉化思想呢？

《義務教育課程標準（2011年版）》在教學實施建議中明確指出：教學中注重結合具體的學習內容，設計有效的數學探究活動，使學生經歷數學的發生發展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑。而數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，需要在數學學習活動過程中逐步積累起來。通過分析教材可知，人教版教材為三角形面積計算公式的推導設計了兩條探究活動的路徑：其一，運用剪拼法，將三角形的底或高折半拼接，將其轉化成一個長方形或者平行四邊形，轉化前后的面積保持不變；其二，運用倍拼法，基于原三角形的特點構造出一個與其一樣的新的三角形，將兩個完全一樣的三角形進行拼接，使其轉化成為一個平行四邊形或長方形，轉化前后的圖形面積加倍。也就是說，關于“三角形的面積”教學，教師首先應引導學生經歷剪拼法、倍拼法的探索過程，從中滲透轉化的思想方法，再引導學生探索轉化前后兩個圖形之間的關系，發展推理意識，逐步形成三角形面積的空間觀念。

一、課前學情診斷

既然已經明確本課教學要讓學生“探索并掌握三角形的面積公式”，那么，教師需要給學生提供探索工具或學習材料嗎？進一步講，這個問題可以拆分為三個方面的小問題：第一，教師需要給學生提供方格圖嗎？第二，教師需要給學生提供三角形實物進行操作嗎？第三，三角形面積公式推導的關鍵點究竟是什么？要解決以上問題，必須了解學生的實際學情，以學情為基礎尋找適合他們課堂學習探索的正確方法。為此，筆者在課前對學情進行了檢測和診斷。

（一）關于方格圖的問題

可以預設兩種答案：一種是提供方格圖，一種是不提供方格圖。

當不給學生提供方格圖時，筆者給學生提供了等腰三角形和不等邊三角形，讓學生討論可以用幾種方法計算它們的面積。學生通過交流、反饋，一致認為可以將等腰三角形剪切、拼接，轉化為長方形，并由此認為，只有剪切的兩個三角形形狀一樣才可以實現轉化。接下來，筆者又讓學生思考：如何將不等邊三角形轉化成學過的圖形。結果顯示，大部分學生想不出要用倍拼法實現轉化。

當給學生提供方格圖時，筆者要學生求出邊長為1厘米的方格圖中的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積。學生基于以往的學習經驗，先后使用了數格子、剪拼法、倍拼法、公式法4種方法計算三種三角形的面積。在此過程中，由于有方格圖的過渡，學生基本都能在直角三角形內完成從剪拼法到倍拼法的過渡，但是對銳角三角形和鈍角三角形如何運用剪拼法轉化為學過的圖形存在學習困難。

（二）關于實物三角形的操作問題

其實，五年級的大部分學生都能在方格圖內運用倍拼法，并能結合圖示說明操作的過程，但是在對兩個一樣的銳角三角形、鈍角三角形進行實物拼組時卻出現了認知障礙，不知如何將兩個一樣的三角形進行翻轉、拼組才能拼出一個平行四邊形：離開了方格圖，學生就好比失去了拐杖。由此可見，學生的空間觀念仍有待發展。

（三）關于三角形面積公式推導教學的關鍵點問題

三角形面積公式的推導過程主要包括圖形轉化、尋找聯系、公式推導三個環節，這其中究竟哪個環節才是教學指導的關鍵點呢？筆者基于前測，發現學生在尋找圖形轉化前后圖形之間的等量關系方面存在認知困難，主要原因在于沒有抓住圖形的關鍵要素。經驗告訴筆者：通常情況下，學生往往更關注算式和結果，而容易忽略從算式走向公式的推理過程；大多數教師容易把教學重心放在探索圖形的轉化上，而忽略了對學生進行以上推理意識的培養。在核心素養導向的教學背景下，為了培養學生的推理意識和獨立思考能力，教師在讓學生探索圖形轉化的過程和方法的同時，必須融入對學生推理意識的培養，通過引導學生尋找圖形的關鍵要素以及圖形轉化前后的內部聯系，完成對三角形面積公式的推導過程。

二、課中教學實踐

筆者將教學過程設計為兩個階段：第一個階段，啟發學生按照角的特點對三角形進行分類；第二個階段，提示學生可以對直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三類不同的三角形的面積公式分別進行探索。探索過程可以分為兩個階段：先是探索直角三角形面積公式的推導，再探索銳角三角形和鈍角三角形面積公式的推導。

（一）直角三角形面積公式的推導

圍繞直角三角形面積公式的推導，筆者先給學生呈現了前測時學生自主用方格圖進行三角形面積轉化的5件作品，如圖1所示；然后讓學生討論哪些作品所用的方法是類似的，為什么。

學生經過討論，一致認為：圖1（1）、1（2）、1（3）所用的推導方法是類似的，都是先剪下一部分再移過去，形成一個長方形或平行四邊形；圖1（4）、1（5）所用的推導方法也是類似的，都是先增加一個一樣的三角形，再拼出一個長方形或平行四邊形。筆者進一步引導學生對兩種方法分別展開討論，歸納出剪拼法和倍拼法的特點：運用剪拼法，轉化后的圖形面積不變；運用倍拼法，轉化后的圖形面積變成了原來圖形面積的兩倍。最后，筆者引導學生通過計算轉化后的長方形或平行四邊形的面積，找出轉化前后兩個圖形的底與高之間的關系，由此推導出“直角三角形的面積=底×高÷2”。

（二）銳角三角形、鈍角三角形面積公式的推導

在學生積累了一些探索直角三角形面積公式推導過程的經驗后，教師接下來便可以引導學生探索銳角三角形、鈍角三角形面積公式的推導過程了。

1.探索銳角三角形面積公式的推導過程。教學中，筆者先給學生提供了一個探究學習單，讓學生同桌合作，仿照直角三角形面積公式的探索過程，先猜測、再驗證，分別采用倍拼法、剪拼法進行拼圖、計算。之后選取學生所創設的兩種轉化方法及推導過程的典型作品進行展示，引導學生圍繞同伴的推導過程進行討論。學生給出的剪拼法如圖2所示。最后讓學生運用倍拼法實際操作將兩個一樣的銳角三角形轉化為平行四邊形的過程，再同桌之間相互指認轉化前后圖形中的底和高，討論“底乘高除2”的具體含義。

2.探索鈍角三角形面積公式的推導過程。先讓學生猜測鈍角三角形的面積公式，再讓學生想象可以將鈍角三角形轉化成什么圖形、如何進行倍拼，最后請學生上臺演示兩個鈍角三角形進行倍拼的過程，并指出兩個鈍角三角形所拼成的平行四邊形以及原鈍角三角形的底邊和高，最終寫出鈍角三角形面積公式的推導過程。

3.討論、總結三角形面積公式和字母公式的寫法。

（三）應用三角形面積公式解決問題

筆者給學生出示如圖3所示的習題，讓學生計算圖中鈍角三角形的面積。

在學生列出算式23×7÷2后，筆者追問學生算式中的23×7能夠拼成一個什么樣的圖形，并要求學生畫下來。然后讓學生討論：如果老師將算式寫成23×（7÷2），這是采用了哪種轉化方法？要求學生說出轉化的思路。

三、課后教學反思

以上教學設計，筆者曾在本校不同班級、城鄉不同學校進行試教，都能激發學生的探究熱情：雖然客觀上存在著不同學校不同班級在學習過程中表現出來的水平差異，但每個班的教學都圓滿達成了教學目標。反思本課組織課堂探究活動的有效策略，筆者有三點體會。

（一）探究活動的設計應扶放結合

在小學數學教學中，幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動的過程和結果。要達成這一目標，教師必須分層設計扶放結合的探究活動，給予學生探究的時間和空間，耐心引導學生在活動的過程中不斷積累數學活動經驗。例如，在本課教學中，筆者將“讓學生充分經歷三角形面積計算方法的探索過程”作為本課教學的核心目標，在課堂前測中，讓學生初步積累對三種三角形面積公式的探索經驗；在課堂教學中，分層遞進引導學生展開對三種三角形面積公式的探索過程。課堂探究活動的展開，按照先扶后放、扶放結合的思路逐層遞進地展開：先利用直角三角形面積計算的前測圖，幫“扶”學生明確三角形面積公式的探索路徑和方法；再“放手”讓學生運用倍拼法、剪拼法兩種方法，自主展開對銳角三角形面積公式的探索過程；鑒于鈍角三角形面積公式的探究難度稍大，教師先讓學生從倍拼法入手，想象一下如何將鈍角三角形轉化成學過的已知圖形，再在練習中進行剪拼法的補充，做到了“扶放結合”。學生循序漸進，不僅有效積累了相應的數學活動經驗，而且提高了探究能力，內化了轉化的思想方法。

（二）學習材料的選用要適切有度

在課堂探究活動中，學生往往會遇到各種困難。基于學生的困難，教師需要選取適切的材料，組織有序有度的探究活動，幫助學生化解困難，深入理解數學知識的本質。例如，在本課教學中，學生對三角形面積公式的探索主要存在兩個方面的困難：一是不能從剪拼法想到倍拼法，二是不能建立轉化前后圖形間的內在聯系。為此筆者在課堂教學的不同階段，先后選用了方格圖和箭頭圖兩種不同的學習材料，幫助學生建立起直觀的數學表象——格子圖中的直觀圖示讓學生自然地產生了從剪拼法到倍拼法的思考、箭頭圖中的箭頭幫助學生順利溝通了轉化前后圖形之間的內在聯系，引導學生一步步深入探索、計算推理，最終成功推導出了三角形的面積公式，理解了其中的算理，突破了學習難點。

（三）密切關注學生的探究表現并做出積極的課堂回應

教師做出課堂回應的方式，包括對學生的認知進行檢測和追問，為的是幫助學生真正建構起相應的數學概念，提升數學思考能力。例如，在本課教學中，為強化學生對轉化思想的感悟，筆者在組織學生探究鈍角三角形面積公式推導過程之前，讓學生先想一想如果運用倍拼法進行轉化，鈍角三角形將會轉化成什么圖形；在練習環節針對“23×7”“7÷2”展開追問，讓學生思考“你能重新畫一次嗎”，再次使學生關注到了對圖形進行轉化的數學思想和數形結合思想。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

作者簡介：莫秋霞（1980— ），廣西玉林人，一級教師，主要研究方向為小學數學教學。

（責編 白聰敏）