貝葉斯博弈框架下期權(quán)組合套利研究：理論模型與市場(chǎng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

唐銘坤 馮振華 趙貞玉

摘 要：期權(quán)市場(chǎng)中存在大量的套利手段，現(xiàn)有理論模型多基于完全信息市場(chǎng)假設(shè)對(duì)套利行為的機(jī)理進(jìn)行描述，且在預(yù)測(cè)套利利潤(rùn)分布上存在一定不足。為刻畫不完全信息市場(chǎng)中期權(quán)組合套利行為，文章將傳統(tǒng)貝葉斯博弈框架推廣為更一般的形式，構(gòu)建了多個(gè)期權(quán)組合的貝葉斯博弈模型，探究交易者均衡策略下的套利空間，并分析該套利空間的特征。依照模型，文章證明了在一定參數(shù)條件下，即使在參與者各方達(dá)到最優(yōu)策略的條件下，市場(chǎng)上仍然存在套利機(jī)會(huì)；市場(chǎng)上存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)博取超額收益的投資機(jī)會(huì)；這種機(jī)會(huì)的利潤(rùn)分布近似帕累托分布。最后，文章用市場(chǎng)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了這些結(jié)論。

關(guān)鍵詞：不完全信息 貝葉斯博弈 期權(quán)組合 套利

DOI：10.19592/j.cnki.scje.401349

JEL分類號(hào)：C78，D50，G11? ?中圖分類號(hào)：F832.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1000 - 6249（2023）04 - 079 - 22

一、引言

2022年7月22日中證1000股指期權(quán)正式掛牌交易，進(jìn)一步完善了我國(guó)金融期權(quán)產(chǎn)品體系，推進(jìn)了我國(guó)金融市場(chǎng)深化改革。我國(guó)股指期權(quán)市場(chǎng)成立時(shí)間較晚，市場(chǎng)仍處于發(fā)展階段。期權(quán)作為一種對(duì)沖價(jià)格波動(dòng)的工具，能夠顯著提升資產(chǎn)的流動(dòng)性，推動(dòng)市場(chǎng)價(jià)格趨于理性。從長(zhǎng)期來(lái)看，期權(quán)交易還能促進(jìn)市場(chǎng)投資者結(jié)構(gòu)優(yōu)化，吸引更多機(jī)構(gòu)投資者進(jìn)行長(zhǎng)期投資（史慶盛、樊瑞鐸，2016）。對(duì)期權(quán)組合套利機(jī)制的研究，不僅能幫助投資者獲得投資回報(bào)，而且有助于維持金融市場(chǎng)的價(jià)格穩(wěn)定，助力資本市場(chǎng)平穩(wěn)運(yùn)行。

學(xué)者們對(duì)期權(quán)套利機(jī)制的研究眾多，傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)理論認(rèn)為，套利現(xiàn)象是市場(chǎng)未能達(dá)到均衡的表現(xiàn)，且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收入；新興定價(jià)理論則認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)將套利現(xiàn)象納入均衡的研究，套利的收益應(yīng)當(dāng)被視為一種隨機(jī)過(guò)程。這些理論基于完全信息市場(chǎng)假設(shè)，對(duì)套利機(jī)會(huì)進(jìn)行了深入的分析，但是未能應(yīng)用于不完全信息市場(chǎng)的分析，且不能對(duì)套利的利潤(rùn)做一個(gè)有效的預(yù)測(cè)，在指導(dǎo)期權(quán)組合套利投資中略顯不足。為此，本文旨在基于不完全信息市場(chǎng)假設(shè)對(duì)期權(quán)組合的套利行為進(jìn)行研究，并分析該套利空間特征，下面對(duì)主要文獻(xiàn)進(jìn)行簡(jiǎn)要回顧。

關(guān)于期權(quán)組合套利手段的研究，學(xué)者們做了大量工作，并發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)中往往存在較多的套利機(jī)會(huì)。stoll（1969）提出了期權(quán)平價(jià)定理（Put and Call Parity， PCP）為后世提供了期權(quán)組合套利的思路。據(jù)此，Billingsley and Chance（1985）設(shè)計(jì)了著名的盒式價(jià)差策略（Box Spread Strategy）。該策略往往被學(xué)者們用來(lái)檢測(cè)期權(quán)市場(chǎng)的效率（Fung and Mok，2001; 施利斌、欒長(zhǎng)福，2009）。國(guó)內(nèi)的陳勝榮（2008）根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性原則，重構(gòu)了日歷價(jià)差期權(quán)組合策略，減少了套利組合的波動(dòng)。山磊、鄭柏茹（2016）則應(yīng)用期權(quán)價(jià)格的凸性的性質(zhì)，建立了基于不等式關(guān)系的期權(quán)套利組合，并指出不等式套利策略的成交概率遠(yuǎn)大于以往的等式套利，且單次套利有可能獲得較高回報(bào)。

傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)理論（Fischer and Scholes，1973）雖然能夠有效地解釋期權(quán)的價(jià)格規(guī)律，但應(yīng)用其解釋市場(chǎng)中存在的套利現(xiàn)象，則略顯單薄。崔援民、楊春鵬（1998）在數(shù)學(xué)上證明了BS模型的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)假設(shè)事實(shí)上意味著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)不存在。根據(jù)傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)理論，套利空間的產(chǎn)生往往意味著市場(chǎng)未能達(dá)到均衡，且市場(chǎng)中存在“錯(cuò)誤定價(jià)”的現(xiàn)象。

部分學(xué)者對(duì)標(biāo)準(zhǔn)套利（standard arbitrage）過(guò)程進(jìn)行分析，認(rèn)為傳統(tǒng)定價(jià)理論中均衡價(jià)格的考慮仍然有所欠缺，市場(chǎng)中的套利行為，應(yīng)當(dāng)被視為均衡的組成部分。Fiflewski（1989）分析了不完美的期權(quán)市場(chǎng)中不確定波動(dòng)性，交易成本，交易數(shù)量不可分割性等因素對(duì)套利活動(dòng)的影響，并提出在股票指數(shù)期權(quán)等實(shí)際市場(chǎng)中，標(biāo)準(zhǔn)套利活動(dòng)事實(shí)上面臨著巨大的風(fēng)險(xiǎn)和交易成本，因此均衡價(jià)格應(yīng)該是一個(gè)廣泛的區(qū)間范圍。Illinski and Stepanenko（1999）提出將套利考慮進(jìn)均衡狀態(tài)中，將套利的收入設(shè)為隨機(jī)過(guò)程，得到新的均衡價(jià)格。Contreras et al.（2020）研究了套利行為出現(xiàn)時(shí)在期權(quán)定價(jià)中的共振現(xiàn)象。Contreras（2021）通過(guò)隨機(jī)性泡沫產(chǎn)生套利并顯性表示在BS方程中的方式，得出原始BS模型可視作更為一般的隨機(jī)模型的弱泡沫極限形式的結(jié)論。

雖然這些理論從一方面，對(duì)價(jià)格活動(dòng)的變化解釋更加深入了。但是，這些理論對(duì)于套利活動(dòng)的刻畫更多著眼于標(biāo)準(zhǔn)套利過(guò)程，即標(biāo)的資產(chǎn)與相應(yīng)期權(quán)之間的套利行為，對(duì)不同期權(quán)組合之間的套利解釋上，稍有欠缺。此外，新均衡理論更多討論的是完全信息市場(chǎng)的投資者行為，而實(shí)際市場(chǎng)中，大多數(shù)投資者面臨的是不完全信息決策問(wèn)題。張格等（2012）應(yīng)用實(shí)證模型刻畫了我國(guó)股票市場(chǎng)的私有信息與公共信息的相對(duì)比重，結(jié)果表明我國(guó)股票市場(chǎng)中確實(shí)存在信息不對(duì)稱問(wèn)題。完全信息假設(shè)對(duì)投資者行為的解釋并不夠全面。

Bagehot（1971）率先提出一個(gè)不完全信息股票市場(chǎng)的交易模型，應(yīng)用該模型闡釋不完全信息對(duì)做市商價(jià)差均衡的影響。不完全信息模型在解釋動(dòng)量效應(yīng)或反轉(zhuǎn)效應(yīng)等股票異象上也非常有效。針對(duì)不完全信息市場(chǎng)設(shè)定，Chatterjee and Samuelson（1983）提出了一種靜態(tài)貝葉斯博弈分析框架，并推導(dǎo)出不完全信息市場(chǎng)中參與各方的最優(yōu)策略，該模型思想可以被廣泛應(yīng)用于各類不完全信息市場(chǎng)的分析。借鑒于此，扈文秀、韓仁德（2006）將不完全信息狀態(tài)的博弈思想引入實(shí)物期權(quán)的分析，得到占優(yōu)型實(shí)物期權(quán)博弈均衡策略。在不完信息市場(chǎng)博弈框架中，交易者的均衡沒(méi)有隨機(jī)過(guò)程項(xiàng)，交易行為更加有跡可循，對(duì)于均衡形成的機(jī)理說(shuō)明更加深入。

由文獻(xiàn)回顧梳理可知，既有國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究成果斐然，但尚存改進(jìn)與發(fā)展空間。傳統(tǒng)定價(jià)理論基于無(wú)套利狀態(tài)的市場(chǎng)動(dòng)態(tài)均衡，認(rèn)為期權(quán)市場(chǎng)中套利機(jī)會(huì)的出現(xiàn)意味著市場(chǎng)未能達(dá)到均衡狀態(tài)，市場(chǎng)存在“錯(cuò)誤定價(jià)”；新興的定價(jià)理論認(rèn)為，鑒于不完美期權(quán)市場(chǎng)中套利活動(dòng)的復(fù)雜性與潛在風(fēng)險(xiǎn)，套利行為應(yīng)當(dāng)被視為均衡的一部分，并且對(duì)套利行為的收益用隨機(jī)過(guò)程來(lái)進(jìn)行表示，套利行為被解釋為一種隨機(jī)過(guò)程。這些理論對(duì)均衡價(jià)格的刻畫鞭辟入里，但其描述的仍然是完全信息市場(chǎng)下的均衡，與交易者面對(duì)的不完全信息決策問(wèn)題仍有一定距離；此外定價(jià)理論中主要研究的是標(biāo)準(zhǔn)套利過(guò)程，該理論對(duì)期權(quán)組合間套利空間的形成解釋不足。為更好描述市場(chǎng)行為，學(xué)者們構(gòu)建了各種不完全信息市場(chǎng)模型，并應(yīng)用其有效地解釋了各種市場(chǎng)異象。應(yīng)用貝葉斯博弈框架，求解市場(chǎng)參與各方的最優(yōu)策略的方法也被引入到期權(quán)市場(chǎng)的研究中。但是目前，應(yīng)用貝葉斯博弈框架的研究主要集中在實(shí)物期權(quán)的研究，與參與各方均衡策略的研究，并不能直接用于說(shuō)明期權(quán)組合間套利空間形成的機(jī)理，或用于預(yù)測(cè)套利的利潤(rùn)分布。

為進(jìn)一步闡釋期權(quán)組合間套利空間形成的機(jī)理，本文基于不完全信息市場(chǎng)的假設(shè)，構(gòu)建了兩個(gè)貝葉斯博弈模型。在此基礎(chǔ)上，研究集合競(jìng)價(jià)機(jī)制下，不同期權(quán)組合交易者的貝葉斯均衡策略，并由均衡策略探究不同期權(quán)間套利的可能性與條件，分析套利空間的特征，并預(yù)測(cè)套利的利潤(rùn)分布。為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停疚脑诶碚撋蠂L試構(gòu)建一種既無(wú)風(fēng)險(xiǎn)又保留超額收益機(jī)會(huì)的反直覺(jué)的期權(quán)套利組合，并計(jì)算其套利空間。根據(jù)本文理論思想，創(chuàng)新性地在市場(chǎng)中構(gòu)造了這一組合，分析市場(chǎng)結(jié)果與理論模擬結(jié)果的異同，從而完成對(duì)模型的檢驗(yàn)。

與已有研究相比，本文可能的邊際貢獻(xiàn)如下。（1）現(xiàn)有理論，基于完全信息市場(chǎng)假設(shè)，著眼于標(biāo)的資產(chǎn)與衍生品之間的套利，本文則從不完全信息市場(chǎng)假設(shè)出發(fā)，探究期權(quán)組合之間的套利機(jī)理，對(duì)現(xiàn)有理論進(jìn)行了補(bǔ)充。（2）現(xiàn)有理論體系中，套利的收益率無(wú)法確定，但是應(yīng)用本文的框架能夠初步得到套利空間利潤(rùn)的分布，分析其特征，并用市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。（3）本文應(yīng)用貝葉斯博弈框架時(shí)，在傳統(tǒng)貝葉斯博弈基礎(chǔ)上，引入新的參數(shù)，得到更一般形式的均衡策略，該方法增強(qiáng)了傳統(tǒng)貝葉斯博弈框架的解釋范圍。（4）市場(chǎng)認(rèn)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)，模型證明了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合在特定交易條件下可以保留獲取超額收益的機(jī)會(huì)，本文用模型刻畫了其產(chǎn)生的機(jī)理，并用市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

二、期權(quán)市場(chǎng)貝葉斯博弈模型構(gòu)建與求解

（一）模型的設(shè)定

經(jīng)典期權(quán)套利組合往往利用方向相反的一對(duì)期權(quán)組合對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，從而構(gòu)建無(wú)風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)組合。類似地，本文對(duì)獲利方向相反期權(quán)組合的交易者行為進(jìn)行研究。設(shè)定期權(quán)市場(chǎng)中有兩類參與者1和2。其中參與者1認(rèn)為未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)是單邊上漲或單邊下跌的趨勢(shì)，而參與者2認(rèn)為未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在一個(gè)區(qū)間內(nèi)波動(dòng)。兩類參與者利用期權(quán)組合1和期權(quán)組合2獲利。在市場(chǎng)中，蝶式期權(quán)和跨式期權(quán)恰好滿足這兩類投資者的需求。

正向蝶式價(jià)差組合，能夠捕捉波動(dòng)帶來(lái)的收益，但在單邊行情下，有一定的虧損，對(duì)應(yīng)期權(quán)組合1；多頭跨式期權(quán)組合則在單邊行情中能獲得收益，在波動(dòng)行情則有相應(yīng)的虧損，對(duì)應(yīng)期權(quán)組合2。根據(jù)這兩類期權(quán)組合特點(diǎn)建模1。若到期資產(chǎn)價(jià)格越靠近當(dāng)前價(jià)格，則期權(quán)組合1的收益越高，期權(quán)組合1的獲利區(qū)間為[[0， L1]]；若到期資產(chǎn)價(jià)格越偏離當(dāng)前價(jià)格，則期權(quán)組合2的收益越高，組合2的獲利區(qū)間為[[0，L2]]；設(shè)[L2>L1]。

兩種期權(quán)組合的權(quán)利金需要期權(quán)組合供給方與需求方競(jìng)價(jià)得出，其中期權(quán)組合1的供給方要價(jià)為[ps1]，需求方出價(jià)為[pb1]。同樣地，期權(quán)組合2的要價(jià)與出價(jià)分別為[ps2]與[pb2]。考慮到后續(xù)獲取數(shù)據(jù)的難度，本文將利用開(kāi)盤數(shù)據(jù)檢驗(yàn)理論。由于開(kāi)盤價(jià)是集合競(jìng)價(jià)的結(jié)果，此處應(yīng)當(dāng)對(duì)成交條件進(jìn)行一定的約束。為簡(jiǎn)化集合競(jìng)價(jià)的成交條件，本文設(shè)當(dāng)[ps≤pb]時(shí)，雙方成交，成交價(jià)[pd=（ps+pb）/2]；若[ps>pb]，則雙方不成交。雙方出價(jià)結(jié)束后，期權(quán)買方以成交價(jià)給付給賣方權(quán)利金，期權(quán)賣方向交易所支付保證金，作為履行義務(wù)的擔(dān)保。標(biāo)的資產(chǎn)到期后，若符合買方行權(quán)條件，則賣方將相應(yīng)金額交割給買方，交易所返還賣方保證金。

考慮買賣雙方的博弈為不完全信息博弈，期權(quán)組合1買方期望收益為[v1]，則[v1∈[0，L1]]；賣方預(yù)期的賠付損失為[c1]，且[c1∈[0，L1]]；期權(quán)組合的買賣雙方僅知道自己的類型空間以及對(duì)方類型取值的分布，并不知曉對(duì)方的具體類型。相同地，在期權(quán)組合2的博弈中，買方的期望收入為[v2]，[v2∈[0，L2]]；賣方的預(yù)期損失為[c2]，[c2∈[0，L2]]；博弈雙方僅知道自己的類型，而不知道對(duì)方的類型。在此基礎(chǔ)上，以期權(quán)組合1的博弈為例，買賣雙方的效用函數(shù)分別為：

[ub1=v1?（ps1+pb1）/2ps1≤pb10ps1>pb1] （1）

[us1=（ps1+pb1）/2?c1ps1≤pb10ps1>pb1] （2）

在靜態(tài)貝葉斯博弈框架中，參與人策略應(yīng)為其類型的嚴(yán)格遞增函數(shù)，設(shè)買賣雙方采用線性報(bào)價(jià)策略，以期權(quán)組合1的博弈為例，則買賣雙方的均衡策略為：

[ps1（c1）=αs1+βs1c1pb1（v1）=αb1+βb1v1] （3）

買賣雙方的出價(jià)是關(guān)于其自身的類型[c1]和[v1]的函數(shù)。上式中，[αs1]為不變成本系數(shù)，[αb1]為不變收入系數(shù)，[βs1]與[βb1]分別為可變成本系數(shù)和可變收入系數(shù)。設(shè)[c1]與[v1]均在[[0，L1]]上服從均勻分布，則[pb1]在[[αb1，αb1+βb1L1]]上服從均勻分布，[ps1]在[[αs1，αs1+βs1L1]]上服從均勻分布。上述兩個(gè)博弈游戲構(gòu)成兩個(gè)貝葉斯博弈過(guò)程，下文對(duì)這兩個(gè)博弈的均衡策略進(jìn)行求解。

（二）均衡策略

以期權(quán)組合1博弈為例，求解該博弈買賣雙方的均衡策略。對(duì)期權(quán)組合賣方而言，由于[pb1]在[[αb1，αb1+βb1L1]]上服從均勻分布，在線性策略的條件下，可得：

[Pr（pb1≥ps1）=αb1+βb1L1?ps1βb1L1] （4）

根據(jù)條件期望公式，期權(quán)組合賣方可得買方的期望有效報(bào)價(jià)為：

[E（pb1|pb1≥ps1）=1βb1L1ps1αb1+βb1L1x?dxPr（pb1≥ps1）=12（αb1+βb1L1+ps1）] （5）

又由于期權(quán)組合1賣方的最優(yōu)策略可以改寫為以下目標(biāo)函數(shù)的解：

[maxps1{12[ps1+E（pb1|pb1≥ps1）]?c1}?Pr（pb1≥ps1）] （6）

將上面式（4）（5）代入式（6）中，可得目標(biāo)函數(shù)：

[maxps1{12[ps1+12（αb1+βb1L1+ps1）]?c1}?αb1+βb1L1?ps1βb1L1] （7）

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)分析，可知函數(shù)存在最大值，且最大值于一階導(dǎo)等于0處取得。計(jì)算得，期權(quán)組合1賣方的最佳出價(jià)策略為：

[ps1=13（αb1+βb1L1）+23c1] （8）

同理，對(duì)于期權(quán)組合1買方而言，其估計(jì)下的賣方的有效競(jìng)價(jià)概率為：

[Pr（pb1≥ps1）=pb1?αs1βs1L1] （9）

賣方的期望有效報(bào)價(jià)為：

[E（ps1|pb1≥ps1）=1βs1L1αs1pb1x?dxPr（pb1≥ps1）=12（pb1+αs1）] （10）

又已知買方的目標(biāo)函數(shù)為：

[maxpb1{v1?12[pb1+E（ps1|pb1≥ps1）]}?Pr（pb1≥ps1）] （11）

將式（9）（10）代入式（11）中，可得新目標(biāo)函數(shù)：

[maxpb1{v1?12[pb1+12（pb1+αs1）]}?pb1?αs1βs1L1] （12）

對(duì)該函數(shù)的二階導(dǎo)分析，可知該函數(shù)存在最大值，且最大值于一階導(dǎo)等于0處取得。計(jì)算得期權(quán)組合1買方的最佳出價(jià)策略為：

[pb1=13αs1+23v1] （13）

至此，可得期權(quán)組合1博弈中買賣雙方的均衡報(bào)價(jià)策略為：

[ps1=13（αb1+βb1L1）+23c1pb1=13αs1+23v1] （14）

將式（14）代入線性報(bào)價(jià)策略式（3）中，可得

[αs1+βs1c1=13（αb1+βb1L1）+23c1αb1+βb1v=13αs1+23v1] （15）

由于上述方程對(duì)所有的[c1]和[v1]成立，應(yīng)用待定系數(shù)法，得到方程組：

[αs1=13（αb1+βb1L1）βs1=23αb1=13αs1βb1=23] （16）

解得期權(quán)組合1博弈中的均衡報(bào)價(jià)策略為：

[ps1（c1）=14L1+23c1pb1（v1）=112L1+23v1] （17）

同理，計(jì)算得期權(quán)組合2博弈中的均衡策略為：

[ps2（c2）=14L2+23c2pb2（v2）=112L2+23v2] （18）

在均衡策略條件下，下文將探究?jī)蓚€(gè)期權(quán)組合博弈之間的套利空間。

（三）套利空間的求解

首先，根據(jù)均衡報(bào)價(jià)策略，計(jì)算買賣雙方有效報(bào)價(jià)范圍對(duì)應(yīng)的[c]和[v]的取值，并根據(jù)成交條件，得到博弈雙方的交易區(qū)域。由最優(yōu)報(bào)價(jià)策略可知[minps1（c1）=14L1]，[maxpb1（v1）=34L1]，記[ps1（c1）]與[pb1（v1）]的逆函數(shù)為[ps1?1（?）]與[pb1?1（?）]，則[c1]與[v1]重合區(qū)間的上下限為：

[v1down=pb1?1（minps1（c1））=pb1?1（14L1）=14L1] （19）

[v1up=ps1?1（maxps1（v1））=L1] （20）

[c1down=pb1?1（minpb1（c1））=0] （21）

[c1up=ps1?1（maxpb1（v1））=pb1?1（34L1）=34L1] （22）

求解得，[c1]與[v1]的重合區(qū)間為，[v1∈[14L1，L1]]，[c1∈[0，34L1]]。又由于雙方成交時(shí)，需滿足[pb1（v1）≥ps1（c1）]，將最優(yōu)報(bào)價(jià)策略代入該條件，可得[v1≥14L1+c1]。因此，期權(quán)組合1博弈的交易空間可以表示為：

[v1≥14L1+c1，c1∈[0，34L1]] （23）

同理，本文計(jì)算得到期權(quán)組合2博弈的交易空間為：

[v2≥14L2+c2，c2∈[0，34L2]] （24）

在該交易空間中，考慮不同期權(quán)組合間套利手段。若投資者希望獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，則其考慮不管未來(lái)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng)，最終總能獲得收益。構(gòu)建一個(gè)全范圍的期權(quán)投資組合，若同時(shí)參加兩項(xiàng)博弈，仍能獲利收益，則證明即使在兩個(gè)博弈均處于均衡策略的狀態(tài)下，仍存在一定的套利空間。

若同時(shí)作為兩個(gè)期權(quán)組合的買方，根據(jù)行權(quán)條件，若期權(quán)組合1可以行權(quán)，則期權(quán)組合2也必然行權(quán)；期權(quán)組合2行權(quán)，期權(quán)組合1不一定行權(quán)。對(duì)于賭單邊行情的期權(quán)組合2而言，其在任何情況下均能行權(quán)，購(gòu)買期權(quán)組合2的風(fēng)險(xiǎn)在于其參與的成本與最終行權(quán)收益的差額。若同時(shí)參與兩種博弈均獲利，則以下兩個(gè)不等式組應(yīng)當(dāng)同時(shí)成立：

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?S（t）?S（0）L'2=S（t）?S（0）] （25）

[L'2?pd1?pd2>0L'2=S（t）?S（0）S（t）?S（0）>L1] （26）

上式（25）（26）中，[L'1]和[L'2]為期權(quán)組合買方取得的收益，[S（t）]為標(biāo)的資產(chǎn)到期價(jià)格，[S（0）]為標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格。易得，若上述兩個(gè)不等式組同時(shí)成立，僅需不等式組（25）成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明式（27）：

[L1?pd1?pd2>0] （27）

將式（17）（18）代入上式（27）得：

[L1?16（L1+L2）?13（c1+c2+v1+v2）>0] （28）

因?yàn)榻灰卓臻g可以表示為式（23）和式（24），以該交易空間為定義域，計(jì)算得式（28）的值域?yàn)椋篬[14L1?34L2，34L1?14L2]]。因此，若滿足[L1

此外，取[L1=1]，[L2=2]，對(duì)[c1]，[c2]，[v1]，[v2]，[L'1]和[L'2]的取值進(jìn)行模擬，模擬10000次后，統(tǒng)計(jì)可以構(gòu)成套利的游戲中套利的利潤(rùn)分布，得到圖3，計(jì)算套利收益率，并繪制其分布得到圖4。

由圖3和圖4可知，模擬套利獲利的利潤(rùn)主要以小利潤(rùn)為主，且隨著獲利的增加，套利機(jī)會(huì)在逐漸減小。另外，利潤(rùn)率的分布近似服從帕累托分布。

三、實(shí)證檢驗(yàn)

（一）實(shí)證檢驗(yàn)的思路

基于模型的博弈套利思想，在上文的競(jìng)價(jià)框架下，方向相反的期權(quán)組合，往往具有一定的套利空間。但是，在本文模型的設(shè)定中，蝶式期權(quán)組合的中間行權(quán)價(jià)（頂點(diǎn)）與跨式期權(quán)的行權(quán)價(jià)（頂點(diǎn)）均相等，且恰好等于當(dāng)前的資產(chǎn)價(jià)格。然而，現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中，期權(quán)行權(quán)價(jià)的個(gè)位數(shù)往往取0，如50ETF沽2350，而資產(chǎn)價(jià)格又精確到個(gè)位，如2353，所以難以在市場(chǎng)中形成有效配對(duì)，實(shí)證難度較大。此外，本文還希望拓展本模型的解釋對(duì)象，希望其不僅能解釋頂點(diǎn)相同的期權(quán)組合間的套利，也能解釋頂點(diǎn)不同的期權(quán)組合的套利。因此，我們需要探討不同期權(quán)組合的頂點(diǎn)和當(dāng)前價(jià)格對(duì)套利空間的影響。

利用到期收益函數(shù)可以對(duì)不同期權(quán)組合的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，并確定市場(chǎng)中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的特征。下文對(duì)蝶式期權(quán)組合的行權(quán)價(jià)、跨式期權(quán)組合的行權(quán)價(jià)與行權(quán)規(guī)則分析，求解無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的參數(shù)條件，并說(shuō)明其在模型中的體現(xiàn)。最后，檢驗(yàn)拓展模型與市場(chǎng)是否有套利空間，比較拓展模型的套利利潤(rùn)分布與市場(chǎng)套利利潤(rùn)分布的特征。

（二）變異蝶式價(jià)差組合的套利策略構(gòu)建

首先，構(gòu)建正向蝶式價(jià)差組合的到期收益函數(shù)，即投資者持有該策略到期的收益的函數(shù)。正向蝶式價(jià)差組合可分為看漲期權(quán)的正向蝶式價(jià)差組合和看跌期權(quán)的正向蝶式價(jià)差組合。本文取看漲期權(quán)的正向蝶式價(jià)差組合研究。正向蝶式價(jià)差組合由一份行權(quán)價(jià)較高的多頭買權(quán)，兩份行權(quán)價(jià)居中的空頭買權(quán)和一份行權(quán)價(jià)較低的多頭買權(quán)構(gòu)成。設(shè)期權(quán)的行權(quán)價(jià)從低到高為[a]，[b]，[c]；資產(chǎn)的到期價(jià)格為[ST]；行權(quán)價(jià)由低到高分別為[Ca]，[Cb]和[Cc]；三份期權(quán)的到期收益分別為[CT（a）]，[?CT（b）]和[CT（c）]。由此可得三份期權(quán)的到期收益函數(shù)分別為：

[CT（a）=?CaST?a?CaSTa] （29）

[?CT（b）=Cbb?ST+CbSTb] （30）

[CT（c）=?CcST?c?CcSTc] （31）

正向蝶式價(jià)差組合的收益[R=CT（a）?2CT（b）+CT（c）]，可得正向蝶式價(jià)差組合的收益函數(shù)：

[R=2Cb?Ca?CcST?a?Ca+2Cb?Cc?ST+2b?a+（2Cb?Ca?Cc）2b?a?c+（2Cb?Ca?Cc）STc] （32）

同理，構(gòu)建多頭跨式期權(quán)組合的到期收益函數(shù)。多頭跨式期權(quán)由兩份相同行權(quán)價(jià)的多頭買權(quán)和多頭賣權(quán)構(gòu)成，設(shè)多頭買權(quán)和多頭賣權(quán)的行權(quán)價(jià)為[d]；多頭買權(quán)的期權(quán)費(fèi)為[Cd]；多頭賣權(quán)的期權(quán)費(fèi)為[Pd]；多頭跨式期權(quán)的到期收益為[R1]，可得多頭跨式期權(quán)組合的到期收益函數(shù)為：

[R1=d?ST?Pd?CdST?d?Pd?CdSTd] （33）

分析正向蝶式價(jià)差組合的收益區(qū)間與多頭跨式期權(quán)組合的收益區(qū)間可知，正向蝶式價(jià)差組合利用小范圍波動(dòng)獲利，單邊行情下有一定損失，而多頭跨式期權(quán)則在小范圍波動(dòng)內(nèi)虧損，單邊行情下獲得較大收益。因此，若令這兩個(gè)組合的風(fēng)險(xiǎn)完全對(duì)沖，則蝶式價(jià)差組合具有正收益的部分應(yīng)當(dāng)完全彌補(bǔ)多頭跨式期權(quán)組合的虧損。若多頭跨式組合的收益轉(zhuǎn)折點(diǎn)小于[a]，或大于[c]時(shí)，多頭跨式組合虧損的部分就無(wú)法由正向蝶式價(jià)差組合彌補(bǔ)。因此，需要分析多頭跨式組合的行權(quán)價(jià)在[a]，[c]之間的情況，分類討論三種情況：[d=b]，[db]。

1.[d=b]

設(shè)變異蝶式價(jià)差組合的到期收益為[R']，可得：[R'=R+R1]。變異蝶式價(jià)差組合的到期收益函數(shù)為：

[R'=Cb?Ca?Cc+b?ST?Pdb?a?Ca+Cb?Cc?Pdb?a?Ca+Cb?Cc?Pdb?a?c+ST?Ca+Cb?Cc?PdSTc] （34）

若組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，則分段函數(shù)每一個(gè)區(qū)間均大于0，對(duì)應(yīng)的四個(gè)不等式組需同時(shí)成立，求解令四個(gè)不等式組均成立的更嚴(yán)格的條件，得到變異蝶式價(jià)差組合的第一個(gè)策略：

[Cb?Ca?Cc?Pd>a?bd=ba

2.[a

同樣地，該條件下期權(quán)組合的到期收益函數(shù)為：

[R'=2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd+d?ST2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd?a+d2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd+2ST?a?d2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd?a?d+2b2Cb?Ca?Cc?Cd?Pd?a?d+2b?c+STSTc] （36）

同理，若組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，則分段函數(shù)的每一個(gè)區(qū)間均大于0，對(duì)應(yīng)五個(gè)不等式組同時(shí)成立，求解得變異蝶式價(jià)差組合的第二個(gè)策略：

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd>a?da

3. [b

該條件下，組合的到期收益函數(shù)為：

[R'=2Cb?Ca?Cc+d?ST?Pd?Cdd?a+2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd2b+d?a?2ST+2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd2b?d?a+2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd2b?a?c?d+ST+2Cb?Ca?Cc?Pd?CdSTc] （38）

同理，若組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，求解令各個(gè)區(qū)間函數(shù)值均大于0的條件，得變異蝶式價(jià)差組合的第三個(gè)策略：

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd>a+d?2ba

（三）變異蝶式價(jià)差組合與拓展模型

考慮到策略1的兩期權(quán)組合的頂點(diǎn)相同，但其與當(dāng)前資產(chǎn)的交易價(jià)格并不一致。將原模型修改為拓展的博弈模型，即將原模型中式（25）與（26），分別改寫為：

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St1?HL'2=St1?HSt1?H

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'2=St2?HSt2?H>L1] （41）

其中，[St1]和[St2]分別為波動(dòng)行情下的資產(chǎn)到期價(jià)格，單邊行情下的資產(chǎn)到期價(jià)格；[H]為蝶式期權(quán)組合與跨式期權(quán)組合的頂點(diǎn)。令式（40）（41）同時(shí)成立，可得不等式組更嚴(yán)格條件為：

[L1?pd1?pd2>0] （42）

結(jié)合均衡報(bào)價(jià)策略，式（42）可改寫為：

[L1?16（L1+L2）?13（c1+c2+v1+v2）>0] （43）

在均衡交易空間下，式（30）的值域?yàn)椋篬[14L1?34L2，34L1?14L2]]。因此，若滿足[L1

由圖5和圖6可知，策略1的利潤(rùn)率分布也是服從帕累托分布的。

策略2的組合中，蝶式期權(quán)組合的頂點(diǎn)在右，跨式期權(quán)組合頂點(diǎn)在左，而策略3的組合正好相反，因而兩者在博弈模型中的行權(quán)函數(shù)正好是對(duì)稱的，兩者結(jié)論基本一致。此處僅討論策略2，不再贅述。

同樣地，對(duì)于策略2的博弈而言，將原博弈模型的（25）（26）改寫為：

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St1?H1L'2=St1?H2St1?H1+St1?H2=H1?H2H1

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St2?H1L'2=St2?H2St2?H1=St2?H2+（H1?H2）H1?L1

[L'2+L'1?pd1?pd2>0L'1=L1?St3?H1L'2=St3?H2St3?H2=St3?H1+（H1?H2）H1

[L'2?pd1?pd2>0L'2=St4?H2St4?H1>L1St4?H2>L2] （47）

[L'2?pd1?pd2>0L'2=St5?H2St5?H1>L1St5?H1=St5?H1?（H1?H2）] （48）

上述不等式組中，[St1]、[St2]、[St3]、[St4]和[St5]為不同范圍內(nèi)的資產(chǎn)到期價(jià)格；[H1]和[H2]分別為蝶式組合的頂點(diǎn)與跨式組合的頂點(diǎn)。求解上述5個(gè)不等式組同時(shí)成立的更嚴(yán)格條件得：

[L1?（H1?H2）?pd1?pd2>0] （49）

利用報(bào)價(jià)均衡策略與交易空間，可得上式的值域?yàn)閇（14L1?34L2?（H1?H2），34L1?14L2?（H1?H2））]，因此，若滿足[L1

假設(shè)兩個(gè)期權(quán)組合頂點(diǎn)，在當(dāng)前資產(chǎn)價(jià)格的周圍取均勻分布，對(duì)該博弈過(guò)程進(jìn)行模擬，可得套利利潤(rùn)與利潤(rùn)率分布：

由圖7和圖8可知，策略1的套利利潤(rùn)分布也是服從帕累托分布的。策略3的結(jié)果與策略2的拓展模型推導(dǎo)基本一致，此處不過(guò)多贅述。根據(jù)拓展模型可知，可以在市場(chǎng)上構(gòu)建這三種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，且其收益率分布應(yīng)當(dāng)服從帕累托分布。

（四）實(shí)證檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理

在做實(shí)證檢驗(yàn)之前，需確保變異蝶式價(jià)差組合的套利收益不包含交易成本、保證金占用、滑點(diǎn)等因素帶來(lái)的“額外收益”，提高實(shí)證檢驗(yàn)的說(shuō)服力。

1.樣本選取

本文推導(dǎo)的期權(quán)組合有一個(gè)隱含大前提，即所有期權(quán)的到期日相同。在此基礎(chǔ)上，挑選符合要求的期權(quán)進(jìn)行配比，得到套利組合。此外，在實(shí)際交易中，期權(quán)買賣是按照合約張數(shù)為單位進(jìn)行的，但由于派發(fā)股息等原因，期權(quán)合約的合約單位不盡相同，不同合約單位的期權(quán)合約匹配將造成風(fēng)險(xiǎn)的暴露。因此在回測(cè)時(shí)，僅選取相同合約單位的期權(quán)合約進(jìn)行配對(duì)組合。本文取50ETF在2021年的所有期權(quán)數(shù)據(jù)，以及2021年1月至2022年3月資產(chǎn)價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行回測(cè)，數(shù)據(jù)來(lái)源Wind數(shù)據(jù)庫(kù)。

本文選擇2021年作為數(shù)據(jù)樣本的原因有三。其一，套利空間的測(cè)定與大盤走勢(shì)并無(wú)關(guān)系，在本文構(gòu)建無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合之時(shí)，已在數(shù)學(xué)上證明這樣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合并不會(huì)產(chǎn)生虧損風(fēng)險(xiǎn)，所以在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的前提下，能夠獲取收益，即說(shuō)明市場(chǎng)存在套利空間。數(shù)據(jù)區(qū)間為一年，能夠確保數(shù)據(jù)量足以刻畫出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合的收益情況。其二，2021年為當(dāng)下最近的一個(gè)完整年份，數(shù)據(jù)較新。其三，由于期權(quán)的收益是在未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格落定時(shí)兌現(xiàn)，考慮到部分期權(quán)的收益信息的完整性（如：2021年部分期權(quán)的行權(quán)日為2022年），若應(yīng)用最新的2022年9月的期權(quán)市場(chǎng)數(shù)據(jù)，則部分期權(quán)的到期收益未知，因而收益情況的分布也會(huì)有所缺漏。因此本文選擇2021年作為回測(cè)的區(qū)間既確保采用了較新的數(shù)據(jù)，又保證了不漏放期權(quán)數(shù)據(jù)的收益信息。

2.交易成本

將交易費(fèi)用視為損失，則套利策略的構(gòu)成條件應(yīng)當(dāng)再進(jìn)一步限制。此外，由于期權(quán)的交易費(fèi)用按合約張數(shù)來(lái)計(jì)費(fèi)，需將交易費(fèi)用修改為一個(gè)合約單位的費(fèi)率，則套利策略的構(gòu)成條件應(yīng)為：

（1）[d=b]

[Cb?Ca?Cc?Pd?tran>a?ba

（2）[a

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd?tran>a?da

（3）[b

[2Cb?Ca?Cc?Pd?Cd?tran>a+d?2ba

其中[tran]為一個(gè)期權(quán)組合的交易費(fèi)率。其計(jì)算如下：

[tran=N?F/n] （53）

式中，[N]為期權(quán)組合中合約的總張數(shù)，[F]為一張期權(quán)合約的固定交易費(fèi)用，[n]為一張期權(quán)合約的合約單位。上海證券交易所對(duì)一張合約收取1.3元，中國(guó)結(jié)算對(duì)一張合約收取0.3元，證券公司或期貨公司對(duì)一張合約收取2-5元，因此，一張合約的固定交易費(fèi)用約為3.6-6.6元。

3.保證金占用

本文中三個(gè)策略需要賣出認(rèn)購(gòu)期權(quán)，根據(jù)上海證券交易所規(guī)則，賣出期權(quán)需要繳納保證金。隨著價(jià)格的波動(dòng)，期權(quán)的保證金的數(shù)額發(fā)生變化。為模擬保證金充足的情形，本文將取期權(quán)存續(xù)期的最高維持保證金為回測(cè)的保證金，并將該保證金的支付與退回分別視為組合的現(xiàn)金流出與現(xiàn)金流入，計(jì)算收益率。

4.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益

若期權(quán)組合在一開(kāi)始賣出期權(quán)的收益能夠覆蓋買入期權(quán)的成本并且有盈余，該部分盈余可以用來(lái)投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，從而適當(dāng)提升組合的策略的收益率。考慮2021年一年期國(guó)債的利率為2.1119%-2.7155%，為提升結(jié)論的說(shuō)服力，本文取年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為2%。

5.滑點(diǎn)

本文將預(yù)期交易失敗的費(fèi)用作為實(shí)際發(fā)生的成本計(jì)入回測(cè)，從而得到滑點(diǎn)調(diào)整后的預(yù)期收益情況。由于期權(quán)交易的特點(diǎn)，在建倉(cāng)當(dāng)天可以通過(guò)反向交易來(lái)實(shí)施平倉(cāng)。構(gòu)建策略失敗對(duì)現(xiàn)金流出的主要影響是構(gòu)建期權(quán)組合和反向交易的交易費(fèi)用，所以預(yù)期交易失敗的費(fèi)用計(jì)算方式如下：

[E（L）=ploss?2E（N?Nmiss）?F] （54）

上式中，[E（L）]為預(yù)期交易失敗的費(fèi)用，[ploss]為交易失敗的概率，[N]為期權(quán)組合中合約的總張數(shù)，[Nmiss]為期權(quán)組合中未能交易成功的合約張數(shù)，[E（N?Nmiss）]為出現(xiàn)合約交易失敗時(shí)，已經(jīng)開(kāi)倉(cāng)的合約數(shù)量的期望值，[F]則為一張期權(quán)合約的固定交易費(fèi)用。股票量化交易回測(cè)中通常取交易失敗概率為0.001，類似地，此處設(shè)單個(gè)期權(quán)合約成交失敗的概率為[p'loss=0.001]。策略1的合約張數(shù)為5，則策略1期權(quán)組合交易失敗的概率：

[ploss=1?（1?p'loss）5≈0.4990%] （55）

同理可得，策略2和策略3期權(quán)組合交易失敗的概率為：

[ploss=1?（1?p'loss）6≈0.5985%] （56）

此外，為了盡可能模擬出合約交易失敗時(shí)，已經(jīng)開(kāi)倉(cāng)的合約數(shù)量，本文采用了[E（N?Nmiss）]，計(jì)算公式如下：

[E（N?Nmiss）=i=1N?1i?P（Ai|B）=i=1N?1i?p'loss?（1?p'loss）iploss] （57）

其中，[P（Ai|B）]表示交易失敗時(shí)，已開(kāi)倉(cāng)[i]張合約的概率。同樣設(shè)[p'loss=0.001]，則策略1中[E（N?Nmiss）≈1.9980]，策略2和策略3中[E（N?Nmiss）≈2.4971]。一張合約固定費(fèi)用為3.6-6.6元，則構(gòu)建一個(gè)策略1組合，[0.0718

（五）實(shí)證結(jié)果

按照最低交易費(fèi)用與最高交易費(fèi)用，分別對(duì)變異蝶式價(jià)差組合的三種套利策略進(jìn)行回測(cè)。對(duì)[d=b]的策略進(jìn)行回測(cè)得到以下結(jié)果：

由于策略1中95.65%的單次收益率小于3%，為更好觀察收益率分布，繪制0-3%區(qū)間的收益率分布，得圖9與圖10。在低交易費(fèi)用限制下，市場(chǎng)上總共有12239次構(gòu)建機(jī)會(huì)，單次平均收益率為2.2881%；高交易費(fèi)用限制下，市場(chǎng)上總共有9390次交易機(jī)會(huì)，單次平均收益率為2.8347%。受滑點(diǎn)等因素影響，低交易費(fèi)用條件下所有套利組合中發(fā)生了7次虧損，高交易費(fèi)用條件下所有套利組合中發(fā)生了3次虧損，基本可以視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)期權(quán)組合。由圖9圖10可知，期權(quán)組合的具有低收益率的頻數(shù)較多，而高收益率的頻數(shù)較少的特征。取單次收益率大于10%的交易，繪制其收益率分布。

結(jié)合圖11圖12可知，策略1期權(quán)組合的收益率整體上呈現(xiàn)出帕累托分布的特征。

對(duì)[a

在低交易費(fèi)用限制下，市場(chǎng)上總共有5108次構(gòu)建機(jī)會(huì)，單次平均收益率為23.0734%；高交易費(fèi)用限制下，市場(chǎng)上總共有3857次交易機(jī)會(huì)，單次平均收益率為22.7389%。策略2的回測(cè)并未發(fā)生過(guò)虧損，策略可以視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)策略。對(duì)圖像分析可得，策略2的單次收益率頻數(shù)分布基本符合帕累托分布，且策略2比策略1有更多的高回報(bào)投資機(jī)會(huì)。

對(duì)[b

由于策略3中98.25%的收益小于5%，為更好觀察收益率分布，繪制0-5%區(qū)間的收益率分布，得圖17與圖18。由圖17、圖18可知，策略3的單次收益率頻數(shù)分布基本符合帕累托分布，且策略3的表現(xiàn)遜色于策略1與策略2。據(jù)回測(cè)數(shù)據(jù)可知，在2021年全年，在低交易費(fèi)用的限制下，構(gòu)建策略3的機(jī)會(huì)共有4183次。期望虧損的期權(quán)組合共有880個(gè)，達(dá)到總策略的21.04%，但綜合來(lái)看策略的單次收益率平均值仍能達(dá)到0.56%，虧損期權(quán)組合的平均損失為0.05%。在高交易費(fèi)用的限制下，構(gòu)建策略3的機(jī)會(huì)共有4183次。期望虧損的期權(quán)組合共有1428次，達(dá)到總策略的34.14%，但綜合來(lái)看策略的單次收益率平均值仍能達(dá)到0.48%，虧損期權(quán)組合的平均損失為0.0098%。受交易成本、滑點(diǎn)等因素影響，策略3的表現(xiàn)并不搶眼，但利用策略3可以實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)套利。

通過(guò)對(duì)3個(gè)推導(dǎo)出的期權(quán)組合進(jìn)行回測(cè)，可以發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)上確實(shí)存在本文理論所說(shuō)的套利空間，且套利后的利潤(rùn)分布特征與理論模擬的分布基本一致。

（六）穩(wěn)健性分析

為了增加本文結(jié)論的可靠性，本文補(bǔ)充了結(jié)論的穩(wěn)健性分析。為證明本文測(cè)得的套利空間并不來(lái)自于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率、滑點(diǎn)與交易手續(xù)費(fèi)，本文對(duì)這三個(gè)因素進(jìn)行了敏感性分析，得到結(jié)果如下：1

依表1和表2可知，在調(diào)整三個(gè)參數(shù)后，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合仍然具有套利空間。組合的套利空間基本不受無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和交易失敗概率的影響。交易費(fèi)用對(duì)組合的收益有影響，但組合仍然具有套利空間。同理，本文對(duì)策略2和策略3的組合進(jìn)行了檢驗(yàn)，得到相同結(jié)論。

檢驗(yàn)這三個(gè)因素對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合利潤(rùn)分布的影響，得到如下結(jié)果：

由圖21到圖23可知，在調(diào)整三個(gè)參數(shù)后，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合策略的套利空間的利潤(rùn)分布變化不大，仍然服從帕累托分布。同理，本文對(duì)策略2和策略3的組合進(jìn)行了檢驗(yàn)，得到相同結(jié)論。本文實(shí)證部分結(jié)果具有穩(wěn)健性。

四、結(jié)論與組合投資建議

本文構(gòu)建了貝葉斯博弈模型框架，刻畫了不同獲利區(qū)間的期權(quán)組合交易過(guò)程，并在此基礎(chǔ)上探究不同期權(quán)組合間的套利空間。相較于傳統(tǒng)的貝葉斯博弈模型，本文引入了參數(shù)[L]，推廣了參與方的私有信息的取值范圍，并且探討參數(shù)[L]對(duì)期權(quán)組合套利空間的影響。本文證明了在集合競(jìng)價(jià)的條件下，即使期權(quán)組合的買賣雙方采取了最優(yōu)報(bào)價(jià)策略，仍然可以在市場(chǎng)上構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)獲利的期權(quán)組合。應(yīng)用模型推導(dǎo)出不同期權(quán)組合間套利空間的判定條件。依照這個(gè)條件可知，在均衡報(bào)價(jià)策略之下，不同期權(quán)組合間是否有套利空間，主要取決于各個(gè)組合間的獲利區(qū)間的范圍。

本文證明了市場(chǎng)上仍存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)且保留超額收益機(jī)會(huì)的期權(quán)組合，并用實(shí)證研究檢驗(yàn)了這一結(jié)論。一般而言，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合往往只能獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收入，因此在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下保留高回報(bào)收益的可能性非常難得，但這并不意味著市場(chǎng)中不存在這樣的機(jī)會(huì)。以往理論認(rèn)為，投資者的“錯(cuò)誤定價(jià)”催生出了這樣的機(jī)會(huì)。但根據(jù)本文推導(dǎo)，博弈各方為獲得自身利益最大化而采取的均衡報(bào)價(jià)策略，催生出了保留超額收益機(jī)會(huì)的套利空間。套利空間的出現(xiàn)，并不全是“錯(cuò)誤定價(jià)”的原因，在一定程度上，反而是博弈各方為達(dá)到自身效用最大化導(dǎo)致的“理性”結(jié)果。此外，本文應(yīng)用模擬的方法，得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)獲利期權(quán)組合的利潤(rùn)率分布，該利潤(rùn)率分布與最終實(shí)證結(jié)果基本一致。

基于研究中獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益的方法，本文將蝶式期權(quán)與跨式期權(quán)結(jié)合，推導(dǎo)出3種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)獲利期權(quán)組合策略。這些期權(quán)組合豐富了投資者的套利手段。回測(cè)結(jié)果表明，應(yīng)用本文推導(dǎo)的期權(quán)策略，長(zhǎng)期仍能獲得較高收益。對(duì)三個(gè)策略進(jìn)行對(duì)比研究可知，這三個(gè)策略在市場(chǎng)上均有較多的機(jī)會(huì)，其中構(gòu)建策略1期權(quán)組合的機(jī)會(huì)最多。構(gòu)建策略2和策略3的機(jī)會(huì)大致相當(dāng)。從交易深度看，策略1和策略2有更深的交易深度，策略3的期權(quán)組合不具備交易深度。從每筆交易持有的時(shí)間上看，策略3的期權(quán)組合持有時(shí)間最短，但可利用多次短線交易彌補(bǔ)單次收益率的不足。雖然，該組合在套取穩(wěn)定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益上存在一定的不足，但是應(yīng)用該組合捕捉一些超額收益仍然是可行的。綜上所述，該策略承擔(dān)了無(wú)法獲取穩(wěn)定的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，期權(quán)組合構(gòu)建失敗，收益波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，換得捕捉超額收益的機(jī)會(huì)。

相較于簡(jiǎn)單期權(quán)組合而言，本文提出的復(fù)雜期權(quán)組合的交易指標(biāo)更加明確，且風(fēng)險(xiǎn)更加可控。以跨式期權(quán)為例，雖然從投資效果來(lái)看，跨式期權(quán)也能夠做到付出較小的風(fēng)險(xiǎn)，保留捕捉較大的收益的機(jī)會(huì)。但市場(chǎng)上每一行權(quán)價(jià)均能構(gòu)成跨式期權(quán)，投資者應(yīng)如何選擇期權(quán)組合并不明確，且跨式期權(quán)組合承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)也明顯大于本文組合中的風(fēng)險(xiǎn)。由于本文組合具有風(fēng)險(xiǎn)可控，保留捕捉超額收益的機(jī)會(huì)的特點(diǎn)，本文的期權(quán)組合可以應(yīng)用于結(jié)構(gòu)性存款等產(chǎn)品的設(shè)計(jì)中。

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Research on Option Portfolio Arbitrage under Bayesian Game Framework：

Theoretical Model and Market Data Validation

Tang Mingkun Feng Zhenhua Zhao Zhenyu

Abstract： There are a large number of options arbitrage opportunity in the option market. Most of the existing theoretical models describe the mechanism of Arbitrage Behavior in the market based on the assumption of complete information， and there are some deficiencies in predicting the distribution of arbitrage profits. In order to describe the Arbitrage Behavior of option portfolio in incomplete information market， this paper extends the traditional Bayesian game framework to a more general form， constructs a Bayesian game model of multiple option portfolios， explores the arbitrage space under the trader's equilibrium strategy， and analyzes the characteristics of the arbitrage return. According to the model， this paper proves that there are some arbitrage opportunities in the market under certain parameters， even if all participants reach the optimal conditions； there are risk-free investment opportunities to win excess returns in the market； the profit distribution of this opportunity is similar to Pareto distribution. Finally， this paper testifies these conclusions with market data.

Keywords： Incomplete Information； Bayesian Game； Option Portfolio； Arbitrage

（責(zé)任編輯：柳陽(yáng)）

*唐銘坤，上海大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，E-mail：tang-mingkun@foxmail.com，通訊地址：上海市寶山區(qū)上大路99號(hào)，郵編：200444；馮振華（通訊作者），天津理工大學(xué)管理學(xué)院，E-mail：fengzh13@tsinghua.org.cn，通訊地址：天津市西青區(qū)賓水西道391號(hào)，郵編：300384；趙貞玉，上海大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，E-mail：zhyzhao610@staff.shu.edu.cn。作者文責(zé)自負(fù)。

基金項(xiàng)目：本文受國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金一般項(xiàng)目“動(dòng)態(tài)視角下數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代平臺(tái)壟斷競(jìng)爭(zhēng)與反壟斷政策研究”（20BJL114）和天津理工大學(xué)教學(xué)基金一般項(xiàng)目“學(xué)生學(xué)術(shù)興趣與創(chuàng)新表現(xiàn)激勵(lì)研究——基于博弈均衡的理論分析與模擬驗(yàn)證”（YB20－08）的資助。

1蝶式價(jià)差組合和跨式組合是分別代表兩種交易思維特征的期權(quán)基本組合，模型并不失一般性。

1由于篇幅所限，這里僅展示策略1組合的收益的敏感性分析。若需要其他組合的敏感性分析結(jié)果，可聯(lián)系作者領(lǐng)取。