凸顯數形結合 發展數學能力

陳開免

［摘 要］二次函數是初中數學教學中的重要內容，文章嘗試從“數”與“形”兩個方面讓學生深刻理解二次函數的性質，逐步掌握解決數學問題的方法，以發展學生的數學能力。

［關鍵詞］數形結合；二次函數；性質；數學能力

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2023）02-0016-03

二次函數是初中數學教學中的重要內容，它與其他兩種基本函數相比，是較難掌握的一種函數，教師講解費力，學生學習吃力。如何深化學生對于二次函數的認識，使學生熟練掌握解決二次函數問題的方法呢？

一、教學內容

本節課的教學內容為“二次函數的性質”習題課，二次函數不同于一次函數，它是非線性函數，可以用來描述勻變速運動。在二次函數的相關學習內容里，二次函數的性質最為重要，因為一次函數與反比例函數的性質都比較簡單，在整個實數范圍內沒有最值，沒有頂點，增減性比較明確，而二次函數有最值，函數圖象有頂點，增減性有區間。因此，認真研究二次函數的性質，可以把研究二次函數的一般方法遷移到學習其他函數中。初中階段是學生思維方式從形象思維向抽象思維過渡的時期，這個階段研究二次函數應從函數的圖象入手，以研究函數圖象為主，以嚴謹的代數計算為輔，利用數形結合思想把函數與方程、函數與不等式的關系講清楚。

本單元的知識脈絡為：了解函數→學習圖象性質→拓展關聯。在“了解函數”環節，主要學習二次函數的三種表現形式：（1）一般形式：[y=ax2+bx+c（a≠0）]；（2）頂點式：[y=a（x-h）2+k]；（3）兩點式：[y=a（x-x1）（x-x2）]。還要學習五點法畫二次函數圖象。在“學習圖像性質”環節，主要學習根據二次函數的圖象歸納二次函數的性質。在“拓展關聯”環節，主要學習二次函數與一元二次方程之間的關系，二次函數與一元二次不等式之間的關系，如何利用二次函數的圖象解一元二次方程或一元二次不等式。

二、教學目標

教學目標：（1）從一個具體的二次函數出發，回顧梳理二次函數的基本性質；（2）利用二次函數的圖象歸納二次函數的性質，通過代數計算驗證二次函數的性質，進一步體現數形結合思想。

在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，關于二次函數的學業要求是：會用描點法畫出二次函數的圖象……；通過圖象了解二次函數的性質……；會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為[y=a（x-h）2+k]的形式，能由此得出二次函數圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸。而用數形結合思想來學習二次函數的性質是本節課的設計立意所在。

三、教學問題預測

與前面已學過的一次函數及反比例函數不同，二次函數一方面具有增減性，另一方面還具有對稱性與最值，這是學生學習過程中面臨的新挑戰。通過前面的學習，學生已經學會了通過觀察函數圖象總結函數的性質，但是利用函數表達式進行代數推理是學習的新內容。因此，在課堂上，教師一方面要利用函數圖象總結函數性質，讓函數圖象與性質進行關聯，另一方面要引導學生利用函數表達式的代數計算進行推導。

四、教學過程

教學過程的基本思路：首先用一個具體的二次函數引入習題課，引導學生回顧二次函數的性質；其次從拋物線位置的確定，二次函數的增減性、對稱性與最值，二次函數與方程、不等式的聯系三個方面闡釋二次函數的性質；最后是引導學生學以致用，學習二次函數在生產生活中的實際應用，挖掘二次函數與生活的聯系，發現二次函數的學習價值。

教學環節一：圖象導入，梳理知識

問題1：已知二次函數[y=x2+4x-5]，關于這個二次函數，你知道它的什么性質？

學生先獨立思考然后相互交流彼此的看法，約3分鐘后，讓學習小組的代表發表自己的看法。

學生代表總結如下：

（1）二次函數[y=x2+4x-5]的圖象是拋物線，因為[a=1>0]，所以拋物線的開口向上；（2）二次函數[y=x2+4x-5]可以配方為[y=（x+2）2-9]，所以拋物線的頂點坐標為（-2，-9），對稱軸為直線[x=-2]；（3）拋物線與[y]軸的交點坐標為（0，-5）；（4）二次函數[y=x2+4x-5]可以化為[y=（x+5）] [（x-1）]，所以拋物線與[x]軸的交點坐標為（-5，0），（1，0）；（5）由于拋物線的對稱軸為直線[x=-2]，開口向上，因此當[x≤-2]時，[y]隨[x]的增大而減小。當[x≥-2]時，[y]隨[x]的增大而增大。

教師：研究一個函數，要歸納它的性質，必須先畫出它的函數圖象，研究圖象在坐標系中的位置。如觀察拋物線的三要素，通過函數圖象可以歸納函數的增減性、對稱性與最值，再尋找決定這些性質的根本原因，最后研究函數與方程、不等式之間的聯系等。關于上述二次函數，學生主要研究了如下信息：拋物線的開口方向、頂點坐標與對稱軸，拋物線與兩個坐標軸的交點坐標，拋物線在[x]軸上截得的弦長，頂點是最高點還是最低點等。對于二次函數，增減性與對稱性是它最主要的性質。欲求得二次函數與[x]軸的交點坐標，實際上就是必須解當函數值為0的一元二次方程，即解[x2+4x-5=0]；觀察二次函數的圖象，我們還可以感悟到不等式[ax2+bx+c>0]或[ax2+bx+c<0]的幾何意義。請同學們按照這一研究思路，對上述二次函數的性質進行補充與歸納。

設計意圖：讓學生解決第一個問題，旨在培養學生畫圖、用圖與識圖的能力。研究函數必須借助函數圖象，教師可以引導學生先畫出這個二次函數的圖象并從多方面進行觀察。如它的對稱性如何？圖象有沒有最高點或最低點？它的增減性如何表述？如何求函數圖象與兩個坐標軸的交點坐標？從而逐步歸納出二次函數的所有性質。在第一個問題中，筆者沒有直接讓學生總結二次函數的性質，而是給出一個具體的二次函數讓學生研究。這符合學生的認知規律，減輕了學生的學習負擔，便于學生挖掘出豐富的信息，為進一步歸納函數的性質提供了更多材料。

教學環節二：疑難辨析，鞏固提高

問題2：圖1是拋物線[y=ax2+bx+c（a<0）]的部分圖象，其頂點坐標為（1，n），且與[x]軸的一個交點在點（3，0）和點（4，0）之間，則下列結論：①[a-b+c>0]；②[3a+b=0]；③[b2=4a（c-n）]；④一元二次方程[ax2+bx+c=n-1]無實數根；⑤[a+b≥am2+bm]（[m]為任意實數）。其中，正確的結論有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

在解決①②③三個問題之前，為了讓學生厘清思路，筆者為學生設置了問題：（1）由拋物線的表達式[y=ax2+bx+c]，在什么情況下才能得到[a-b+c]？（2）如果把[3a+b]拆分為[2a+b+a]，如何求出它的值？（3）等式[b2=4a（c-n）]可以轉化為[b2=4ac-4an]，它與拋物線的頂點的縱坐標[4ac-b24a]有何關系？

學生先行思考教師提出的問題，各學習小組的代表解答①②③問題具體如下：（1）因為拋物線的開口向下，所以二次項系數[a<0]，因為拋物線的對稱軸為直線[x=-b2a=1]，所以[b=-2a]，即[b+2a=0]，因為[3a+b=2a+b+a]，[b+2a=0]，[a<0]，所以[3a+b<0]，結論②錯誤；（2）觀察函數圖象可得，當[x=3]時，[y>0]，拋物線的對稱軸為直線[x=1]，所以點（3，0）關于直線[x=1]的對稱點是（-1，0），由于拋物線是軸對稱圖形，所以當[x=-1]時，[y=a-b+c>0]，所以結論①正確；（3）因為拋物線的頂點縱坐標為[n]，所以[4ac-b24a=n]，整理得[b2=4ac-4an=4a（c-n）]，所以結論③正確。

在解決④⑤兩個問題之前，為了讓學生厘清思路，筆者為學生設置了問題：（1）解一元二次方程[ax2+bx+c=n-1]，實際上就是求哪兩個函數的交點坐標？（2）[a+b≥am2+bm]（[m]為任意實數）可以變形為[a+b+c≥am2+bm+c]，那么如何才能得到[a+b+c]？如何才能得到[am2+bm+c]？

學生先行思考教師提出的問題，各學習小組代表解答④⑤兩個問題如下：（1）觀察函數圖象可知，拋物線[y=ax2+bx+c]與直線[y=n-1]有兩個交點，所以一元二次方程[ax2+bx+c=n-1]有兩個不相等的實數根，所以結論④錯誤；（2）當[x=1]時，[y=a+b+c]，當[x=m]時，[y=am2+bm+c]，由圖象可得[x=1]時，[y=a+b+c]為最大值，所以[a+b+c≥am2+bm+c]，[a+b≥am2+bm]，所以結論⑤正確。

教師總結：（1）為什么二次函數有最大值與最小值？這是因為二次函數的增減性在對稱軸的左右兩側并不相同，當拋物線的開口向上時，二次函數的函數值從左到右先減后增，所以函數值有最小值，拋物線有最低點；當拋物線的開口向下時，二次函數的函數值從左到右先增后減，所以函數值有最大值，拋物線有最高點。（2）一般地，[a+b+c]就是當[x=1]時，二次函數[y=ax2+bx+c]的函數值，[a-b+c]就是當[x=-1]時，二次函數[y=ax2+bx+c]的函數值。（3）不等式[a+b+c≥am2+bm+c]，表達的意義是當[x=1]的函數值大于或等于[x=m]時的函數值，在本題中突顯了二次函數最大值的代數意義。

追問：二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象如圖2所示，其對稱軸為直線[x=-1]，與[x]軸的交點為[（x1，0）]、[（x2，0）]，其中[00]；②[-3am2+bm（m≠-1）]；⑤[a>13]。其中，正確的結論有 ___________________。

設計意圖：引導學生從函數的圖象去直觀地獲得最大值或最小值，或者從二次函數的代數意義理解二次函數的最值，在函數圖象中，最值表現為拋物線的頂點，它的代數意義為[f-b2a≥ ][f（x）]或者[f-b2a≤ ][f（x）]，學生既體驗了函數圖象的直觀性，又體驗了代數推理的嚴謹性，讓學生學會從不同的角度思考問題。

教學環節三：拓展提升，不斷升級

問題3：（1）已知函數[y=kx2+（2k+1）x+1]（[k]為實數），對于任意正實數[k]，當[x>m]時，[y]隨著[x]的增大而增大，求[m]的取值范圍；（2）已知拋物線[y=ax2-2ax-1（a<0）]，若當[-2≤x≤2]時，[y]的最大值是1，求當[-2≤x≤2]時，[y]的最小值。

為了讓學生厘清思路，筆者嘗試設置問題：二次函數[y=kx2+（2k+1）x+1]圖象的對稱軸方程是什么？拋物線的開口方向如何？如何描述這個二次函數的增減性？拋物線的開口方向如何？利用已知條件能否求得[a]的值？能否確定拋物線的表達式？在一定范圍內，如何求得二次函數的最小值？

學生先行思考教師提出的問題，教師請部分學習小組的代表解答問題3的兩個問題，解答過程如下：（1）因為[y=kx2+（2k+1）x+1]（[k]為實數），[k>0]，所以該拋物線的開口向上，對稱軸為直線[x=-2k+12k=-1-12k<-1]，因為對于任意正實數[k]，當[x>m]時，[y]隨著[x]的增大而增大，所以[m≥-1]；（2）拋物線的對稱軸為直線[x=--2a2a=1]，因為拋物線[y=ax2-2ax-1=a（x-1）2-a-1（a<0）]，所以該函數圖象的開口向下，對稱軸是直線[x=1]，當[x=1]時，取得最大值[-a-1]，因為當[-2≤x≤2]時，[y]的最大值是1，所以[x=1]時[y=-a-1=1]，得出[a=-2]，所以[y=-2（x-1）2+1]，因為[-2≤x≤2]，所以[x=-2]時取得最小值，此時[y=-2（-2-1）2+1=-17]。

設計意圖：問題3旨在考查學生在沒有函數圖象的情況下，如何發揮想象，解決二次函數的問題。問題3偏重于學生的代數運算與推理，必須對二次函數的增減性與對稱性有較深的理解，有較好的空間想象能力，才能順利解答。

五、教學反思

在課堂教學過程中，筆者引導學生自己動手畫一畫函數圖象，這有利于加深學生對函數圖象的認識與理解。實際上畫函數圖象的過程也是自然語言、數學語言與圖形語言融合的過程，學生通過觀察函數圖象，思考函數的性質，有利于學生體驗圖象與性質之間的聯系。筆者選用的例題借助幾何直觀就可以解決，但是為了讓學生的思維更加深刻，筆者加入了代數演繹，讓圖象與代數有機結合，讓學生進一步體會函數圖象的直觀性與代數推理的深刻性，有助于學生理解二次函數的數學本質。在教學方法的使用上，筆者采用了學生先行思考、小組接著交流、教師最后總結的方法，讓每一位學生有時間思考、有機會表達，在交流中加深對知識的理解，逐步掌握解決數學問題的方法。我們不難發現，雖然題目千變萬化，但抓住問題的本質才是關鍵。

（責任編輯 黃桂堅）