滯變阻尼對周期軌道結構垂向振動帶隙特性影響

洪顯 郭文杰 戴承欣

摘要：為探究滯變阻尼對周期軌道結構帶隙的影響，以我國有砟軌道為例，基于能量泛函變分原理分析其帶隙特征。通過將滯變阻尼效應引入鋼軌、扣件和道床中，研究了周期性有砟軌道的頻散特性隨阻尼的變化情況。進一步地，研究了阻尼作用下軌道結構的振動傳輸特性。結果表明：無阻尼軌道結構的帶隙范圍與振動響應的衰減范圍一致;鋼軌阻尼很小且對軌道結構帶隙幾乎沒有影響，在計算和預測振動時可以忽略;扣件的阻尼會略微增加軌道結構帶隙，對帶隙整體影響不大，但對于振動響應，扣件阻尼的耗散作用會增加150～500 Hz內振動衰減范圍;道床阻尼增大會增加第一階帶隙范圍，但會減小第二階帶隙范圍，在振動響應中，增大道床阻尼能夠使260 Hz內的鋼軌振動均發生衰減。

關鍵詞：滯變阻尼;周期結構;有砟軌道;帶隙;傳輸特性

中圖分類號：U213.2 文獻標志碼：A

本文引用格式：洪顯，郭文杰，戴承欣. 滯變阻尼對周期軌道結構垂向振動帶隙特性影響[J]. 華東交通大學學報，2023，40（1）：82-91.

Effect of Hysteresis Damping on Vertical Vibration Band Gap

Characteristics of Periodic Track Structure

Hong Xian，Guo Wenjie，Dai Chengxin

（School of Transportation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China）

Abstract：In order to explore the effect of hysteresis damping on the band gap of periodic track structure， the ballasted track of was taken as an example， and the band gap characteristics were analyzed based on the energy functional variational principle. By introducing hysteretic damping effect into rails， fasteners and track bed， the variation of dispersion characteristics with damping of periodic ballasted track was studied. Furthermore， the vibration transmission characteristics of the track structure under the effect of damping were explored. The results show that the band gap range of the undamped track structure is consistent with the attenuation range of the vibration response; the rail damping is very small and has little effect on the band gap of the track structure， which can be ignored when calculating and predicting vibration; the damping of the fasteners slightly increases the track structural band gap and has little effect on the overall band gap， but for the vibration response， the dissipation effect of the fastener damping increases the vibration attenuation range within 150～500 Hz; the increase of the ballast bed damping increases the first-order band gap range， but it decreases the second-order bandgap range， in the vibration response， increasing the damping of the track bed can dampen the vibration of the rail within 260 Hz.

Key words： hysteresis damping; periodic structure; ballast track; band gap; transmission characteristics

Citation format：HONG X，GOU W J，DAI C X. Effect of hysteresis damping on vertical vibration band gap characteristics of periodic track structure[J]. Journal of East China Jiaotong University，2023，40（1）：82-91.

現代鐵路大多都采用大型機械進行模塊化施工，軌枕間距穩定，因而具有較強的周期性特征。以有砟軌道為例，周期性結構具有帶隙特性，在禁帶的頻率范圍內的彈性波無法沿結構傳播，從而使該結構振動衰減[1-2]。研究周期軌道的帶隙特性，掌握其內彈性波的傳播機理，對實現軌道結構振動的精準控制具有重要的工程意義。

對于周期性結構的研究，Sheng[3-4]提出了一種基于傅里葉變換，計算周期軌道結構在移動或靜止簡諧荷載作用下的響應計算方法。Wang等[5-7]基于傳遞矩陣法和Bloch理論求出了周期軌道結構的帶隙，發現Bragg帶隙和局部共振帶隙在周期軌道結構中共存。易強等[8]結合傳遞矩陣法與Bloch定理計算出了有砟軌道的帶隙，同時運用波疊加和功率流法分析了軌道結構的動力響應及軌道內彈性波的傳播特性。

在上述關于周期軌道結構的帶隙研究中，很少考慮阻尼效應，但在實際的鐵路結構中，由于施工和材料本身的因素，無阻尼情況是不存在的。并且，在一些研究中可以了解到，阻尼對鐵路結構各項特性都有一定影響。

谷愛軍等[9]通過對北京地鐵鋼軌異常波磨的研究，發現扣件阻尼能夠影響鋼軌的波磨形成。張迅等[10]基于車-線-橋耦合振動理論和聲學邊界元，分析了扣件阻尼對鐵路簡支箱梁結構聲輻射特性的影響規律。方銳等[11]通過建立軌道結構的有限元模型，研究了鋼軌、軌下墊層和道床的阻尼損耗因子的變化對鋼軌和軌枕振動特性有著不同范圍和不同程度的影響。Iqbal等[12]研究了剛性軌枕支撐的周期性軌道的橫向和豎向彎曲波傳播，并研究了鋼軌和諧振器的阻尼對帶隙特性的影響。

為探究阻尼變化對軌道結構帶隙特性的影響，本文以有砟軌道為研究對象，基于能量泛函變分法[13]，引入滯變阻尼效應，研究其帶隙特征。滯變阻尼又稱為復阻尼，通常是通過材料試驗得出的，比較符合實際工程狀況[14]，而且滯變阻尼是通過阻尼損耗因子將阻尼復化到剛度中，十分契合能量法的求解。本文首先計算無阻尼的周期性有砟軌道帶隙，并與文獻和有限元模型進行對比，證明該方法的正確性。之后分別設置鋼軌、扣件和道床滯變阻尼，對比分析阻尼變化對結構帶隙的影響。為進一步驗證阻尼對周期軌道結構的帶隙特性影響，本文結合有限長軌道結構的振動傳輸特性來分析阻尼影響。

1 頻散特性分析

如圖1所示，取軌道結構的一個特征周期建立垂向振動分析模型：鋼軌考慮為Timoshenko梁單元，軌枕考慮為質量塊，扣件系統和碎石道床視為彈簧-阻尼單元。在特征周期中以鋼軌最左端建立笛卡爾坐標系xRORzR， 其中zR和zS分別為鋼軌和軌枕的垂向位移;特征周期長度為軌枕間距，即l;扣件的垂向剛度為kF，阻尼為cF;道床的垂向剛度為kB，阻尼為cB。傳統有砟軌道結構參數[4，8，15]見表1。

1.1 帶隙計算理論

1.1.1 鋼軌的能量泛函

鋼軌的能量包括應變能和動能。基于Bloch理論和平面波級數，可構造滿足周期邊界條件的鋼軌位移場函數

zR（xR）=eikxR

zj expi

θR（xR）=eikxR

θj expi

（1）

式中：zR和θR分別為鋼軌的垂向位移和截面轉角;i為虛數單位;k為Bloch波數;xR為沿鋼軌軸向的坐標;zj和θj為未知系數。

基于Timoshenko梁理論，可得鋼軌的應變能和動能

UR=

2dxR+θR

-2dxR（2）

VR=ρRΑR zR2dxR+ρRIR θR2dxR（3）

式中：UR和VR分別為鋼軌的應變能和動能;ER，IR，kR，GR，AR和ρR分別為鋼軌的彈性模量，截面慣性矩，剪切系數，剪切模量，橫截面積和質量密度;ω為結構固有圓頻率。由于考慮了滯變阻尼的效應，故此處的鋼軌彈性模量為：ER=ER0（1+iηR），ER0為初始彈性模量，ηR為鋼軌的阻尼損耗因子，取值見表1。

1.1.2 扣件的能量泛函

扣件的能量為其彈性勢能，其表達式為

UF=kF[zR（xR=l/2）-zS]2（4）

式中：zR（xR=l/2）表示鋼軌在扣件處的垂向位移;kF為考慮阻尼后的扣件剛度：kF=kF0（1+iηF）， kF0為初始扣件剛度，ηF為扣件的阻尼損耗因子，取值見表1。

1.1.3 軌枕的能量泛函

由于軌枕被考慮為質量塊，其能量應為動能，即

VS=mSzS2（5）

式中：mS為軌枕的質量。

1.1.4 道床的能量泛函

道床的能量為其彈性勢能，其表達式為

UB=kB zB2（6）

式中：kB為考慮阻尼后的道床剛度：kB=kB0（1+iηB），

kB0為初始扣件剛度，ηB為扣件的阻尼損耗因子，取值見表1。

1.1.5 系統的總能量泛函與特征方程

系統的總能量泛函Π為總應變能與總動能之差，即

Π=UR+UF+UB-VR-VS（7）

基于Hamilton原理對總能量泛函變分（對Π中未知量zj，θj和zS求極值），可得到周期有砟軌道中彎曲波傳播的特征方程

（Ktot-ω2Mtot）Q=O（8）

式中：Ktot和Mtot分別為總剛度矩陣和總質量矩陣;Q為未知系數向量;O為0距陣。在第一 Brillouin區內對上式求解，可到的周期有砟軌道中彎曲波的帶隙特性。

1.2 帶隙的準確性驗證

1.2.1 無阻尼帶隙

為驗證能量法求解帶隙的準確性，將軌道結構的阻尼損耗因子ηR，ηF和ηB設為0，可得到無阻尼帶隙特性，再與文獻[8]的結果進行對比，見圖2和表2。根據文獻[16]，軌道結構中的彎曲波可分為兩類，即近場波（文獻[16]中第1類彎曲波）和彌散波（文獻[16]中第2類彎曲波）。由于近場波波數虛部始終不為0，故其在全頻段范圍內均是帶隙，而彌散波既能傳播又能衰減（如圖2（b）所示，0～1 500 Hz范圍內存在3條帶隙）。顯然，軌道結構中彎曲波的帶隙特性取決于彌散波;因此，本文主要研究的是彌散波的帶隙特性。

由圖2和表2可知，基于能量法所求得的周期性有砟軌道中彎曲波的帶隙范圍及頻散曲線與文獻[8]結果基本一致，這可以證明了能量法求解帶隙特性的準確性。

1.2.2 有阻尼帶隙

考慮軌道結構的損耗因子ηR=0.01、ηF=0.25和ηB=1.0，可得到有阻尼帶隙特性，再與有限元結果進行對比驗證，見表3。

從表3中可以看到兩種方法的頻率的實部與虛部基本相同，由此可證用能量法求解含滯變阻尼的帶隙也是可行的。

1.3 阻尼對帶隙的影響分析

1.3.1 鋼軌阻尼

60 kg/m鋼軌是中國鐵路的主軌型，也是鋪設最廣的鋼軌。其結構形式和材料屬性固定，因此其阻尼損耗因子ηR一般也是定值（通常取ηR=0.01）。為研究鋼軌滯變阻尼的影響，這里設置ηB=ηF= 0，ηR從0變化到0.02，有砟軌道帶隙變化如圖3。

由圖4可以明顯看出，在1 500 Hz內的3條帶隙中，阻尼的增加幾乎不會影響帶隙寬度。這與鋼軌本身的阻尼很小有關;因此在計算時，可以不設置有砟軌道的阻尼。從表4中看出含有滯變阻尼鋼軌的帶隙的虛數部分（阻尼衰減項）與阻尼損耗因子呈線性變化。

1.3.2 扣件阻尼

扣件的種類很多，不同的扣件的剛度和阻尼也不一樣，而在。因而探究清楚扣件阻尼對周期帶隙的影響，才能確定扣件阻尼的取舍。設置ηR=ηB=0，ηF從0變化到0.25，有砟軌道帶隙變化如圖4和表5。

扣件阻尼僅對有砟軌道的第1階與第2階帶隙有輕微影響，隨著阻尼的增加，第1階帶隙和第2階帶隙的起始頻率和截止頻率在略微增大。阻尼損耗因子從0增加到0.25，第1階帶隙寬度增大0.5 Hz，第2階帶隙寬度增大1.2 Hz且帶隙頻率位置略微上移。總體上，扣件阻尼的變化對周期有砟軌道的帶隙特性影響不大，在帶隙計算中扣件阻尼損耗因子可不予考慮。而且隨阻尼損耗因子增加n倍，虛部的值也大致呈n倍增加。由此可以看出扣件阻尼的衰減作用是和扣件阻尼損耗因子大小是有線性關系的。

1.3.3 道床阻尼

有砟軌道的道床阻尼受道砟的壓實度，級配類型等影響[17]，并且對于經過城市有砟軌道，有一定的降低環境振動的需求，需要增加道床的阻尼。再者聚氨酯固化道床[18]也在被研究，具有一定的發展前景與應用，其阻尼相較一般道床更大。故而道床阻尼有較大變化幅度的;設置ηR=ηF= 0，ηB從0變化到1.0，有砟軌道帶隙變化如圖5和表6。

道床阻尼對有砟軌道的第1階與第2階帶隙有明顯影響，對第3階帶隙幾乎無影響。道床阻尼損耗因子從0增加到1，第1階帶隙寬度增加了17.5 Hz，且隨著阻尼的增加，寬度增加的幅度也在增加，第2階帶隙起始頻率增大，截止頻率降低，帶隙寬度減小12.8 Hz。總體上，道床阻尼的取值對周期有砟軌道的中低頻帶隙特性影響顯著，因此在帶隙計算中道床阻尼損耗因子應予以考慮。

2 傳輸特性分析

周期結構的帶隙特性表征方法除無限周期結構的能帶之外，主要還有有限周期結構的傳輸特性[19]。為進一步理解周期軌道結構的帶隙特性，本節擬結合有限長軌道結構的振動傳輸特性來對帶隙特性進行解釋。結構的振動傳輸特性是指不同頻率的入射彈性波在該結構中的傳播能力，通常是用激勵端的頻響函數和響應端的頻響函數的比值來表征。

2.1 計算原理

2.1.1 計算模型

振動傳輸特性的求解思路與上文中的帶隙求解理論基本相似，但需要引入外荷載（本文為點荷載）并將其轉化為外力做功，再結合功能關系求解結構的振動響應。有限長周期軌道結構在固定點諧荷載作用下的振動傳輸特性計算模型見圖6。如圖6所示，加載端位于模型的首端（周期1的首端）;響應端位于模型的尾端（周期n的尾端）;固定點諧荷載為F（t）F（，t）=F0 eit;F0為荷載幅值，取1 N;為激振頻率），作用于周期1中的鋼軌起點，方向垂直向下。

2.1.2 理論推導

下面將介紹基于能量泛函變分原理求解有砟軌道結構的振動響應，有砟軌道的響應求解可依此推導出。

1） 鋼軌能量泛函。

由于圖7中模型為有限長結構，故選用改進Fourier級數構造鋼軌的位移場函數

zB（xB）=

zj λj（xB）eit=eitλ（xB）H1

θB（xB）=

θj? λj（xB）eit=eitλ（xB）H2（9）

式中：λ（xB）是梁的位移形函數行向量，形函數采用改進Fourier級數，見式（1）;xB取值為[0，l]，l0為軌道結構長度;N1形函數項數;H1和H2為未知系數列向量。

一般情況下，結構在點諧荷載的作用下做受迫振動，其角頻率與激振力的角頻率相同，而其中各點位移的振幅和它與激振力間的相位差只決定于系統本身特性和力的性質，與運動初始條件無關。因此，只需求解得到位移幅值和相位差即可得到結構在受迫振動位移的穩態解。在本文方法中，只需求得各未知系數列向量即可得到每個點處的位移。為了方便后續的理論公式推導，簡化推導過程，在之后的公式中都略去而僅保留位移展開式中的時間項eit。

將式（9）代入式（2）、式（3），可得到受迫振動下梁的應變能和動能

UB=

dxB+θB

-dxB

=HTMBH（10）

VB=ρBΑB zB2dxB+ρBIB θB2dxB

=HTMBH（11）

2） 扣件彈性勢能。

UF1=kF zB xB=

+n-1l0-zS，n（12）

式中：N為選取的周期數，在本文中取N=50。

3） 軌枕動能。

VS=mSzS，n2（13）

4） 道床彈性勢能。

UD=kDzS，n2（14）

5） 總能量泛函。

系統的能量泛函為

Π=UB+UF1+UD-（VB-VS）

UB+UF2+UP+UP，B+UCA-（VB+VP）（15）

外力做功為

W=F0 eit·zB（xB=0）dt

=F0 ·λ（xB=0）Η11=Η（1，10）=F（16）

總能量泛函為

Ψ=Π-W（17）

6） 振動響應計算。

對總能量泛函Ψ未知系數求一階偏導，可得振動控制方程：

Η（1，10）=（K-2M）-1F（18）

將式（18）代入式（9）即可得到在某一任意頻率的點荷載F作用下，激勵點處的位移幅值（頻響函數）和響應點的位移幅值

zB1（xB=0）=λ（xB=0）·H11

zB10（xB=l0）=λ（xB=l0）·H110（19）

進一步地，可得有砟軌道結構的振動位移傳遞率rT

rT=20log10

dB（20）

2.2 振動傳遞率分析

計算振動響應的各個參數取值見表1，首先取鋼軌、扣件和道床的阻尼損耗因子均為0，并將得到結果與之前計算的帶隙結果進行對比，見圖7和表7。

由圖8和表4的對比結果可以看出位移傳遞率為負的頻率帶是和軌道帶隙是大致是重合的，由此可見在周期有砟軌道的帶隙范圍內，彈性波會產生衰減，而這部分的衰減全是由帶隙造成的。同時，這也證明了2.1中的振動響應的理論計算的正確性。

2.3 阻尼對傳遞率的影響分析

2.3.1 鋼軌阻尼

其他參數不變，ηR從0變化到0.02，有砟軌道振動響應變化如圖8。

在圖8中，不同阻尼損耗因子的傳遞率變化曲線幾乎是重合的。在數值上，如在第一段衰減區，鋼軌損耗因子從0到0.01，0.02;衰減的最大頻率從129 Hz到130，131 Hz。鋼軌損耗因子的變化對鋼軌傳遞率幾乎是沒有影響的，即設不設置鋼軌滯變阻尼，對結構整體幾乎沒有影響。這與前面帶隙所得出的結論一致。

2.3.2 扣件阻尼

其他參數不變，ηF從0變化到0.25，有砟軌道振動響應變化如圖9。

在第1段的衰減頻率范圍內，扣件阻尼的從0到0.15再到0.25，衰減的范圍從129 Hz到136 Hz再到139 Hz，相對來說變化不大。在第2段衰減頻率范圍內（158～500 Hz），無阻尼的扣件振動會劇烈衰減，并在260 Hz之后就不再衰減，增大阻尼后，衰減幅度下降，衰減的起始頻率會下降同時衰減的頻率范圍會增大。扣件滯變阻尼從0增加到0.25，衰減的最大頻率從260 Hz，增加到500 Hz仍有少量衰減。而在前文中，扣件在第2階的帶隙增加僅有1.2 Hz，故造成衰減擴大的主要原因是阻尼本身導致的能量耗散。而在pinned-pinned頻率（1 080 Hz）附近，扣件的阻尼對振動響應沒太大影響。可以看出，扣件阻尼主要對該模型的第2階傳遞率有較大影響。

2.3.3 道床阻尼

其他參數不變，ηB從0變化到1.0，有砟軌道振動響應變化如圖10。

無道床阻尼時，結構在129～181 Hz內會有一段不衰減的頻率，而隨著阻尼損耗因子的增加，這段不衰減的頻段會逐漸消失，在這頻段的振動衰減幅度也會增加，而這個“峰值”會隨著阻尼損耗因子的增加，頻率也會向略微后移。在表5中可以看到道床的阻尼損耗因子從0增加到1，其帶隙寬度從128.74 Hz增加到146.25 Hz。在181～260 Hz頻率范圍內，道床阻尼的增加會使得衰減的幅度降低，但會略微的增加衰減的范圍，相比扣件阻尼導致的衰減范圍要小很多，這說明該部分的衰減與第2階帶隙的寬度變小有關。

3 結論

1） 鋼軌滯變阻尼很小且穩定，而且從帶隙和振動響應的計算結果也可以看出鋼軌的滯變阻尼對結構整體幾乎沒有影響，故而在計算和預測中可以不考慮。

2） 扣件阻尼對第1段帶隙和第3段帶隙的影響可以忽略不計。扣件阻尼的增加會略微增加第2階帶隙寬度，阻尼損耗因子為0.25的扣件比無阻尼扣件增加1.2 Hz且帶隙頻率位置略微上移。而阻尼本身的能量耗散作用會讓振動響應的第2段衰減范圍大幅度增加。

3） 有砟軌道道床的阻尼對第1階帶隙的影響較大，隨著道床阻尼的增加，第1階帶隙寬度也會增加。道床阻尼損耗因子從0增加到0.25時，第1階帶隙寬度增加了17.5 Hz，第2階帶隙寬度減小12.8 Hz。而且因為第1階帶隙寬度的增大，并在阻尼的在振動響應表現為低頻的振動都會發生衰減。因而在計算和預測中應該考慮道床的滯變阻尼影響。

4） 不論鋼軌阻尼、扣件阻尼和道床阻尼，對結構的pinned-pinned處的帶隙幾乎沒有影響，在該處的振動響應的衰減范圍也沒有影響，其衰減的幅度也沒有太大變化。

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